5.2 平行线及其判定 同步测试题 2022-2023学年人教版七年级数学下册（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.2 平行线及其判定 同步测试题 2022-2023学年人教版七年级数学下册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 368.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-02 13:33:00 | ||
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文档简介
5.2 平行线及其判定（同步测试题）
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，下列条件可判定直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠3+∠5＝180°
2．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行（ ）
A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A+∠ABD＝180°；④∠A＝∠DCE；⑤∠ABD＝∠ACD，能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．①④⑤ C．①③④ D．①③
4．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠5＝∠1 B．∠4＝∠1
C．∠1+∠3＝180° D．∠4+∠3＝180°
5．数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得DE∥AC．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2（ ）
A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°
7．如图，以下条件不能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠2
C．∠4＝∠1+∠3 D．∠ABC+∠BCD＝180°
8．如图，下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠5＝∠C D．∠A+∠ADC＝180°
9．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠7+∠4﹣∠1＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠2＝∠3中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，下列条件：
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③∠ADC＝∠B；
④∠D+∠BCD＝180°；
⑤∠B+∠BCD＝180°，
其中能推导出AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①⑤ D．②⑤
二．填空题（共6小题）
11．下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 （填序号）．
12．如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是 ．
13．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，满足三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝ ．
14．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 °．
15．如图，点E在AC的延长线上，图中能判断AB∥CD的条件是 （只需写三个）．
16．如图，若要得到AD∥EF，需要添加的条件是（只填一个条件） ．
三．解答题（共9小题）
17．如图，（1）如果∠1＝∠B，那么 ∥ ．根据是 ．
（2）如果∠3＝∠D，那么 ∥ ，根据是 ．
（3）如果∠B+∠2＝ ，那么AB∥CD，根据是 ．
18．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，试判断直线AB，CD是否平行？为什么？
19．如图，已知在∠MON的一边OM上有一点A，另一边ON上有一点C，过A作ON的垂线交ON于点B，过C作OM的垂线交OM于点D，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．判断AE与CF是否平行，并说明理由．
20．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1＝∠2
又∵∠E＝∠1
∴∠E＝∠2
∴AE∥BC
∴∠A+∠ABC＝180°
又∵∠3+∠ABC＝180°
∴∠A＝∠3
∴DF∥AB ．
21．如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC于D，点E、A、C在同一直线上，∠DAC＝∠EFA，延长EF交BC于G，说明为什么EG⊥BC．
22．如图，已知∠CGD＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：AD∥EF．
23．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD．
24．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
25．已知关于a的方程2（a﹣2）＝a+4的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣b＝7的解．
（1）求a、b的值；
（2）若点A、B在数轴上表示的数分别为（1）中的a，b，点P、Q分别从A、B两点背向而行，P的速度为每秒1个单位，Q的速度为每秒2个单位，问经过多少时间PQ的距离为20？
（3）如图，在（2）的条件下射线BQ绕着点B顺时针旋转，速度为每秒1度，射线AP绕着点A逆时针旋转，速度为每秒2度，当射线AP旋转完一周时两条射线同时停止运动．若射线BQ先转动30秒，射线AP才开始转动，当射线AP转动几秒时，射线BQ与AP互相平行？
5.2 平行线及其判定（同步测试题）
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，下列条件可判定直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠3+∠5＝180°
【解答】解：A、根据∠1＝∠2能推出c∥d，故不合题意；
B、根据∠2＝∠3不能推出a∥b，故不合题意；
C、根据∠4＝∠5能推出c∥d，故不合题意；
D、根据∠3+∠5＝180°能推出a∥b，故符合题意；
故选：D．
2．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行（ ）
A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【解答】解：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4＝90°，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5＝90°，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3＝90°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
故答案为：A．
3．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A+∠ABD＝180°；④∠A＝∠DCE；⑤∠ABD＝∠ACD，能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．①④⑤ C．①③④ D．①③
【解答】解：①∵∠1＝∠2；
∴AB∥CD，故①符合题意，
②∵∠3＝∠4；
∴AC∥BD，故②不合题意，
③∵∠A+∠ABD＝180°；
∴AC∥BD，故③不合题意，
④∵∠A＝∠DCE；
∴AB∥CD，故④符合题意，
⑤∠ABD＝∠ACD，不能判断两直线平行，
故符合题意的有①④，
故选：A．
4．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠5＝∠1 B．∠4＝∠1
C．∠1+∠3＝180° D．∠4+∠3＝180°
【解答】解：A、因为∠5和∠1一组内错角，且∠5＝∠1，根据内错角相等两直线平行可以判定AB∥CD，故符合题意，
B、因为∠4和∠1是一组同位角，且∠4＝∠1根据同位角相等两直线平行可以判定EF∥GH，不符合题意，
C、因为∠2和∠1是一组对顶角，∠2和∠3是一组同旁内角，∠1+∠3＝180°，即∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补两直线平行可以判定EF∥GH，不符合题意，
D、，因为∠4和∠3一组邻补角，所以∠4+∠3＝180°不能判定两直线平行，
故选：A．
5．数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得DE∥AC．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由∠A＝∠1可得DE∥AC（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
B、由∠2+∠4＝180°可得DE∥AC（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
C、由∠A＝∠3可得DF∥AB（同位角相等，两直线平行），不能得到DE∥AC，则此项符合题意；
D、由∠3＝∠4可得DE∥AC（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故选：C．
6．如图，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2（ ）
A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°
【解答】解：∠1＝62°，要使l1∥l2，
则需∠3＝62°（同位角相等，两直线平行），
由图可知，∠2与∠3是邻补角，
则只需∠2＝180°﹣62°＝118°，
故选：A．
7．如图，以下条件不能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠2
C．∠4＝∠1+∠3 D．∠ABC+∠BCD＝180°
【解答】解：A、∠2＝∠3，由内错角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，故A不符合题意；
B、∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故B符合题意；
C、∠4＝∠1+∠3，由同位角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，故C不符合题意；
D、∠ABC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，能判定AB∥CD，故D不符合题意．
故选：B．
8．如图，下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠5＝∠C D．∠A+∠ADC＝180°
【解答】解：A、∠3＝∠4，能判定AD∥BC，故A符合题意；
B、C，D中的条件能判定AB∥DC，故B、C、D不符合题意．
故选：A．
9．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠7+∠4﹣∠1＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠2＝∠3中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7＝∠1+∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3，可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
故能判断直线a∥b的有5个．
故选：C．
10．如图，下列条件：
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③∠ADC＝∠B；
④∠D+∠BCD＝180°；
⑤∠B+∠BCD＝180°，
其中能推导出AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①⑤ D．②⑤
【解答】解：∠1＝∠2，∠D+∠BCD＝180°，只能推导出AD∥BC，故①④不符合题意；
∠ADC＝∠B，不能推导出AB∥DC，故③不符合题意；
∠3＝∠4，∠B+∠BCD＝180°，能推导出AB∥CD，故②⑤符合题意．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 ①②③ （填序号）．
【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
12．如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是 ∠2＝∠4（答案不唯一） ．
【解答】解：添加∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CD．
故答案为：∠2＝∠4 （答案不唯一）．
13．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，满足三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝ 120或165或30 ．
【解答】解：①当AD∥CE时，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
②当BE∥AD时，过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
③如图中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
故答案为：120或165或30．
14．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 25 °．
【解答】解：如图，
∵∠AOC＝∠1＝50°时，AB∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是75°﹣50°＝25°．
故答案为：25．
15．如图，点E在AC的延长线上，图中能判断AB∥CD的条件是 ∠1＝∠7或∠6＝∠2或∠1+∠ACD＝180° （只需写三个）．
【解答】解：有∠1＝∠7或∠6＝∠2或∠1+∠ACD＝180°，
故答案为：∠1＝∠7或∠6＝∠2或∠1+∠ACD＝180°．
16．如图，若要得到AD∥EF，需要添加的条件是（只填一个条件） ∠2＝∠3 ．
【解答】解：由题可得，当∠2＝∠3时，AD∥EF，（同位角相等，两直线平行）
当∠3+∠4＝180°时，AD∥EF，（同旁内角互补，两直线平行）
当∠5+∠6＝180°时，AD∥EF，（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：∠2＝∠3（答案不唯一）
三．解答题（共9小题）
17．如图，（1）如果∠1＝∠B，那么 AB ∥ CD ．根据是 同位角相等，两直线平行 ．
（2）如果∠3＝∠D，那么 BE ∥ DF ，根据是 内错角相等，两直线平行 ．
（3）如果∠B+∠2＝ 180° ，那么AB∥CD，根据是 同旁内角互补，两直线平行 ．
【解答】解：（1）如果∠1＝∠B，那么AB∥CD；根据是同位角相等，两直线平行；
（2）如果∠3＝∠D，那么BE∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；
（3）如果∠B+∠2＝180°，那么AB∥CD，根据是同旁内角互补，两直线平行．
故答案为：AB，CD，同位角相等，两直线平行；BE，DF，内错角相等，两直线平行；180°，同旁内角互补，两直线平行．
18．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，试判断直线AB，CD是否平行？为什么？
【解答】解：直线AB，CD平行．
证明：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∴∠ABD+∠BDC＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AB∥DC．
19．如图，已知在∠MON的一边OM上有一点A，另一边ON上有一点C，过A作ON的垂线交ON于点B，过C作OM的垂线交OM于点D，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．判断AE与CF是否平行，并说明理由．
【解答】解：AE∥CF，理由如下：
∵AB⊥ON，CD⊥OM，
∴∠ABE＝∠CDF＝90°，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∵AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线，
∴∠BAE+∠FCE＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠FCE，
∴AE∥CF．
20．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1＝∠2 （角平分线定义）
又∵∠E＝∠1
∴∠E＝∠2 （等量代换）
∴AE∥BC （内错角相等，两直线平行）
∴∠A+∠ABC＝180° （两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3+∠ABC＝180°
∴∠A＝∠3 （同角的补角相等）
∴DF∥AB （同位角相等，两直线平行） ．
【解答】证明：BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2（角平分线定义），
又∵∠E＝∠1，
∴∠E＝∠2（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠3+∠ABC＝180°，
∴∠A＝∠3（同角的补角相等），
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行），
故答案为：（角平分线定义），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），（同角的补角相等），（同位角相等，两直线平行）．
21．如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC于D，点E、A、C在同一直线上，∠DAC＝∠EFA，延长EF交BC于G，说明为什么EG⊥BC．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠EFA，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠EFA，
∴EG∥AD，
∵AD⊥BC，
∴EG⊥BC．
22．如图，已知∠CGD＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：AD∥EF．
【解答】证明：∵∠CGD＝∠CAB（已知），
∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴EF∥AD（内同位角相等，两直线平行）．
23．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，
∴∠CAD＝∠F，
∴EF∥AD．
24．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴4α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝4α＝144°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
25．已知关于a的方程2（a﹣2）＝a+4的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣b＝7的解．
（1）求a、b的值；
（2）若点A、B在数轴上表示的数分别为（1）中的a，b，点P、Q分别从A、B两点背向而行，P的速度为每秒1个单位，Q的速度为每秒2个单位，问经过多少时间PQ的距离为20？
（3）如图，在（2）的条件下射线BQ绕着点B顺时针旋转，速度为每秒1度，射线AP绕着点A逆时针旋转，速度为每秒2度，当射线AP旋转完一周时两条射线同时停止运动．若射线BQ先转动30秒，射线AP才开始转动，当射线AP转动几秒时，射线BQ与AP互相平行？
【解答】解：（1）2（a﹣2）＝a+4，
2a﹣4＝a+4
a＝8，
∵x＝a＝8，
把x＝8代入方程2（x﹣3）﹣b＝7，
∴2（8﹣3）﹣b＝7，
b＝3，
答：a＝8，b＝3；
（2）设经过x sPQ的距离为20，由题意得：
x+8﹣3+2x＝20，
解得：x＝5，
∴经过5秒PQ的距离为20；
（3）设射线AP转动t秒时，射线BQ与AP互相平行，由题意知：0≤t≤180，
①如图，
由题意得：∠MBQ＝（30+t）°，∠NAP＝2t°，
∴∠MAP＝（180﹣2t）°，
∵BQ∥AP，
∴∠MAP＝∠MBQ，
∴30+t＝180﹣2t，
∴t＝50．
②如图，
由题意得：∠MBQ＝（30+t）°，∠MAP＝（2t﹣180）°，
∴∠ABQ＝180°﹣（30+t）°，
∵BQ∥AP，
∴∠MAP＝∠ABQ，
∴2t﹣180＝180﹣（30+t），
∴t＝110，
③如图，
由题意得：∠ABQ＝（30+t﹣180）°，∠NAP＝（360﹣2t）°，
∵BQ∥AP，
∴∠NAP＝∠ABQ，
∴30+t﹣180＝360﹣2t，
∴t＝170，
综上，当射线AP转动50或110或170秒时，射线BQ与AP互相平行．
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，下列条件可判定直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠3+∠5＝180°
2．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行（ ）
A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A+∠ABD＝180°；④∠A＝∠DCE；⑤∠ABD＝∠ACD，能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．①④⑤ C．①③④ D．①③
4．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠5＝∠1 B．∠4＝∠1
C．∠1+∠3＝180° D．∠4+∠3＝180°
5．数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得DE∥AC．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2（ ）
A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°
7．如图，以下条件不能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠2
C．∠4＝∠1+∠3 D．∠ABC+∠BCD＝180°
8．如图，下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠5＝∠C D．∠A+∠ADC＝180°
9．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠7+∠4﹣∠1＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠2＝∠3中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，下列条件：
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③∠ADC＝∠B；
④∠D+∠BCD＝180°；
⑤∠B+∠BCD＝180°，
其中能推导出AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①⑤ D．②⑤
二．填空题（共6小题）
11．下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 （填序号）．
12．如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是 ．
13．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，满足三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝ ．
14．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 °．
15．如图，点E在AC的延长线上，图中能判断AB∥CD的条件是 （只需写三个）．
16．如图，若要得到AD∥EF，需要添加的条件是（只填一个条件） ．
三．解答题（共9小题）
17．如图，（1）如果∠1＝∠B，那么 ∥ ．根据是 ．
（2）如果∠3＝∠D，那么 ∥ ，根据是 ．
（3）如果∠B+∠2＝ ，那么AB∥CD，根据是 ．
18．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，试判断直线AB，CD是否平行？为什么？
19．如图，已知在∠MON的一边OM上有一点A，另一边ON上有一点C，过A作ON的垂线交ON于点B，过C作OM的垂线交OM于点D，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．判断AE与CF是否平行，并说明理由．
20．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1＝∠2
又∵∠E＝∠1
∴∠E＝∠2
∴AE∥BC
∴∠A+∠ABC＝180°
又∵∠3+∠ABC＝180°
∴∠A＝∠3
∴DF∥AB ．
21．如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC于D，点E、A、C在同一直线上，∠DAC＝∠EFA，延长EF交BC于G，说明为什么EG⊥BC．
22．如图，已知∠CGD＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：AD∥EF．
23．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD．
24．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
25．已知关于a的方程2（a﹣2）＝a+4的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣b＝7的解．
（1）求a、b的值；
（2）若点A、B在数轴上表示的数分别为（1）中的a，b，点P、Q分别从A、B两点背向而行，P的速度为每秒1个单位，Q的速度为每秒2个单位，问经过多少时间PQ的距离为20？
（3）如图，在（2）的条件下射线BQ绕着点B顺时针旋转，速度为每秒1度，射线AP绕着点A逆时针旋转，速度为每秒2度，当射线AP旋转完一周时两条射线同时停止运动．若射线BQ先转动30秒，射线AP才开始转动，当射线AP转动几秒时，射线BQ与AP互相平行？
5.2 平行线及其判定（同步测试题）
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，下列条件可判定直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠3+∠5＝180°
【解答】解：A、根据∠1＝∠2能推出c∥d，故不合题意；
B、根据∠2＝∠3不能推出a∥b，故不合题意；
C、根据∠4＝∠5能推出c∥d，故不合题意；
D、根据∠3+∠5＝180°能推出a∥b，故符合题意；
故选：D．
2．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行（ ）
A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【解答】解：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4＝90°，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5＝90°，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3＝90°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
故答案为：A．
3．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A+∠ABD＝180°；④∠A＝∠DCE；⑤∠ABD＝∠ACD，能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．①④⑤ C．①③④ D．①③
【解答】解：①∵∠1＝∠2；
∴AB∥CD，故①符合题意，
②∵∠3＝∠4；
∴AC∥BD，故②不合题意，
③∵∠A+∠ABD＝180°；
∴AC∥BD，故③不合题意，
④∵∠A＝∠DCE；
∴AB∥CD，故④符合题意，
⑤∠ABD＝∠ACD，不能判断两直线平行，
故符合题意的有①④，
故选：A．
4．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠5＝∠1 B．∠4＝∠1
C．∠1+∠3＝180° D．∠4+∠3＝180°
【解答】解：A、因为∠5和∠1一组内错角，且∠5＝∠1，根据内错角相等两直线平行可以判定AB∥CD，故符合题意，
B、因为∠4和∠1是一组同位角，且∠4＝∠1根据同位角相等两直线平行可以判定EF∥GH，不符合题意，
C、因为∠2和∠1是一组对顶角，∠2和∠3是一组同旁内角，∠1+∠3＝180°，即∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补两直线平行可以判定EF∥GH，不符合题意，
D、，因为∠4和∠3一组邻补角，所以∠4+∠3＝180°不能判定两直线平行，
故选：A．
5．数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得DE∥AC．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由∠A＝∠1可得DE∥AC（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
B、由∠2+∠4＝180°可得DE∥AC（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
C、由∠A＝∠3可得DF∥AB（同位角相等，两直线平行），不能得到DE∥AC，则此项符合题意；
D、由∠3＝∠4可得DE∥AC（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故选：C．
6．如图，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2（ ）
A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°
【解答】解：∠1＝62°，要使l1∥l2，
则需∠3＝62°（同位角相等，两直线平行），
由图可知，∠2与∠3是邻补角，
则只需∠2＝180°﹣62°＝118°，
故选：A．
7．如图，以下条件不能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠2
C．∠4＝∠1+∠3 D．∠ABC+∠BCD＝180°
【解答】解：A、∠2＝∠3，由内错角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，故A不符合题意；
B、∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故B符合题意；
C、∠4＝∠1+∠3，由同位角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，故C不符合题意；
D、∠ABC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，能判定AB∥CD，故D不符合题意．
故选：B．
8．如图，下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠5＝∠C D．∠A+∠ADC＝180°
【解答】解：A、∠3＝∠4，能判定AD∥BC，故A符合题意；
B、C，D中的条件能判定AB∥DC，故B、C、D不符合题意．
故选：A．
9．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠7+∠4﹣∠1＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠2＝∠3中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7＝∠1+∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3，可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
故能判断直线a∥b的有5个．
故选：C．
10．如图，下列条件：
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③∠ADC＝∠B；
④∠D+∠BCD＝180°；
⑤∠B+∠BCD＝180°，
其中能推导出AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①⑤ D．②⑤
【解答】解：∠1＝∠2，∠D+∠BCD＝180°，只能推导出AD∥BC，故①④不符合题意；
∠ADC＝∠B，不能推导出AB∥DC，故③不符合题意；
∠3＝∠4，∠B+∠BCD＝180°，能推导出AB∥CD，故②⑤符合题意．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 ①②③ （填序号）．
【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
12．如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是 ∠2＝∠4（答案不唯一） ．
【解答】解：添加∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CD．
故答案为：∠2＝∠4 （答案不唯一）．
13．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，满足三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝ 120或165或30 ．
【解答】解：①当AD∥CE时，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
②当BE∥AD时，过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
③如图中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
故答案为：120或165或30．
14．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 25 °．
【解答】解：如图，
∵∠AOC＝∠1＝50°时，AB∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是75°﹣50°＝25°．
故答案为：25．
15．如图，点E在AC的延长线上，图中能判断AB∥CD的条件是 ∠1＝∠7或∠6＝∠2或∠1+∠ACD＝180° （只需写三个）．
【解答】解：有∠1＝∠7或∠6＝∠2或∠1+∠ACD＝180°，
故答案为：∠1＝∠7或∠6＝∠2或∠1+∠ACD＝180°．
16．如图，若要得到AD∥EF，需要添加的条件是（只填一个条件） ∠2＝∠3 ．
【解答】解：由题可得，当∠2＝∠3时，AD∥EF，（同位角相等，两直线平行）
当∠3+∠4＝180°时，AD∥EF，（同旁内角互补，两直线平行）
当∠5+∠6＝180°时，AD∥EF，（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：∠2＝∠3（答案不唯一）
三．解答题（共9小题）
17．如图，（1）如果∠1＝∠B，那么 AB ∥ CD ．根据是 同位角相等，两直线平行 ．
（2）如果∠3＝∠D，那么 BE ∥ DF ，根据是 内错角相等，两直线平行 ．
（3）如果∠B+∠2＝ 180° ，那么AB∥CD，根据是 同旁内角互补，两直线平行 ．
【解答】解：（1）如果∠1＝∠B，那么AB∥CD；根据是同位角相等，两直线平行；
（2）如果∠3＝∠D，那么BE∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；
（3）如果∠B+∠2＝180°，那么AB∥CD，根据是同旁内角互补，两直线平行．
故答案为：AB，CD，同位角相等，两直线平行；BE，DF，内错角相等，两直线平行；180°，同旁内角互补，两直线平行．
18．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，试判断直线AB，CD是否平行？为什么？
【解答】解：直线AB，CD平行．
证明：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∴∠ABD+∠BDC＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AB∥DC．
19．如图，已知在∠MON的一边OM上有一点A，另一边ON上有一点C，过A作ON的垂线交ON于点B，过C作OM的垂线交OM于点D，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．判断AE与CF是否平行，并说明理由．
【解答】解：AE∥CF，理由如下：
∵AB⊥ON，CD⊥OM，
∴∠ABE＝∠CDF＝90°，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∵AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线，
∴∠BAE+∠FCE＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠FCE，
∴AE∥CF．
20．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1＝∠2 （角平分线定义）
又∵∠E＝∠1
∴∠E＝∠2 （等量代换）
∴AE∥BC （内错角相等，两直线平行）
∴∠A+∠ABC＝180° （两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3+∠ABC＝180°
∴∠A＝∠3 （同角的补角相等）
∴DF∥AB （同位角相等，两直线平行） ．
【解答】证明：BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2（角平分线定义），
又∵∠E＝∠1，
∴∠E＝∠2（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠3+∠ABC＝180°，
∴∠A＝∠3（同角的补角相等），
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行），
故答案为：（角平分线定义），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），（同角的补角相等），（同位角相等，两直线平行）．
21．如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC于D，点E、A、C在同一直线上，∠DAC＝∠EFA，延长EF交BC于G，说明为什么EG⊥BC．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠EFA，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠EFA，
∴EG∥AD，
∵AD⊥BC，
∴EG⊥BC．
22．如图，已知∠CGD＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：AD∥EF．
【解答】证明：∵∠CGD＝∠CAB（已知），
∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴EF∥AD（内同位角相等，两直线平行）．
23．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，
∴∠CAD＝∠F，
∴EF∥AD．
24．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴4α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝4α＝144°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
25．已知关于a的方程2（a﹣2）＝a+4的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣b＝7的解．
（1）求a、b的值；
（2）若点A、B在数轴上表示的数分别为（1）中的a，b，点P、Q分别从A、B两点背向而行，P的速度为每秒1个单位，Q的速度为每秒2个单位，问经过多少时间PQ的距离为20？
（3）如图，在（2）的条件下射线BQ绕着点B顺时针旋转，速度为每秒1度，射线AP绕着点A逆时针旋转，速度为每秒2度，当射线AP旋转完一周时两条射线同时停止运动．若射线BQ先转动30秒，射线AP才开始转动，当射线AP转动几秒时，射线BQ与AP互相平行？
【解答】解：（1）2（a﹣2）＝a+4，
2a﹣4＝a+4
a＝8，
∵x＝a＝8，
把x＝8代入方程2（x﹣3）﹣b＝7，
∴2（8﹣3）﹣b＝7，
b＝3，
答：a＝8，b＝3；
（2）设经过x sPQ的距离为20，由题意得：
x+8﹣3+2x＝20，
解得：x＝5，
∴经过5秒PQ的距离为20；
（3）设射线AP转动t秒时，射线BQ与AP互相平行，由题意知：0≤t≤180，
①如图，
由题意得：∠MBQ＝（30+t）°，∠NAP＝2t°，
∴∠MAP＝（180﹣2t）°，
∵BQ∥AP，
∴∠MAP＝∠MBQ，
∴30+t＝180﹣2t，
∴t＝50．
②如图，
由题意得：∠MBQ＝（30+t）°，∠MAP＝（2t﹣180）°，
∴∠ABQ＝180°﹣（30+t）°，
∵BQ∥AP，
∴∠MAP＝∠ABQ，
∴2t﹣180＝180﹣（30+t），
∴t＝110，
③如图，
由题意得：∠ABQ＝（30+t﹣180）°，∠NAP＝（360﹣2t）°，
∵BQ∥AP，
∴∠NAP＝∠ABQ，
∴30+t﹣180＝360﹣2t，
∴t＝170，
综上，当射线AP转动50或110或170秒时，射线BQ与AP互相平行．