第二十二章二次函数单元达标测试卷2023-2024学年人教版九年级数学上册（含答案）

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元达标测试卷
一、单选题
1．把抛物线 平移得到抛物线 ，是怎样平移得到的（　　）
A．向右平移7个单位长度、再向下平移3个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度
2．函数y=﹣2（x﹣3）2+6的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，6） B．（3，﹣6） C．（3，6） D．（6，3）
3．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值-1，有最大值0
C．有最小值-1，有最大值3 D．有最小值-1，无有最大值
4．将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
5．若a＋b＋c＝0，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c必过一点是（　　）
A．（0 ，0） B．（1 ，0） C．（－1 ，0） D．（2 ，0）
6．二次函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
7．二次函数的图象如图所示，下面结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（　　）
A．1 B． C． D．
9．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则有（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
10．抛物线y= x2+4x+3的顶点坐标是　 　
11．已知m=x2-2x，n=-x+2．若当p12．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是　 　．
13．如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为　 　．
三、解答题
14．如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，求 的面积．
15．已知，在平面直角坐标系中，有二次函数的图象.
（1）若该图象过点，求这个二次函数的表达式.
（2）是该函数图象上的两个不同点，
①若时，有，求的值；
②当时，恒有，试求的取值范围.
16．已知某抛物线与抛物线y=x2-3的形状和开口方向都相同，且顶点坐标为(-2，4)．
（1）求这条抛物线的函数表达式，
（2）给出一种平移方案，使第(1)题中的抛物线平移后经过原点．
四、综合题
17．如图，已知抛物线 与直线 交于点 ，点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是 轴上方抛物线上一点，点 是直线 上一点，若 以为顶点的四边形是以 为边的平行四边形，求点 的坐标.
18．某公司2022年刚成立时投资1000万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本40元.按规定，该产品售价不得低于60元/件且不超过160元/件，且每年售价确定以后不再变化，该产品的年销售量 （万件）与产品售价 （元）之间的函数关系如图所示.
（1）求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
（2）求2022年该公司的最大利润？
（3）在2022年取得最大利润的前提下，2023年公司将重新确定产品售价，能否使两年共盈利达980万元.若能，求出2023年产品的售价；若不能，请说明理由.
19．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位都是万元）．
（1）直接写出利润与关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
20．如图，抛物线与轴交于两点，．
（1）求，的值．
（2）观察函数的图象，直接写出当取何值时，．
（3）设抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]
（1）k=　 　，点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（0，0），抛物线 的顶点坐标为（3，7），因为点（0，0）向右平移3个单位，再向上平移7个单位得到点（3，7），所以把抛物线 向右平移3个单位，再向上平移7个单位得到抛物线
故答案为：C.
【分析】先确定抛物线 的顶点坐标为（0，0），抛物线 的顶点坐标为（3，7），然后利用（0，0）平移得到点（3，7）的过程得到抛物线的平移过程.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：二次函数y=﹣2（x﹣3）2+6的顶点坐标是（3，6）．
故选C．
【分析】根据二次函数的性质直接求解．
3．【答案】C
【解析】【解答】由图象可知该函数在所给自变量取值范围内有最小值为-1，最大值为3；
故答案为：C
【分析】由选项可知要求所给范围内函数的最大值与最小值，结合图像可知：最小值在顶点处取得，最大值在端点x=3处取得.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y=x2-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象与几何变换——平移规律：“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式即可求得平移后的函数解析式.
5．【答案】B
【解析】【解答】∵当x=1时，y=a+b+c，且a＋b＋c＝0，
∴当x=1时，y=0，即：该二次函数一定过点（1，0），
故答案为：B．
【分析】根据x=1时，a＋b＋c＝0，进行求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】当时，，
∴抛物线经过
∴只有B选项符合
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线经过的定点坐标，再求解即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】∵二次函数的图象开口向下，对称轴直线在y轴的右边，且抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，，
∴，
∵二次函数的图象开口向下，
∴二次函数有最大值，且时，，
∴，
∴
∵故①符合题意；
由抛物线的图象可知当时，，故②符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，
∴二次函数有最大值，且时，，
∴当时，，
∴，
∴，故③符合题意；
∵抛物线经过点，抛物线的对称轴直线为，
∴点C关于对称轴的对称点的坐标为，
∴一定是方程的一个根．
故正确的有①②③④，
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系的关系和二次函数的性质逐项判断即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，
∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，
∴OC＝k，
∵△ABC的面积＝ AB OC＝ AB k，△ABD的面积＝ AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4，
∴k＝ (4﹣k)，
解得：k＝ ．
故答案为：D．
【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：，
二次函数的对称轴是.
，
二次函数 的对称轴开口向下，
当时，随的增大而减小.
时，随的增大而减小，
.
故答案为：B.
【分析】本题考查了二次函数的单调性问题，对称轴问题.先从开口入手求解开口方向，再求解其对称轴，根据对称轴来判断 随的变化.
10．【答案】(-4，-5)
【解析】【解答】解：y=
∴
∴抛物线的顶点坐标为：（-4，-5）
故答案为：（-4，-5）
【分析】利用配方法将抛物线的解析式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可。
11．【答案】3
【解析】【解答】解：∵m∴x2-2x ＜-x+2，
∴x2-x -2＜0，
解得：-1＜x＜2，
∴当-1＜x＜2时，m又∵p∴q-p的最大值2-（-1）=3.
故答案为：3.
【分析】由 m12．【答案】﹣1＜x2＜0
【解析】【解答】解：由图象可知x=2时，y＜0；x=3时，y＞0；
由于直线x=1是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知：x=0时，y＜0；x=﹣1时，y＞0；
所以另一个根x2的取值范围为﹣1＜x2＜0．
故答案为：﹣1＜x2＜0．
【分析】利用对称轴及二次函数的图象性质，可以把图象与x轴另一个交点的取值范围确定．
13．【答案】
【解析】【解答】解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E=CD，连接BE交直线y=9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y=4于D'，如图：
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E=CD，C'D'=CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'=A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'=EC'，
∵A关于直线y=4的对称点A'，
∴AD'=A'D'，
∴EC'=AD'，
∴BE=BC'+EC'=BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y=4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（-3，9），D（2，4），
∴E（-2，13），
设直线BE解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线BE解析式为，
令y=9得：，
解得：，
∴，
∴，
即将抛物线y=x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为，
故答案为：.
【分析】过C、D作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E=CD，连接BE交直线y=9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y=4于D'，四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，可得四边形A'EC'D'是平行四边形，可证BE=BC'+EC'=BC'+AD'，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出A'（3，8），E（-2，13），可得直线BE解析式为，求出点C'坐标，得出CC'的值，得出抛物线y=x2向右移四边形ABC′D′的周长最小，即可求解.
14．【答案】解：延长DC交x轴于E，
依题意，可得y＝ x2＋2x＋3＝ （x 1）2＋4，
∴顶点D（1，4），
令y＝0，可得x＝3或x＝ 1，
∴B（3，0），
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∴直线DC的解析式为y＝x＋3，
令y＝0，可得x＝-3，
∴E（-3，0），
BE＝6，
∴S△BCD＝S△BED S△BCE＝ =12-9=3．
∴△BCD的面积为3．
【解析】【分析】 延长DC交x轴于E， 根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再利用割补法 S△BCD＝S△BED S△BCE求解即可。
15．【答案】（1）函数图象过点，
将点代入，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）①函数的对称轴是直线，
为此二次函数图象上的两个不同点，且，则，
，
；
②函数的对称轴是直线，
，对任意的都有，
当时，；
；
当时，不符合题意舍去；
.
【解析】【分析】（）利用待定系数法，将点代入，计算求解即可；
（）利用二次函数的对称性可得，即可得解；
由已知当，对任意的，都有，则在时，二次函数是随的增大而增大，分，两种情况讨论，即可得解．
16．【答案】（1）解：由题意得，
抛物线的函数表达式为：y=（x+2）2+4；
（2）解：答案不唯一，向左平移2个单位，或向右平移6个单位，或向下平移3个单位等.
【解析】【分析】（2）利用 某抛物线与抛物线y=x2-3的形状和开口方向都相同，可知a的值相等，再利用顶点坐标为 (-2，4) ，可得到抛物线的解析式.
（2）利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，再抓住关键已知条件： 使第(1)题中的抛物线平移后经过原点，可得到一种平移的方案.
17．【答案】（1）解：∵抛物线 与直线 交于点 ，点 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：设直线AB的解析式为：y=kx+m，
把 ， ，代入得： ，解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=x+3.
∵以 为顶点的四边形是以OA为边的平行四边形，
∴AO=MN=3且AO∥MN，
∵点 是 轴上方抛物线上一点，点 是直线 上一点，
∴设M(x， )，则N(x+3，x+6)或N(x-3，x)，
∴ =x+6或 =x，解得： ， ， ， ，
令y=0代入 ，得： ，解得：x=-3或x=2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(2，0)，
∵点 是 轴上方抛物线上一点，
∴点M的横坐标取值范围为：-3＜x＜2，
∴点M的坐标为：(0，6)或(-2，4)或( ， )
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；
（2）先求出直线AB的解析式，由平行四边形的性质得AO=MN=3且AO∥MN，根据抛物线上的点的坐标特点设M(x， )，则N(x+3，x+6)或N(x-3，x)，根据M，N的纵坐标相等，列出关于x的方程，即可求解.
18．【答案】（1）解：设y=kx+b，则由图象知：
解得k= ，b=18，即 .
（2）解：设公司2022年获利W万元，
则W=（x-40）y-1000=（x-40）（ ）-100= W=- （x-160）2+200
（3）解：980-200=780万元，即2023年利润为780万元.
（x-40）（ ）=780，解得x1=100，x2=300（不符合题意，舍去）
即能，售价为100元/件.
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，则由图象可求得k，b，从而得出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围60≤x≤160；（2）设公司第一年获利W万元，则可表示出W=- （x-160）2+200，则2022年该公司的最大利润200万元；（3）980-200=780万元，（x-40）（ ）=780，解得x1=100，x2=300，即2023年利润为780万元.
19．【答案】（1）解：设，由图1所示，函数的图像过，
∴，
∴，且，
故利润关于投资量的函数关系式是；
由图2所示，抛物线的顶点是原点，
∴设，
∵函数的图像过，
∴，
∴，且，
故利润关于投资量的函数关系式是．
（2）解：设种植花卉万元（），则投入种植树木万元，利润为万元，根据题意得：
，
∵二次函数图象开口向上，且，
∴当时，的最小值是；
∴当时，随的增大而增大；
∴当时，的最大值是；
∴他至少获得万元利润，他能获取的最大利润是万元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设种植花卉万元（），则投入种植树木万元，利润为万元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
20．【答案】（1）解： 抛物线与轴交于两点，，
解得：
（2）解：由（1）得：抛物线为：
而，，
当时，函数图象在轴的上方，结合图象可得：
＜或＞
（3）解：存在，理由如下：
如图，抛物线为：
抛物线的对称轴为：
由抛物线的对称性可得：关于对称，
连接 交对称轴于 则
此时的周长最短，
设为：
为：
当时，
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出b和c的值即可；
（2）先求出 ，， 再根据函数图象求解即可；
（3）先求出抛物线的对称轴为： 再利用待定系数法求出直线BC的解析式，最后求解即可。
21．【答案】（1）-3；（﹣1，0）；（3，0）
（2）解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为M（1，﹣4），连接OM．
则△AOC的面积= ，△MOC的面积= ，
△MOB的面积=6，
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．
说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和
（3）解：如图（2），设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD．
则0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0
且△AOC的面积= ，△DOC的面积= m，
△DOB的面积=﹣ （m2﹣2m﹣3），
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=﹣ m2+ m+6
=﹣ （m﹣ ）2+ ．
∴存在点D（ ， ），使四边形ABDC的面积最大为
（4）解：有两种情况：
如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．
∵∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴点E的坐标为（0，3）．
∴直线BE的解析式为y=﹣x+3．
由
解得
∴点Q1的坐标为（﹣2，5）．
如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴点F的坐标为（﹣3，0）．
∴直线CF的解析式为y=﹣x﹣3．
由
解得
∴点Q2的坐标为（1，﹣4）．
综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．
说明：如图（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样可以．
【解析】【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3
∴y=x2﹣2x﹣3，
令y=0，
即x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
【分析】（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标；（2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和；（3）设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．