2023-2024学年度第一学期第二次教学质量检测
九年级数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
笔试 面试 实际操作
94 80 90
2．为了让学生了解国内外时事，培养读书看报、关心国家时事的好习惯，增强社会责任感，河南某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照5：2：3的比例确定最终成绩，学生甲各项成绩（百分制）如下表，则学生甲最终的综合成绩为（ ）
A．88分 B．89分 C．90分 D．94分
3．将抛物线y＝2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为（ ）A．y＝2（x+1）2﹣1 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+1）2+3
4．若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤12 B．k≤ C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠0
5．如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝60°，则的长是（ ）
A．3π B．4π C．10π D．12π
6．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．当﹣4＜x＜﹣1时，y＜0 D．二次函数的最小值是﹣2
8．定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax2+bx+2019的最大值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
二．填空题（共8小题）
9．有甲、乙两组数据，如表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 s乙2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
10．二次函数的顶点坐标是 ．
11．圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面积为 ．
12．如图，转盘中阴影部分扇形的面积为，转盘所在圆的半径为2，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
13．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一根为x1＝5，则另一根x2＝ ．
15．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为，则EG的长为 ．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0，②b2＞4ac，③9a﹣3b+c＞0，④a﹣b≤m（am+b）（m为任意实数）．
以上正确的结论有 ．（请把正确结论的序号填在横线上）
三．解答题（共10小题）
17．解下列方程：
（1）x2+3x﹣4＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0．
18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值．
19．在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用x表示，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x＜100；其中D等级为优秀），下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生成绩在C组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89
抽取的八年级学生成绩在B、C组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86
七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 78.9 a 79
八年级 78.9 85 b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ b＝ ，m＝
（2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）．
（3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
21．抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．
22．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
23．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
24．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，过C的直线与AB的延长线交于点D，AE⊥DE于E，AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AB．
25．某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为30m的墙，另三边及中间的隔断用总长为88m的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有两扇1m宽的门．设AB边的长为x m，矩形花圃的总面积为Sm2．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）求S的最大值．
26．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB＝，点P为x轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年度第一学期第二次教学质量检测
九年级数学答题纸
一．选择题（每小题3分，共24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二．填空题（每题3分，共24分）
9． _____ _．10． _____ _．11． ______ ．12． ______ ．
13．______ ． 14．______ ．15． ______ ．16． ______ ．
三．解答题（共10小题）
17．（8分）
（1）x2+3x﹣4＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0．
18．（8分）
（1）
（2）
19．（7分）
（1）a＝ b＝ ，m＝
（2）
（3）
20．（10分）
（1）
（2）
21．（10分）
（1）
（2）
（3）
22．（10分）
23．（10分）
（1）
（2）
24．（12分）
（1）
（2）
25．（12分）
（1）
（2）
（3）
26．（14分）
（1）
（2）
（3）2023-2024学年度第一学期第二次教学质量检测
九年级数学试卷
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．C．2．C．3．B．4．B．5．B．6．C．7．C．8．A．
二．填空题（共8小题）
9．＞．10．（﹣6，﹣7）．11．30πcm2．12．．
13．20%．14．﹣1．15．2．16．②④．
三．解答题（共10小题）
17．（1）x1＝1，x2＝﹣4；（2）∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．（1）；（2）m＝3．
19．（1）82，85，24；
（2）八年级学生的劳动能力更强，理由：因为八年级的劳动能力测评成绩的中位数和众数都比七年级的劳动能力测评成绩高，所以八年级学生的劳动能力更强；
（3）样本中八年级劳动能力达到优秀有25×24%＝6（名），
4500×＝990（名），
答：估计该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，解得：m＜2，∴m的取值范围为m＜2．
（2）∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程为x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，∴若m为正整数时，方程的根为1和3．
21．解：（1）∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x＝2；
（2）∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小；
（3）令y＝0，即﹣2x2+8x﹣6＝0，解得x＝1或3，抛物线开口向下，∴当x＝1或x＝3时，y＝0；当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0．
22．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．
23．解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，
解得，∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
24．（1）证明：连接OC，则OC＝OA，∴∠OCA＝∠BAC，
∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠EAC，∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，∴∠OCD＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且DE⊥OC，∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD＝3，CD＝5，∴OD＝OB+3，
∵∠OCD＝90°，∴OC2+CD2＝OD2，且OC＝OB，OB2+52＝（OB+3）2，解得OB＝，∴AB＝2OB＝2×＝，∴AB的长是．
25．解：（1）设AB边的长为xm，则AD＝88﹣3x+1×2＝（90﹣3x）m，
根据题意得：S＝x（90﹣3x）＝﹣3x2+90x，∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣3x2+90x；
（2）由题意可知AD＝（90﹣3x）m≤30m，BC边的篱笆：（88﹣3x）m＞0m，
即：，∴；
（3）由（1）（2）知：S＝﹣3x2+90x＝﹣3（x﹣15）2+675，
∵﹣3＜0，∴当0＜x≤15时，S随x的增大而增大，当时，S随x的增大而减小，
又∵∴当x＝20时，S有最大值，最大值为600m2．
26．解：（1）∵OA＝6，OB＝，∴A（﹣6，0）B（，0），
∴抛物线的解析式为：y＝a（x+6）（x﹣）＝ax2+ax﹣8a，∴﹣8a＝﹣8，
解得a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣8；
（2）令x＝0，则y＝﹣8，∴C（0，﹣8）；∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣8；
连接AC，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，t2+t﹣8），Q（t，﹣t﹣8），
∴QP＝﹣t﹣8﹣（t2+t﹣8）＝﹣t2﹣6t，
∴S△APC＝（xC﹣xA） QP＝×6×（﹣t2﹣6t）＝﹣3t2﹣18t；
∵OA＝6，OC＝8，∴S△OAC＝ OA OC＝×6×8＝24；
∴S四边形AOCP＝S△APC+S△OAC＝﹣3t2﹣18t+24＝﹣3（t+3）2+51，
∴当t＝﹣3时，四边形AOCP的最大值为51；
（3）存在，理由如下：
若点P到AB和AC两边的距离相等，则AP是∠BAC的平分线，设AP与y轴交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AP平分∠BAC，AB⊥OC，DE⊥AC，
∴OD＝DE，OA＝AE＝6，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10，
设OD＝m，∴CD＝8﹣m，CE＝4，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得，42+m2＝（8﹣m）2，
解得m＝3，∴D（0，﹣3），
∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
令﹣﹣3＝x2+x﹣8，解得x＝﹣6（舍）或x＝，∴P（，﹣）．
