河南省信阳市高中2023-2024学年高一上期12月月考
数学试题
一、单项选择题 (本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 每小题只有一个选项符合要求)
1. 若集合 , 则
A.
B.
C.
D.
2. 函数 的图象是
3. 设函数 , 若 是奇函数, 则 的值是
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
4. 设角 的始边为 轴非负半轴, 则“角 的终边在第三、四象限”是“ ”的
A. 充要条件
C. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 设定义在 上的函数 , 则使得 成立的实数 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
6. 定义在 上的奇函数 为增函数，偶函数 在区间 上的图象与 的图象重合, 设 , 给出下列不等式:
①;
③ :
②;
④.
其中成立的有
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
7. 已知 若 是 的最小值, 则实数 的取值范围为
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数 的零点分别为 , , 则
A.
C.
B.
D.
二、多项选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 二次函数 的图象如图所示, 则下列说法正确的是
A. ) .
C.
B.
D.
10. 下列说法中正确的有
A. 命题, 则命题 的否定是
B. “ "是“ ”的必要条件
C. 若命题 “ ”是真命题, 则 的取值范围为
D. “ "是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件
11. 已知定义域为的奇函数, 当时,，下列叙述正确的是
A. 存在实数 , 使关于 的方程 有 7 个不相等的实数根
B. 当 时, 有
C. 当 时, 的最小值为 1 , 则
D. 若关于的方程和的所有实数根之和为零, 则
12. 数学上, 高斯符号 (Gauss mark) 是指对取整符号和取小符号的统称, 用于数论等领域.定义在数学特别是数论领域中, 有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分, 或需要略去整数部分研究小数部分, 因而引入高斯符号. 设, 用表示不超过的最大整数. 比如: , 已知函数, 则下列说法不正确的是
A. 的值域为
C. 方程 无实根
B. 在 为减函数
D. 方程 仅有一个实根 42
第 II 卷（填空题、解答题共 70 分）
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. 已知角 的终边上一点 , 且 , 则 .
14. 已知扇形的半径为3, 圆心角的弧度数是2, 则扇形的面积与周长的比值为 .
15. 已知 , 若存在实数 , 使得 成立, 则 的取值范围为 .
16、已知实数满足 , 则的最小值是 .
四、解答题：本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (1) 计算
(2) 计算 .
18. 设函数的定义域为 的定义域为 .
(1) 求 ;
(2) 若 , 求实数 的取值范围.
19. 求值
(1) 已知 在第二象限, 求 的值;
(2) 已知 , 求 的值;
20. 近来, 国内多个城市纷纷加码布局 “夜经济” , 以满足不同层次的多元消费, 并拉动就业、带动创业, 进而提升区域经济发展活力. 某夜市的一位工艺品售卖者, 通过对每天销售情况的调查发现: 该工艺品在过去的一个月内 (以 30 天计), 每件的销售价格 (单位:元) 与时间 (单位: 天) 的函数关系近似满足 为常数, 且 , 日销售量 （单位：件）与时间 （单位: 天）的部分数据如下表所示:
已知第 10 天的日销售收入为 505 元.
(1) 给出以下四个函数模型:
①;
②;
③;
④.
请你根据上表中的数据, 从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量 与时间 的变化关系, 并求出该函数的解析式;
(2) 设该工艺品的日销售收入为 (单位: 元), 求 的最小值.
21. 已知函数 是偶函数.
(1) 求 的值;
(2) 若 对于任意 恒成立, 求 的取值范围.
22. 设 ，函数 .
(1) 若 , 求证: 函数 为奇函数: 。
(2) 若 , 判断并证明函数 的单调性;
(3)若 , 函数 在区间 上的取值范围是 , 求 的范围.2023-2024
12
ACDACD
ABC AB
[45-4+∞46-4
ABDCCCCD
020
17.【详解】(1)
式杂，身大制发宝（以
G
9-2×
=0
4
2》9-4ng,3og8+0g,8-2og.v5
S-
=32s2-410g,3x1og32+50g62°+210g632
3
<-S0<-0<
=3e4-4x.log23x10g,2+10g62+log63
贫（且>（文八0>
0
=4-2+1086(2×3)=2+1=3
18.(12分)9=”=0>0
解(1)由题意得x2+3x-18≤0，停考塑合拿猷到单立心由
解得-6≤x≤3，
即A={刘-6≤x≤3
县
(2)根据题意(x-a-1)(2a-x)>0
因为a<1,所以a+1>2a,则2a
因为BCA,所以
2a2-6
a+1s3'
解得-3≤a≤2，又a0
即实数a的取值范围是{d-3≤a19.【详解】(1)cosa=-
在第二象限，六na=-cowa子ma
sina 3
(2)由tana=
sina
cosa 4
cosa
=-2,所以sn0+cosa=an&+1。-2+1-1
sina-3cosa tana-3-2-3 5
20.【解析】
【分析】(1)由第10天的日销售收入为505元，求出k,再根据表中数据可知时间x变换
时，Q(x)先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解：
0:=()
(2)分1≤x≤20，x∈N和20的单调性即可得出答案
城第0
【小问1详解】
解：因为第10天的日销售收入为505元，
×50=505,解得k=1,
由表格中的数据知，当时间x变换时，Q(x)先增后减，
026（
函数模型：①Q(x)=ar+b:③Q(x)=a·b:④Q(x)=aiog6x都是单调函数，
【学1
:式粉水
所以选择模型②：Q(x)=dx-m+b,
由Q(15)=2(25),可得15-m=25-网，解得m=20
Q15)=5a+b=55
由
解得a=-1,b=60,
Q(20)=b=60
装丽对景月)
所以日销告量Q(x)与时间x的变化的关系式为(x)=-k-20+60(1≤x≤30，x∈N):
【小问2详解】
{+Qo+x=任+如+过
x+40,1≤x≤20，x∈N"
解：由(1)知Q(x)=--20+60=
-x+80,20不x≤50，xeN-t9
#20=明
o
1
=情路=区、
所f)-P)-0)-
0r}-x+80,20cs0xeN
I端C回个】
10x+40+401,1sxs20xeN
即f(x)=
-10+80+79,20当1≤x≤20，x∈N”时，