2023---2024 学年度第一学期调研测试
初 三 数 学 试 题 （2023.12）
一、单选题( 本题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．cos45°的值为
A． 3 B． 2 C． 1 D． 3
3 2 2 2
2．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则 sinB等于
A． 3 B． 4 C． 7 D． 3
4 5 4 5
3．抛物线 y＝3(x+4)2+2的顶点坐标是
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，2）
4．如图，滑雪场有一坡角 20°的滑雪道，滑雪道 AC长为 200米，则滑雪道的坡顶到坡底
的竖直高度 AB的长是
A． 200 米 B． 200 米 C．200cos20°米 D．200sin20°米
cos20 sin 20
y
A C
P A O B x
B
D
第 4题 第 7题 第 8题
（第 14 题图）
5．将抛物线 y＝x2先向右平移 3个单位，再向上平移 4个单位，得到的抛物线是
A．y＝(x﹣3)2+4 B．y＝(x+3)2+4
C．y＝(x﹣3)2﹣4 D．y＝(x+3)2﹣4
6．对于二次函数 y＝﹣(x﹣1)2的图像的特征，下列描述正确的是
A．开口向上 B．对称轴是 y轴 C．顶点在 x轴上 D．经过原点
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
7．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D都在这些小正方形的顶点
上，AB、CD相交于点 P，则 sin∠APD的值是
A． 1 B． 5 C． 2 5 D． 10
2 5 5
8．如图，二次函数 y＝ax2+x﹣6的图像与 x轴交于 A（﹣3，0）、B两点，下列说法正确的
是
A．抛物线的对称轴为直线 x＝1 B．抛物线的顶点坐标为（ 1 ， 6）
2
C．当 x＜﹣1时，y的值随 x值的增大而增大 D．A，B两点之间的距离为 5
二、填空题( 本题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
9． 抛物线 y＝﹣3x2的开口 ．（填“向上”或“向下”）
10．在 Rt△ABC 3中，∠C＝90°，若 sinA＝ ，则 cosB＝ ．
4
11．二次函数 y＝﹣2x2+9的最大值等于 ．
12．若抛物线 y＝﹣x2+2x﹣2，点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线上两点，则 y1 y2．（用
“＜”或“＞”号连接）
13．一渔船在海上 A处测得灯塔 C在它的北偏东 60°方向，渔船向正东方向航行 12海里
到达点 B处，测得灯塔 C在它的北偏东 45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔
船与灯塔 C的最短距离是 海里．（结果保留根号）
y
A C
北 北 C O x
60° 45°
A B B
第 13 题 第 16题
14．已知一个二（第次函14数题图的）图像形状和开口方向与抛物线 y＝3x2相同，且顶点坐标为（2，3），
则这个二次函数的解析式为 ．
15．二次函数 y＝ax2+bx+c，自变量 x与函数 y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0），点 B（0，﹣3），点 C在 x轴上，且点
C在点 A右方，连接 AB、BC，若 tan ABC 1 ，则点 C的坐标为 ．
3
三、解答题( 本题共 10小题，共 102分)
17．（8分）计算：
（1） 4sin 60 2 12 （2） ( 2023)0 2sin 45 (1) 1
2
18．（8分）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求 sinA、cosA与 tanA的值．
B
（
A C
19．（8分）已知二次函数 y＝x2﹣mx+1的图像经过点（2，3）． （第 14 题
（1）求 m的值；
（2）该二次函数的图像是否经过点（﹣2，5），判断并说明理由．
20．（10分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D，AC＝4，BC＝3．
（1）求 BD的长；
（2）求∠ACD的正切值．
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
21．（10分）如图，已知二次函数 y＝x2﹣ax的对称轴为 x＝2，过点 A（5，b）．
（1）求 a，b的值；
（2）若点 B是抛物线对称轴上的一点，且点 B在第一象限，当△OAB的面积为 15时，
求点 B的坐标．
y
x=2
.A
O x
22．（10分）如图，已知⊙O是 Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是 DC
延长线上一点，连结 AD、AE，且 AD＝AE、CA＝CE．
（1）求证：直线 AE是⊙O的切线；
（2）若sinE 2 ，⊙O的半径为 3，求 AD的长．
3
23．（10分）综合实践课上，航模小组用无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 CD的
中点 A处竖直上升 30米到达 B处，测得博雅楼顶部 E的俯角为 45°，尚美楼顶部 F的
俯角为 30°，已知博雅楼 CE的高度为 15米，求尚美楼 DF的高度．（结果保留根号）
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
24．（12分）如图，已知二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图像经过点 A（3，1），点 B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点 C（m，n）在该二次函数图像上．
①当 m＝﹣1时，求 n的值；
②当 m≤x≤3时，n的最大值为 5，最小值为 1，请根据图像直接写出 m的取值范围．
y
B
.A
O x
25．（12分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A在 y轴正半轴上．如果四个点（0，0）、
（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数 y＝ax2（a为常数，且 a≠0）的图
像上．
（1）a＝ ；
（2）如图 1，已知菱形 ABCD的顶点 B、C、D在该二次函数的图像上，且 AD⊥y轴，
则菱形的边长为 ；
（3）如图 2，已知正方形 ABCD的顶点 B、D在该二次函数的图像上，点 B、D在 y轴
的同侧，且点 B在点 D的左侧，设点 B、D的横坐标分别为 m、n，试探究 n﹣m
是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
26．（14分）【问题情境】
如图 1，小华将矩形纸片 ABCD先沿对角线 BD折叠，展开后再折叠，使点 B落在对角
线 BD上，点 B的对应点记为 B′，折痕与边 AD、BC分别交于点 E、F．
【活动猜想】
（1）如图 2，当点 B′与点 D重合时，四边形 BEDF是哪种特殊的四边形？答： ．
【问题解决】
（2）如图 3，当 AB＝4、AD＝8、BF＝3时，求证：点 A′、B′、C在同一条直线上．
【深入探究】
（3）如图 4，当 AB与 BC满足什么关系时，始终有 A′B′与对角线 AC平行？请说明理由．
（4）在（3）的情形下，设 AC与 BD，EF分别交于点 O，P，直接写出三条线段 AP、B′D、
EF之间满足的等量关系．
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}初三数学试题参考答案
一、选择（每小题 3 分，共 24 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D A C C D
二、填空（每小题 3 分，共 24 分）
3
9. 向下 10. 11. 9 12. ＜
4
13. 6 3 6 14 . y＝3(x﹣2)2+3 15. ﹣4＜y≤4 16. （ 9 ，0）
4
三、解答（本大题共 10 小题，共 102 分）
17. （1）原式＝4× 3 +2﹣2 3 ………………………… 3 分
2
＝2 ………………………… 4 分
（2 2）原式＝1 2 2 ………………………… 3 分
2
＝ 2 1 ………………………… 4分
18．解：在 Rt△ABC 中，AB= 52 122 ＝13 ………………………… 2 分
12
∴sinA = …………………………4 分
13
cosA = 5 ………………………… 6分
13
tanA = 12 ………………………… 8分
5
19. 解：（1）将（2，3）代入二次函数 y＝x2﹣mx+1得，4﹣2m+1＝3，
解得 m＝1，
∴m的值是 1 …………………………4 分
（2）由（1）得二次函数的解析式为 y＝x2﹣x+1，
当 x＝﹣2时，y＝4﹣（﹣2）+1＝7≠5，
∴点 P（﹣2，5）不在这个二次函数图像上…………………………8 分
20．解：（1）∵在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
∴AB＝ AC 2 BC 2 ＝ 42 32 ＝5 …………………………2 分
∵CD是 AB边上的高，
1 1
∴ AB CD= AC BC
2 2
1
即 5CD 1 4 3，
2 2
∴CD＝12 …………………………4 分
5
在 Rt△BDC中，由勾股定理得 BD＝ BC2 CD2 12 9 32 ( )2 ………………6分
5 5
（2）由（1）得：BD＝ 9，
5
∴AD＝AB﹣BD＝16 …………………………8 分
5
∴tan∠ACD AD 4＝ ．…………………………10 分
CD 3
21．解：（1）∵二次函数 y＝x2﹣ax的对称轴为 x＝2，
a
∴ ＝2，
2
∴a＝4 …………………………2 分
∴y＝x2﹣4x，
∵过点 A（5，b），
∴b＝25﹣20＝5 …………………………4 分
（2）∵点 B是抛物线对称轴上的一点，且点 B在第一象限，
∴设 B（2，m）（m＞0），
设直线 OA的解析式为 y＝kx，
则 5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线 OA的解析式为 y＝x …………………………6 分
设直线 OA与抛物线对称轴交于点 H，则 H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
1
∴ ×|m﹣2|×5＝15…………………………8 分
2
解得：m＝8或﹣4（舍去），
∴点 B的坐标为（2，8）…………………………10 分
22．（1）∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠B，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠B，
∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，
∴AE⊥OA …………………………3 分
∵OA是⊙O的半径 …………………………4 分
∴直线 AE是⊙O是的切线 …………………………5 分
（2）解：过点 C作 CF⊥AE于点 F，则∠CFE＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴sinB＝sinE CA CF 2即 ＝ ，
AB CE 3
∵OA＝OB＝3，
∴AB＝6，
∴CE＝CA 2＝ AB 2＝ ×6＝4 …………………………7 分
3 3
2 2 8
∴CF＝ CE＝ ×4＝ ，
3 3 3
∴ AF＝BF＝ CE 2 CF 2 42 8 4 5 ( )2 …………………………9 分
3 3
∴ AD 4 5 8 5＝AE＝2AF＝2× ＝ ，
3 3
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
AD 8 5∴ 的长是 …………………………10 分
3
23．解：过点 E作 EM⊥过点 B的水平线于点 M，过点 F作 FN⊥过点 B的水平线于点 N
由题意可知 CM＝DN＝AB＝30米，
又∵CE＝15米，
∴EM＝15米 …………………………3 分
在 Rt△EBM中，∠EBM＝45°，
∴BM＝EM＝15米，
又∵A是 CD的中点，
∴BN＝AD＝AC＝BM＝15米…………………………5 分
在 Rt△BFN中， tan FBN FN ，
BN
∵∠FBN＝30°，BN＝15米，
∴ FN 3 …………………………7分
15 3
∴FN 5 3米，
∴DF＝ (30 5 3)米 …………………………9 分
答：尚美楼 DF的高度为 (30 5 3)米…………………………10 分
24．（1）∵二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图像经过点 A（3，1），点 B（0，4）．
9 3b c 1
∴ …………………………2 分
c 4
b 2
解得 …………………………4分
c 4
∴该二次函数为 y＝﹣x2+2x+4 …………………………5 分
∵y＝﹣(x﹣1)2+5
∴顶点为（1，5） …………………………6 分
（2）∵点 C（m，n）在该二次函数图像上，
①当 m＝﹣1时，则 C（﹣1，n），
把 C（﹣1，n）代入 y＝﹣x2+2x+4得，n＝1…………………………8 分
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
②当 m≤x≤3时，n最大值为 5，最小值为 1，
∵抛物线的顶点为（1，5），
把 y＝1代入 y＝﹣x2+2x+4得 1＝﹣x2+2x+4，解得 x1＝3，x2＝﹣1……………10 分
∴m的取值范围是﹣1≤m≤1…………………………12 分
25．（1）1 …………………………3 分
（2） 2 3 …………………………6分
3
（3）n﹣m是为定值，理由如下：
过点 B作 BF⊥y轴于点 F，过点 D作 DE⊥y轴于点 E，如图：
∵点 B、D的横坐标分别为 m、n，
∴B（m，m2），D（n，n2），
∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA，
∵∠AFB＝∠DEA＝90°，
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，
∴m＝n2﹣n﹣m2，
∴m+n＝（n﹣m）（n+m），
∵点 B、D在 y轴的同侧，
∴m+n≠0，
∴n﹣m＝1 …………………………12分
26．（1）菱形 …………………………2分
（2）∵四边形 ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8，BF＝3，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣3＝5，
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
∴BD＝ BC 2 CD2 82 42 4 5，
如图，设 EF与 BD交于点 M，过点 B′作 B′K⊥BC于 K，
由折叠得：∠A′B′F＝∠ABF＝∠BMF＝∠B′MF＝90°，B′F＝BF＝3，BB′＝2BM，
∴∠BMF＝∠BCD，
∵∠FBM＝∠DBC，
∴△BFM∽△BDC，
∴ BM BF ，即 BM 3 ，
BC BD 8 4 5
BM 6 5∴ ＝ ，
5
∴BB′＝12 5 ，
5
∵∠BKB′＝∠BCD，∠B′BK＝∠DBC，
∴△BB′K∽△BDC，
12 5
∴ B
'K BK BB'
，即 B
'K BK
5 ，
CD BC BD 4 8 4 5
∴B′K 24＝12，BK＝ ，
5 5
∴CK＝BC﹣BK＝8 24 16﹣ ＝ ，
5 5
∴B′C B'K 2 12 16＝ CK 2 ( )2 ( )2 4，
5 5
∵B′F2+BC2＝32+42＝25，CF2＝52＝25，
∴B′F2+BC2＝CF2，
∴∠CB′F＝90°，
∴∠A′B′F+∠CB′F＝90°+90°＝180°，
∴点 A′、B′、C在同一条直线上 …………………………6 分
（3）解：当 BC＝ 3 AB时，始终有 A′B′与对角线 AC平行．
理由：如图，设 AC、BD交于点 O，
∵四边形 ABCD是矩形，
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
∴OA＝OB，∠OBA+∠OBC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA，
设∠OAB＝∠OBA＝α，
则∠OBC＝90°﹣α，
由折叠得：∠A′B′F＝∠ABC＝90°，B′F＝BF，
∴∠BB′F+∠A′B′B＝90°，∠BB′F＝∠OBC＝90°﹣α，
∴∠AB′B＝∠OBA＝α，
∵A′B∥AC，
∴∠AB′B＝∠AOB＝α，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，
∴α+α+α＝180°，即 3α＝180°，
∴α＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴tan∠BAC＝tan60°＝ BC ＝ 3，
AB
∴BC＝ 3 AB …………………………10 分
（4） 3 EF ＝2（AP + B′D） …………………………14 分
{#{QQABbYyEggAgAgBAARhCQQnKCkAQkACAAIoGQFAAMAABgAFABAA=}#}
