关于有理数的竞赛讲解

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有理数的有关知识
1、 一、知识要点
1、绝对值
x的绝对值的意义如下：=
是一个非负数，当且仅当x=0时，=0
绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：表示数轴上a点到b点的距离。
2、倒数
1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。
3、相反数
绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。
1、 二、例题精讲
例1 化简
分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。
解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6
当时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2
当时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4
当时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10
当x≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2
∴原式=
评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。

例2 已知的最大值和最小值。(第六届迎春杯决赛试题)
分析：先解不等式，求出x的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。
解：解不等式得：
的几何意义是x到1的距离与x到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x≤-3时这差取得最大值4，因，则当时这差取得最小值.
评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。
2、本题求得x的范围后，也可用零点分段法将化简，然后求出最大值和最小值。
=
由上式可以看出：当x≤-3时取得最大值4，当时取得最小值

例3 解方程
(第六届华杯赛决赛初一试题)
分析：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0。
解：由原方程得
由(1)得：
从而 x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963
由(2)得：
从而
所以 y=或 y=
于是，原方程的解是
评注：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0是解题中常用的一个结论。本题中，求中的x值也可以用绝对值的几何意义来解，表示x到原点与到3.1415926的距离相等，因而x是原点与点3.1415926连结线段的中点，即x=1.5707963

例4 有理数均不为0，且设试求代数式2000之值。(第11届希望杯培训题)
分析：要求代数式2000的值，必须求出x的值。根据 x的特征和已知条件，分析a与b+c,b与a+c，c与a+b的关系，从而求出x的值。
解：由均不为0，知均不为0．
∵ ∴
即
又中不能全同号，故必一正二负或一负二正．
所以中必有两个同号，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1．
∴ ∴
因此，

例5已知a、b、c为实数，且
求的值。(第8届希望杯试题)
分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。
解：由已知条件可知a≠0，b≠0，c≠0，对已知三式取倒数得：
三式相加除以2得：
因为，所以=
例6 求方程的实数解的个数。(1991年祖冲之杯数学邀请赛试题)
分析：1可以化成：，于是
由绝对值的性质：若ab≤0，则可得(x-2) (x-3)≤0
从而求得x
解：原方程可化为：
则 (x-2) (x-3)≤0，所以，所以2≤x≤3
因此原方程有无数多个解。
评注：本题很巧妙地将“1”代换成，然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题时，常常要用到“1”的代换。

例7 求关于x的方程的所有解的和。
解：由原方程得 ，∴
∵0从而，x1=3+a， x2=3-a， x3=1+a， x4=1-a
∴x1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和为8

例8 已知：。
分析：直接求值有困难，但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生，通过将整体处理来求值。
解：∵
即
而
∴
评注：本题通过将整体处理来解决问题，整体处理思想是一种常用的数学思想。

例9 解方程组 (1984年江苏省苏州市初中数学竞赛试题)
解：观察得，x=y=z=0为方程组的一组解。当xyz≠0时，将原方程组各方程两边取倒数得：
(1)+(2)+(3)得：
∴
∴ ∴x=y=z=1
故原方程组的解为：
评注：本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了x=y=z=0这组解。否则就会产生漏解。

1、 三、巩固练习
选择题
1、若( )
A、1 B、-1 C、1或-1 D、以上都不对
2、方程的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)
A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3个
3、下面有4个命题：
①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。
②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。
③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。
④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。
其中正确的命题是：（ ）
（A）①和② （B）②和③
（C）③和④ （D）④和①
4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( )
A、 B、 C、 D、
5、设y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c为常数)，已知当x=7时，y=7，则x= -7时，y的值等于( )
A、-7 B、-17 C、17 D、不确定
6、若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是( )
A、-1 B、0 C、1 D、-5
填空题
7、设a<0，且x≤=
8、a、b是数轴上两个点，且满足a≤b。点x到a的距离是x到b的距离的2倍，则x=
9、 若互为相反数，则
10、计算：
11、若a是有理数，则的最小值是＿＿＿.
12、有理数在数轴上的位置如图所示，化简
解答题
13、化简：
14、已知
15、若abc≠0，求的所有可能的值
16、X是有理数，求的最小值。
17、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x 2-cdx的值。
18、求满足的所有整数对(a，b).
19、若的值恒为常数，求x的取值范围及此常数的值。
20、已知方程有一个负根而没有正根，求a的取值范围。
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