2023年北京高三二模数学汇编：抛物线（PDF版含解析）

2023 北京高三二模数学汇编
抛物线
一、单选题
1．（2023·北京海淀·统考二模）已知抛物线C : y2 = 4x ，经过点 P的任意一条直线与 C均有公共点，则点 P
的坐标可以为（ ）
A．(0,1) B． (1, 3) C． (3, 4) D． (2, 2)
2．（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线C与抛物线 y2 = 4x关于 y 轴对称，则C的准线方程是（ ）
A． x = 2 B． x = 2
C． x = 1 D． x =1
3．（2023·北京房山·统考二模）已知圆C的圆心在抛物线 y2 = 4x上，且此圆C过定点 (1，0)，则圆C与直线
x+1= 0的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
二、填空题
4．（2023·北京丰台·统考二模）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近
似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图
中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为 40 米，碎片距离爆
炸中心的最远水平距离为 80 米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．
三、解答题
2
5．（2023·北京东城·统考二模）已知焦点为F 的抛物线C : y = 2px(p 0) 经过点M (1,2)．
(1)设O为坐标原点，求抛物线C的准线方程及△OFM 的面积；
(2)设斜率为 k(k 0)的直线 l 与抛物线C交于不同的两点 A, B，若以 AB为直径的圆与抛物线C的准线相
切，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
四、双空题
6．（ 2 2 22023·北京朝阳·二模）已知圆 A： (x 3) + (y + 2) =1，抛物线 C： y = 4x，则圆心 A到抛物线 C的
准线的距离为________；过圆心 A的直线与圆 A相交于 P，Q两点，与抛物线 C相交于M，N两点，若
MP = QN ，则 MN =________.
2
7．（2023·北京昌平·统考二模）已知抛物线C : x = 4y 的焦点为F ，点M 在C上，且M 在第一象限，则点
F 的坐标为__________；若 MF = 3，点M 到直线 x= 1的距离为__________.
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参考答案
1．D
【分析】根据点与抛物线的位置即可求解.
【详解】 (0,1)在 y 轴上，所以 (0,1)在抛物线外部，
将 x =1代入抛物线C : y2 = 4x 中，则 y = 2 3，所以 (1, 3)在抛物线外部，
将 x = 3代入抛物线C : y2 = 4x 中，则 y = 2 3 4，所以 (3, 4) 在抛物线外部，
将 x = 2代入抛物线C : y2 = 4x 中，则 y = 2 2 2，所以 (2, 2)在抛物线内部，
将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点D (2, 2)在抛物线内部，故当点 P位于点D (2, 2)处，
此时经过点 P的任意一条直线与 C均相交，故均有公共点，
故选：D
2．D
【分析】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线C的准线方程.
【详解】抛物线 y2 = 4x的准线方程为 x= 1，因为抛物线C与抛物线 y2 = 4x关于 y 轴对称，所以两个抛
物线的准线也关于 y 轴对称，所以C的准线方程是 x =1 .
故选：D
3．A
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线 y2 = 4x的焦点为 (1,0)，准线方程为 x= 1，
根据抛物线的定义可知，C到焦点的距离等于到准线的距离，
所以圆C与直线 x+1= 0相切.
故选：A
4．80
【分析】建立平面直角坐标系，待定系数法求出抛物线方程，得到答案.
【详解】以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为 x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为 x2 = 2py，
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由题意得 A(80, 40)，将其代入抛物线方程得6400 = 80p，
解得 p = 80，故安全抛物线的焦点到其准线方程为 80 米.
故答案为：80
5．(1)准线为 x= 1， S△OFM =1
(2)证明见解析，定点 (1,0)．
【分析】（1）由点在抛物线上代入求参数，写出抛物线方程，进而得准线方程，最后求△OFM 的面积；
（2）设 l 为 y = kx+m(k 0)，联立抛物线并应用韦达定理、中点公式得 AB的中点 N点横坐标，根据 N 到
AB
准线的距离等于 列方程得k +m = 0，即可证结论并确定定点坐标.
2
【详解】（1）因为抛物线 y2 = 2px( p 0)过点 (1,2)，所以2p = 4，即 p = 2 ．
故抛物线C的方程为 y2 = 4x，焦点F(1,0) ，准线方程为 x= 1 .
1
所以 S△OFM = 1 2 =1.
2
（2）
设直线 l 的方程为 y = kx+m(k 0)．
y2 = 4x
由 得： k 2x2 + (2km 4)x+m
2 = 0，又 0有1 km 0．
y = kx+m
4 2km m2
设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ),则 x1 + x2 = 2 ， x1 x2 = ． k k2
x + x 2 km
设 AB的中点为N(x0 , y0)，则 x =
1 2
0 = 2 . 2 k
k 2 km+ 2
所以 N 到准线的距离d = x0 +1= ，
k 2
4 1+ k 2
AB = 1+ k 2 x1 x2 = 1+ k
2 (x1 + x )
2
2 4x1x2 = 1 km ，
k 2
AB 2 1+ k 2 k 2 km+ 2
依题意有 = d ，即 1 km = ，
2 k 2 k 2
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整理得 k 2 + 2km+m2 = 0，解得k +m = 0，满足 0．
所以直线 y = kx+m(k 0)过定点 (1,0)．
6． 4 8
【分析】由题设有 A(3, 2)且半径 r =1，抛物线准线为 x= 1，即可得 A到抛物线 C准线的距离，根据对
称性令N ,Q 和M , P在A两侧，易知A为MN 中点，设直线MN 联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求
MN .
【详解】由题设 A(3, 2)且半径 r =1，抛物线准线为 x= 1，则 A到抛物线 C准线的距离为4，
又 y2 = 4 4 3=12，故 A在抛物线内部，若抛物线上任意点 (x, y)，
1 4
则其到 A的距离d = (x 3)2 + (y + 2)2 = (y 16y
2 +64)+8(y2 +8y +16)+16 =
4
1
(y2 8)2 +8(y + 4)2 +16 r =1，
4
所以圆 A在抛物线内部，如上图示：由对称性，不妨令N ,Q 和M , P在A两侧，由 MP = QN 易知：A为
MN 中点，
若直线MN 为 x = k(y + 2)+3，联立抛物线得 y2 = 4k(y + 2)+12，
所以 y2 4ky 8k 12 = 0，则 yM + yN = 4k ， yM yN = 8k 12，
y + y
而 M N = 2k = 2，即 k = 1，
2
经检验，此时 0，故 yM yN = 4，
所以 MN = 1+k2 (yM + y
2
N ) 4yM yN = 2 16+16 =8 .
故答案为：4，8
7． (0,1) 2 2 +1
【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标，再由抛物线定义求出M的纵坐标，代入抛物线得横坐标即可得
解.
【详解】由C : x2 = 4y 可知焦点F (0,1)，准线方程为 y = 1，
MF = 3，
yM ( 1) = 3，即 yM = 2 ，
代入抛物线方程可得， xM = 2 2 ，
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又M 在第一象限，所以 xM = 2 2 ，
故点M 到直线 x= 1的距离为 xM ( 1) = 2 2 +1.
故答案为：(0,1)；2 2 +1
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