浙江省杭州重点中学2023-2024学年九年级（上）数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·中阳期末）如图，菱形中，分别是的中点，若菱形的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．某班共有名学生，体育课上老师统计全班一分钟仰卧起坐的个数，由于小亮没有参加此次集体测试，因此计算其他名学生一分钟仰卧起坐的平均个数为个，方差为后来小亮进行了补测，成绩为个，关于该班名学生的一分钟仰卧起坐个数，下列说法正确的是（ ）
A．平均个数不变，方差不变 B．平均个数变小，方差不变
C．平均个数变大，方差变大 D．平均个数不变，方差变小
5．已知二次函数，则下列关于这个函数的图象和性质的说法错误的是（ ）
A．图象的开口向下 B．与轴有个交点
C．当时，随的增大而减小 D．对称轴是直线
6．若点，，，都在反比例函数为常数，的图象上，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
9．当时，二次函数的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．已知二次函数，当时，的取值范围是下列结论：
对称轴是直线；
；
二次函数的图象经过点，，若，则；
有最大值．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．如图，在中的半径，圆心到弦的距离为，则弦的长度为 ．
12．若平行四边形中两个内角的度数比为：，则其中较大角的度数是 ．
13．如图，已经二次函数的图象如图所示，直线轴，则当时的取值范围 ．
14．（2023九上·浙江月考）已知关于的二次函数，无论取何值，函数图象恒过定点，则点的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，点为斜边的中点，反比例函数的图象过点且交线段于点，连结、，若，则的值为 ．
16．如图，在纸片中，，，，点，分别在、边上，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，且四边形是菱形．
（1）若点在边上时，则菱形的边长为 ；
（2）连接，则的长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．
（1）计算：；
（2）解方程：．
18．张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
平均数 中位数 方差
张明
李亮
（1）求张明成绩的平均数和李亮成绩的中位数；
（2）现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
19．如图，在 中，对角线，相交于点，于点，于点，．
（1）求证： 是矩形．
（2）若，，求的长．
20．（2020九上·石城期末）已知一次函数 的图象与反比例函数 图象交于 ， 两点，且 点的横坐标 ，求：
（1）反比例函数的解析式．
（2） 的面积．
（3）直接写出满足 时 的取值范围．
21．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶元，当销售单价定为每瓶元时，每天可售出瓶．市场调查反应：销售单价每上涨元，则每天少售出瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨元，每天的销售量利润为元．
（1）写出每天的销售量，每瓶洗手液的利润；用含的代数式表示
（2）若这款洗手液的日销售利润达到元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润最大，最大利为多少元？
22．二次函数为常数，的图象经过点．
（1）若该函数图象经过点，
求函数的表达式．
若点是抛物线上不同的两个点，且，求的值．
（2）求的最小值．
23．如图，在正方形中，点在对角线上，连接，，延长交于点，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，且，求正方形的边长．
（3）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 在实数范围内有意义，，求得 ，
x的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件得，然后根据一元一次不等式的解法求出x的取值范围即可.
2．【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：的半径是，中最长的弦长是直径等于， 中最长的弦长是 .
故答案为：B.
【分析】根据圆的定义，和弦长的概念求解.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为：24，
∴BC=24÷4=6，
∵ E，F分别是AB，AC的中点，
∴。
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质得：BC=6，然后根据三角形中位线定理得出EF的长。
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：设他名学生一分钟仰卧起坐的平均个数，方差，
则小亮补测后48名学生一分钟仰卧起坐的平均个数，方差，平均个数不变，方差变小 .
故答案为：D.
【分析】根据平均数和方差公式代入化简判断.
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： ，
A.，二次函数图象的开口向下，A正确；
B.令，则，求得，二次函数与轴有个交点 ，B正确；
CD.二次函数对称轴为，当时，随的增大而减小 ，C错误；D正确.
故答案为：C.
【分析】将二次函数化为顶点式，再逐一分析选项.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：函数，，反比例函数图像经过第1，3象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
，，
，，
.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数经过的象限和增减性得出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，分别是，的中点，，，
，是的中点，，，.
故答案为：B.
【分析】根据中位线得，再根据直角三角形斜边中线定理得，进而求解 .
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，，即， 的取值范围是且 .
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式直接求解.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：，二次函数对称轴为，
当时，二次函数的最小值为，
当时，时，，求得，
当时，时，，求得，
的值为或 .
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象的对称性分和讨论求解.
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数，当时，的取值范围是在两根之内，，对称轴，，
二次函数对称轴是直线，正确；
，错误；
二次函数的图象经过点，， ，又对称轴是直线， 或，错误；
，，又，当时有最大值，正确.
故答案为：D.
【分析】由 当时，的取值范围是，结合二次函数图象及对称性得到，对称轴，所以，进而分析序号.
11．【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：的半径，圆心到弦的距离为，弦的长度为.
故答案为：8.
【分析】根据圆的弦长定义，求解弦的长度 .
12．【答案】
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：如图不妨设，又，较大角的度数.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补结合比例关系求解.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象知二次函数对称轴为，直线与二次函数的一个交点为，直线与二次函数的另一个交点为，当时的取值范围.
故答案为：.
【分析】根据二次函数图象的对称性得到直线与二次函数的另一个交点为，再结合图像求时的取值范围.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 二次函数
∵ 无论取何值，函数图象恒过定点 ，
∴A点的横坐标满足，即，
此时，
∴A点坐标为
故答案为：.
【分析】将二次函数变形为 ，根据 无论取何值，函数图象恒过定点 ，可知，即可求出A点横坐标，再代入二次函数，求出A点纵坐标，即可得出答案.
15．【答案】2
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意设，则，，令，求得，，
，.
故答案为：2.
【分析】设，求出的坐标，则，求出k的值.
16．【答案】（1）
（2）1
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：，，，
，，
四边形是菱形，，是等边三角形，，
，又，
设菱形的边长为a，
当点在边上时， 则，即，求得，
设或其延长线交AC于点M，则，，，，当a=1时， 的长的最小值为1．
故答案为：；1.
【分析】由，，得到，根据四边形是菱形，得到，所以，设菱形的边长为a，当点在边上时， 由，求出菱形的边长；
设或其延长线交AC于点M，结合得到，根据二次函数性质求其最小值．
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的化简求值；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】 (1) 先化简二次根式，在根据二次根式减法运算法则求解；
(2)配成完全平方公式求解.
18．【答案】（1）解：张明成绩的平均数为：秒，
把李亮次成绩成绩从小到大排列，排在中间的数是，故中位数是；
（2）解：选择张明．理由如下：
李亮成绩的方差为：，
因为张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】 (1) 根据平均数和中位数定义进行求解；
(2)先求出李亮的方差，再根据方差越小，成绩越稳定进行判断.
19．【答案】（1）证明：于点，于点，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是矩形；
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 (1) 通过角角边证明≌，得到，所以有，利用矩形的判定证明 是矩形；
(2)结合矩形的性质，利用勾股定理求出，进而得到BF的长.
20．【答案】（1）解：把 分别代入 ，得
，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
（2）解：设 与 轴交点为
∴ ，
解 ，
得 或 ，
∴ ，
∴
（3）解：根据图像的意义，知当 时， 的取值范围是 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A的横坐标代入一次函数解析式求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式即可；
（2）联立方程求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式求出三角形AOB的面积即可；
（3）结合函数图象，根据函数值大的在上方的原则求解即可。
21．【答案】（1）解：设这款洗手液的销售单价上涨元，根据题意，每天的销售量为瓶；
每瓶洗手液的利润为元；
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：销售单价应上涨元或元；
（3）解：由题意得：，
，
当时，最大，最大值为．
答：当销售单价上涨元时，这款洗手液每天的销售利润最大，最大利为元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 (1) 根据销售单价每上涨元，则每天少售出瓶，得出销售量，根据利润=售价-成本价得到每瓶洗手液的利润 ；
(2)结合日销售利润=销售量每瓶洗手液的利润，列关于x的一元二次方程求解；
(3)根据日销售利润=销售量每瓶洗手液的利润，得到y与x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值.
22．【答案】（1）解：把和分别代入可得：
，
解得：，
函数的表达式为；
把代入二次函数得：，
，
，
把代入二次函数得：，
解得：，，
点是抛物线上两个不同的点，
；
（2）解：二次函数为常数，的图象经过点，
，
，
，
，
的最小值为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】 (1)代入A、B点坐标求出a、b，得到函数表达式；
把代入二次函数求出，结合得到的值，再代入二次函数求出m的值；
(2)把点A的坐标代入二次函数得到a、b的关系，代入消去a，结合二次函数性质求其最小值.
23．【答案】（1）证明：是正方形的对角线，
，，，
，
≌，
，
，
，
；
（2）解：，且，
，
由知，，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，
，
，
在中，，
，
或舍去，
正方形的边长为；
（3）解：如图，过点作交于点，
由知，≌，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
．
【知识点】平行公理及推论；三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；比例的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)通过边角边证明≌，得到，再利用两平行直线之间内错角相等得到，进而得到；
(2)根据等边对等角和三角形外角性质得，进而推得，再利用勾股定理和含角的性质求正方形的边长；
(3)过点作交于点，结合(1)知≌，利用等角对等边证明，，根据得到，由得到∽，进而求 的值.
1 / 1浙江省杭州重点中学2023-2024学年九年级（上）数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 在实数范围内有意义，，求得 ，
x的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件得，然后根据一元一次不等式的解法求出x的取值范围即可.
2．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：的半径是，中最长的弦长是直径等于， 中最长的弦长是 .
故答案为：B.
【分析】根据圆的定义，和弦长的概念求解.
3．（2023八下·中阳期末）如图，菱形中，分别是的中点，若菱形的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为：24，
∴BC=24÷4=6，
∵ E，F分别是AB，AC的中点，
∴。
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质得：BC=6，然后根据三角形中位线定理得出EF的长。
4．某班共有名学生，体育课上老师统计全班一分钟仰卧起坐的个数，由于小亮没有参加此次集体测试，因此计算其他名学生一分钟仰卧起坐的平均个数为个，方差为后来小亮进行了补测，成绩为个，关于该班名学生的一分钟仰卧起坐个数，下列说法正确的是（ ）
A．平均个数不变，方差不变 B．平均个数变小，方差不变
C．平均个数变大，方差变大 D．平均个数不变，方差变小
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：设他名学生一分钟仰卧起坐的平均个数，方差，
则小亮补测后48名学生一分钟仰卧起坐的平均个数，方差，平均个数不变，方差变小 .
故答案为：D.
【分析】根据平均数和方差公式代入化简判断.
5．已知二次函数，则下列关于这个函数的图象和性质的说法错误的是（ ）
A．图象的开口向下 B．与轴有个交点
C．当时，随的增大而减小 D．对称轴是直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： ，
A.，二次函数图象的开口向下，A正确；
B.令，则，求得，二次函数与轴有个交点 ，B正确；
CD.二次函数对称轴为，当时，随的增大而减小 ，C错误；D正确.
故答案为：C.
【分析】将二次函数化为顶点式，再逐一分析选项.
6．若点，，，都在反比例函数为常数，的图象上，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：函数，，反比例函数图像经过第1，3象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
，，
，，
.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数经过的象限和增减性得出答案.
7．如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，分别是，的中点，，，
，是的中点，，，.
故答案为：B.
【分析】根据中位线得，再根据直角三角形斜边中线定理得，进而求解 .
8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，，即， 的取值范围是且 .
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式直接求解.
9．当时，二次函数的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：，二次函数对称轴为，
当时，二次函数的最小值为，
当时，时，，求得，
当时，时，，求得，
的值为或 .
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象的对称性分和讨论求解.
10．已知二次函数，当时，的取值范围是下列结论：
对称轴是直线；
；
二次函数的图象经过点，，若，则；
有最大值．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数，当时，的取值范围是在两根之内，，对称轴，，
二次函数对称轴是直线，正确；
，错误；
二次函数的图象经过点，， ，又对称轴是直线， 或，错误；
，，又，当时有最大值，正确.
故答案为：D.
【分析】由 当时，的取值范围是，结合二次函数图象及对称性得到，对称轴，所以，进而分析序号.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．如图，在中的半径，圆心到弦的距离为，则弦的长度为 ．
【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：的半径，圆心到弦的距离为，弦的长度为.
故答案为：8.
【分析】根据圆的弦长定义，求解弦的长度 .
12．若平行四边形中两个内角的度数比为：，则其中较大角的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：如图不妨设，又，较大角的度数.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补结合比例关系求解.
13．如图，已经二次函数的图象如图所示，直线轴，则当时的取值范围 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象知二次函数对称轴为，直线与二次函数的一个交点为，直线与二次函数的另一个交点为，当时的取值范围.
故答案为：.
【分析】根据二次函数图象的对称性得到直线与二次函数的另一个交点为，再结合图像求时的取值范围.
14．（2023九上·浙江月考）已知关于的二次函数，无论取何值，函数图象恒过定点，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 二次函数
∵ 无论取何值，函数图象恒过定点 ，
∴A点的横坐标满足，即，
此时，
∴A点坐标为
故答案为：.
【分析】将二次函数变形为 ，根据 无论取何值，函数图象恒过定点 ，可知，即可求出A点横坐标，再代入二次函数，求出A点纵坐标，即可得出答案.
15．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，点为斜边的中点，反比例函数的图象过点且交线段于点，连结、，若，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意设，则，，令，求得，，
，.
故答案为：2.
【分析】设，求出的坐标，则，求出k的值.
16．如图，在纸片中，，，，点，分别在、边上，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，且四边形是菱形．
（1）若点在边上时，则菱形的边长为 ；
（2）连接，则的长的最小值为 ．
【答案】（1）
（2）1
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：，，，
，，
四边形是菱形，，是等边三角形，，
，又，
设菱形的边长为a，
当点在边上时， 则，即，求得，
设或其延长线交AC于点M，则，，，，当a=1时， 的长的最小值为1．
故答案为：；1.
【分析】由，，得到，根据四边形是菱形，得到，所以，设菱形的边长为a，当点在边上时， 由，求出菱形的边长；
设或其延长线交AC于点M，结合得到，根据二次函数性质求其最小值．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的化简求值；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】 (1) 先化简二次根式，在根据二次根式减法运算法则求解；
(2)配成完全平方公式求解.
18．张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
平均数 中位数 方差
张明
李亮
（1）求张明成绩的平均数和李亮成绩的中位数；
（2）现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
【答案】（1）解：张明成绩的平均数为：秒，
把李亮次成绩成绩从小到大排列，排在中间的数是，故中位数是；
（2）解：选择张明．理由如下：
李亮成绩的方差为：，
因为张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】 (1) 根据平均数和中位数定义进行求解；
(2)先求出李亮的方差，再根据方差越小，成绩越稳定进行判断.
19．如图，在 中，对角线，相交于点，于点，于点，．
（1）求证： 是矩形．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：于点，于点，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是矩形；
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 (1) 通过角角边证明≌，得到，所以有，利用矩形的判定证明 是矩形；
(2)结合矩形的性质，利用勾股定理求出，进而得到BF的长.
20．（2020九上·石城期末）已知一次函数 的图象与反比例函数 图象交于 ， 两点，且 点的横坐标 ，求：
（1）反比例函数的解析式．
（2） 的面积．
（3）直接写出满足 时 的取值范围．
【答案】（1）解：把 分别代入 ，得
，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
（2）解：设 与 轴交点为
∴ ，
解 ，
得 或 ，
∴ ，
∴
（3）解：根据图像的意义，知当 时， 的取值范围是 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A的横坐标代入一次函数解析式求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式即可；
（2）联立方程求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式求出三角形AOB的面积即可；
（3）结合函数图象，根据函数值大的在上方的原则求解即可。
21．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶元，当销售单价定为每瓶元时，每天可售出瓶．市场调查反应：销售单价每上涨元，则每天少售出瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨元，每天的销售量利润为元．
（1）写出每天的销售量，每瓶洗手液的利润；用含的代数式表示
（2）若这款洗手液的日销售利润达到元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润最大，最大利为多少元？
【答案】（1）解：设这款洗手液的销售单价上涨元，根据题意，每天的销售量为瓶；
每瓶洗手液的利润为元；
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：销售单价应上涨元或元；
（3）解：由题意得：，
，
当时，最大，最大值为．
答：当销售单价上涨元时，这款洗手液每天的销售利润最大，最大利为元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 (1) 根据销售单价每上涨元，则每天少售出瓶，得出销售量，根据利润=售价-成本价得到每瓶洗手液的利润 ；
(2)结合日销售利润=销售量每瓶洗手液的利润，列关于x的一元二次方程求解；
(3)根据日销售利润=销售量每瓶洗手液的利润，得到y与x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值.
22．二次函数为常数，的图象经过点．
（1）若该函数图象经过点，
求函数的表达式．
若点是抛物线上不同的两个点，且，求的值．
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：把和分别代入可得：
，
解得：，
函数的表达式为；
把代入二次函数得：，
，
，
把代入二次函数得：，
解得：，，
点是抛物线上两个不同的点，
；
（2）解：二次函数为常数，的图象经过点，
，
，
，
，
的最小值为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】 (1)代入A、B点坐标求出a、b，得到函数表达式；
把代入二次函数求出，结合得到的值，再代入二次函数求出m的值；
(2)把点A的坐标代入二次函数得到a、b的关系，代入消去a，结合二次函数性质求其最小值.
23．如图，在正方形中，点在对角线上，连接，，延长交于点，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，且，求正方形的边长．
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明：是正方形的对角线，
，，，
，
≌，
，
，
，
；
（2）解：，且，
，
由知，，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，
，
，
在中，，
，
或舍去，
正方形的边长为；
（3）解：如图，过点作交于点，
由知，≌，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
．
【知识点】平行公理及推论；三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；比例的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)通过边角边证明≌，得到，再利用两平行直线之间内错角相等得到，进而得到；
(2)根据等边对等角和三角形外角性质得，进而推得，再利用勾股定理和含角的性质求正方形的边长；
(3)过点作交于点，结合(1)知≌，利用等角对等边证明，，根据得到，由得到∽，进而求 的值.
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