浙江省重点中学2023年数学九上期末模拟试题（含解析）

浙江省重点中学2023年数学九上期末模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知点为反比例函数图象上的两点，当时，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用一块长40cm，宽28cm的矩形铁皮，在四个角截去四个全等的正方形后，折成一个无盖的长方形盒子，若折成的长方体的底面积为，设小正方形的边长为xcm，则列方程得（　　）
A．（20﹣x）（14﹣x）＝360 B．（40﹣2x）（28﹣2x）＝360
C．40×28﹣4x2＝360 D．（40﹣x）（28﹣x）＝360
3．方程x2=x的解是（　　）
A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=0
4．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
B．抛掷一枚硬币2次都是正面朝上
C．在标准大气压下，气温为15℃时，冰能熔化为水
D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品
6．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是　　
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7．如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是（ ）
A．-2 B．±4 C．2 D．±2
8．方程的解是（ ）
A．0 B．3 C．0或–3 D．0或3
9．已知二次函数图象的一部分如图所示，给出以下结论：；当时，函数有最大值；方程的解是，；，其中结论错误的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
10．按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（　　）
①△ABC与△DEF是位似图形 ②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为1：2 ④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图像分布在第一、三象限 B．当时，随的增大而减小
C．图像经过点 D．若点都在图像上，且，则
12．如图，在中，，D为AC上一点，连接BD，且，则DC长为（ ）
A．2 B． C． D．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环，其中甲的成绩的方差为 1.2，乙的成绩的方差为 3.9，由此可知_____的成绩更稳定．
14．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为________.
15．如图，OA⊥OB，等腰直角△CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为__________
16．如图，，点、都在射线上，，，是射线上的一个动点，过、、三点作圆，当该圆与相切时，其半径的长为__________．
17．如图,P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=____________.
18．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知AD AC＝AB AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
20．（8分）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为.
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式2x+b＞的解集；
（3）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BM，当S△ABM＝2S△OMP时，求点P的坐标．
22．（10分）取什么值时，关于的方程有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
23．（10分）如图，对称轴是的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
求抛物线的函数表达式；
若点是直线下方的抛物线上的动点，求的面积的最大值；
若点在抛物线对称轴左侧的抛物线上运动，过点作铀于点，交直线于点，且，求点的坐标；
在对称轴上是否存在一点，使的周长最小，若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由.
24．（10分）某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为　 　度，并将条形统计图补充完整．
（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．
25．（12分）如图，AC为圆O的直径，弦AD的延长线与过点C的切线交于点B，E为BC中点，AC= ，BC=4.
（1）求证：DE为圆O的切线；
（2）求阴影部分面积.
26．如图，为的直径，切于点，交的延长线于点，且.
(1)求的度数.
(2)若的半径为2，求的长.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结论．
【详解】∵反比例函数在时，y随着x的增大而减小，
∴当时，
故选：A．
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2、B
【分析】由题意设剪掉的正方形的边长为xcm，根据长方体的底面积为列出方程即可．
【详解】解：设剪掉的正方形的边长为xcm，
则（28﹣2x）（40﹣2x）＝1．
故选：B．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题并建立方程．
3、C
【解析】试题解析：x2-x=0，
x（x-1）=0，
x=0或x-1=0，
所以x1=0，x2=1．
故选C．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
4、C
【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．
【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD
所以有三对相似三角形，
故选：C．
考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
5、C
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，据此逐一判断即可.
【详解】A.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意，
B.抛掷一枚硬币2次都是正面朝上，可能朝上，也可能朝下，是随机事件，不符合题意，
C.在标准大气压下，气温为15℃时，冰能熔化为水，是必然事件，符合题意．
D.从车间刚生产的产品中任意抽一个，可能是正品，也可能是次品，是随机事件，不符合题意，
故选：C.
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6、D
【解析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选D．
本题考查了剪纸问题以及培养学生的动手能力及空间想象能力，此类问题动手操作是解题的关键．
7、C
【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴S△AOD=S△BOE=k，
∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∴S矩形OECD=1△AOD=k，
∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=1k=4，解得k=1．
故选C．
本题考查反比例函数的性质．
8、D
【解析】运用因式分解法求解.
【详解】由得x(x-3)=0
所以，x1=0,x2=3
故选D
掌握因式分解法解一元二次方程.
9、A
【解析】由抛物线开口方向得到a＜1，根据抛物线的对称轴为直线x==-1得b＜1，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞1，则abc＞1；观察函数图象得到x=-1时，函数有最大值；
利用抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3，1)，则当x=1或x=-3时，函数y的值等于1；观察函数图象得到x=2时，y＜1，即4a+2b+c＜1．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<1，
∵抛物线的对称轴为直线x==-1，
∴b=2a<1，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>1，
∴abc>1，所以①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，函数有最大值，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，1)，而对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为( 3，1)，
∴当x=1或x=-3时，函数y的值都等于1，
∴方程ax2+bx+c=1的解是：x1=1，x2=-3，所以③正确；
∵x=2时，y<1，
∴4a+2b+c<1，所以④错误.
故选A.
解此题的关键是能正确观察图形和灵活运用二次函数的性质，能根据图象确定a、b、c的符号，并能根据图象看出当x取特殊值时y的符号．
10、C
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．
11、D
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后即可求解．
【详解】解：A、k=8＞0，∴它的图象在第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；
B、k=8＞0，当x＞0时，y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；
C、∵，∴点（-4，-2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＞y2，故本选项错误，符合题意．
故选D.
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
12、C
【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，可判定△ABC∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例即可求出DC的长.
【详解】∵AB=AC=6
∴∠ABC=∠C
∵BD=BC=4
∴∠C=∠BDC
∴∠ABC=∠BCD，∠ACB=∠BDC
∴△ABC∽△BCD
∴
∴
故选C.
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到两组对应角相等判定相似三角形.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、甲
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故答案为甲；
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14、
【分析】先证明△ABC为直角三角形，再根据正切的定义即可求解.
【详解】根据网格的性质设网格的边长为1，
则AB=,AC=,BC=
∵AB2+AC2=BC2,
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∴=
故填：.
此题主要考查正切的求解，解题的关键是证明三角形为直角三角形.
15、
【分析】由旋转角的定义可得∠DCM=75°，进一步可得∠NCO=60°，△NOC是30°直角三角形，设DE=a，将OC，CD用a表示，最后代入即可解答．
【详解】解：由题意得∠DCM=75°，∠NCM=∠ECD=45°
∴∠NCO=180°-75°-45°=60°
∴∠ONC=90°-60°=30°
设CD=a，CN=CE=a
∴OC=CN=
∴
故答案为．
本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，抓住旋转的旋转方向、旋转角，找到旋转前后的不变量是解答本题的关键．
16、
【分析】圆C过点P、Q，且与相切于点M，连接CM，CP，过点C作CN⊥PQ于N并反向延长，交OB于D，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON、ND、PN，设圆C的半径为r，再根据等腰直角三角形的性质即可用r表示出CD、NC，最后根据勾股定理列方程即可求出r．
【详解】解：如图所示，圆C过点P、Q，且与相切于点M，连接CM，CP，过点C作CN⊥PQ于N并反向延长，交OB于D
∵，，
∴PQ=OQ－OP=4
根据垂径定理，PN=
∴ON=PN＋OP=4
在Rt△OND中，∠O=45°
∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，OD=
设圆C的半径为r，即CM=CP=r
∵圆C与相切于点M，
∴∠CMD=90°
∴△CMD为等腰直角三角形
∴CM=DM=r，CD=
∴NC=ND－CD=4－
根据勾股定理可得：NC2＋PN2=CP2
即
解得：（此时DM＞OD，点M不在射线OB上，故舍去）
故答案为：．
此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．
17、
【解析】∵点P的坐标为（3，4），
∴OP=，
∴.
故答案为：.
18、∠B=∠1或
【解析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.
【详解】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题.
三、解答题（共78分）
19、证明见解析
【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．
【详解】证明：∵AD AC＝AB AE，
∴，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
本题考查三角形相似的判定定理，正确理解三角形相似的判定定理是本题解题的关键．
20、（1）cm；（2）40cm.
【分析】（1）由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD=30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解
【详解】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D
∵AB=AC=50，BC=80
∴根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得
AD=30，BD=CD=40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC＝×BC×AD＝(AB+BC+CA)r
×80×30＝(50+80+50)r
解得：r=cm ；
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD= ，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2=402+（R-30）2，
∴R=；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，
∴最小为40cm．
此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．
21、（1）反比例函数的解析式为y＝；（2）不﹣1＜x＜0或x＞3；（3）点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，）．
【分析】（1）将点A，点C坐标代入一次函数解析式y=2x+b，可得b=-4，m=-6，将点C坐标代入反比例函数解析式，可求k的值，即可得一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求得直线与反比例函数的交点坐标，然后根据图象求得即可；
（3）由S△ABM=2S△OMP=6，可求AM的值，由点A坐标可求点M坐标，即可得点P坐标．
【详解】解：（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0
∴b＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣4
将C（﹣1，m）代入直线y＝2x﹣4中，得2×（﹣1）﹣4＝m
∴m＝﹣6
∴C（﹣1，﹣6）
将C（﹣1，﹣6）代入y＝，得﹣6＝，
解得k＝6
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解得或，
∴直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，﹣6）和D（3，2）．如图，
由图象可知：不等式2x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3；
（3）∵S△ABM＝2S△OMP，
∴×AM×OB＝6，
∴×AM×4＝6
∴AM＝3，且点A坐标（2，0）
∴点M坐标（﹣1，0）或（5，0）
∴点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，）．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法把A、C两点坐标代入解析式求m，b，k的值是解题的关键．
22、k=2或10时，当k=2时，x1=x2=，当k=10时，x1=x2=
【分析】根据题意，得判别式△=[-（k+2）]2-4×4×（k-1）=0，解此一元二次方程即可求得k的值；然后代入k，利用直接开平方法，即可求得这时方程的根．
【详解】解：∵关于x的方程4x2-（k+2）x+k-1=0有两个相等的实数根，
∴△=[-（k+2）]2-4×4×（k-1）=k2-12k+20=0，
解得：k1=2， k2=10
∴k=2或10时，关于x的方程4x2-（k+2）x+k-1=0有两个相等的实数根．
当k=2时，原方程为：4x2-4x+1=0，即（2x-1）2=0，解得：x1=x2=；
当k=10时，原方程为：4x2-12x+9=0，即（2x-3）2=0，解得：x1=x2=；
此题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
23、（1）y＝x2+x﹣2；（2）△PBC面积的最大值为2；（3）P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；（4）存在，点M（﹣1，﹣），△AMC周长的最小值为．
【分析】（1）先由抛物线的对称性确定点B坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后设出点P的横坐标为t，则可用含t的代数式表示出PE的长，根据面积的和差可得关于t的二次函数，再根据二次函数的性质可得答案；
（3）先设D（m，0），然后用m的代数式表示出E点和P点坐标，由条件可得关于m的方程，解出m的值即可得解；
（4）要使周长最小，由于AC是定值，所以只要使MA+MC的值最小即可，由于点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，由于点M的横坐标已知，则其纵坐标易得，再根据勾股定理求出AC+BC，即为周长的最小值．
【详解】解：（1）∵对称轴为x=﹣1的抛物线与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．
设抛物线解析式是：y=a（x+4）（x﹣2），把C（0，﹣2）代入，得：a（0+4）（0﹣2）=﹣2，解得a=，
所以该抛物线解析式是：y=（x+4）（x﹣2）=x2+x﹣2；
（2）设直线BC的解析式为：y=mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x﹣2，
作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（t，t2+t﹣2），则Q（t，﹣t﹣2），
∴PQ=﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）=﹣t2﹣t，∴S△PBC=S△PBQ+S△PCQ= PQ 4=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2，
∴当t=﹣2时，△PBC面积有最大值，最大值为2；
（3）设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，﹣m﹣2），P（m，m2+m﹣2），
∵PE=OD，∴，
∴m2+3m=0或m2+5m=0，解得：m=﹣3，m=0（舍去）或m=﹣5，m=0（舍去），
∴P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；
（4）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴当点M为直线BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，如图2，此时△AMC的周长最小．
∵直线BC的解析式为y=﹣x﹣2，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴当x=﹣1时，y=﹣．
∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，﹣）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC=．
此题是二次函数综合题，主要考查了利用待定系数法确定函数解析式、二次函数的性质、一元二次方程的解法、二次函数图象上的坐标特征和两线段之和最小等知识，属于常考题型，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和函数图象上点的坐标特征．
24、（1）72，图详见解析；（2）．
【分析】（1）先画出条形统计图，再求出圆心角即可；
（2）先画出树状图，再求出概率即可．
【详解】（1）条形统计图为；
；
扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角是（1﹣15%﹣25%﹣40%）×360°＝72°，
故答案为：72；
（2）画树状图：
由树状图可知：所有等可能的结果有6种，其中符合条件的有2种，
所有P（甲、丙）＝＝，
即选中的两名同学恰好是甲、丙的概率是．
本题考查了树状图、条形统计图和扇形统计图等知识点，能画出条形图和树状图是解此题的关键．
25、（1）证明见解析；（2）S阴影=4-2π
【分析】（1）根据斜边中线等于斜边一半得到DE=CE,再利用切线的性质得到∠BCO=90°,最后利用等量代换即可证明,（2）根据S阴影=2S△ECO-S扇形COD即可求解.
【详解】（1）连接DC、DO.
因为AC为圆O直径，
所以∠ADC=90°，则∠BDC=90°，
因为E为Rt△BDC斜边BC中点，
所以DE=CE=BE=BC，
所以∠DCE=∠EDC,
因为OD=OC，
所以∠DCO=∠CDO.
因为BC为圆O 切线，
所以BC⊥AC，即∠BCO=90°，
所以∠ODE=∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠DCE=∠BCO=90°，
所以ED⊥OD，
所以DE为圆O的切线.
（2）S阴影=2S△ECO-S扇形COD=4-2π
本题主要考查切线的性质和判定及扇形面积的计算，掌握切线的判定定理及扇形的面积公式是解题的关键．
26、 (1)；(2).
【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根据切线性质求出∠OCD=90°，即可求出答案；
（2）由题意的半径为2，求出OC=CD=2，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠A，
∴∠D=∠COD，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°；
（2）∵∠D=∠COD，的半径为2，
∴OC=OB=CD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2，
解得：．
本题考查切线的性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理能力，熟练掌握切线的性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质是解题关键．