参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．A．2．A．3．C．4．D．5．C．6．C．7．D．8．B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．9 10． 11．﹣5 12． 1：3 13．﹣10 14．m≥﹣9 15．﹣5≤x≤0
16．10-．
三．解答题（共11小题，满分102分）
17．（1）x1＝1，x2＝﹣4；(3分）（2）x1＝1+，x2＝1﹣．(6分）
18.（1）顶点坐标为（﹣1，﹣8）．（3分）
（2）m＝3．（8分）
19．（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求；（2分）
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为20，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，∴AP＝BP==8，
∴AB＝2AP＝16，∴过点P的弦的长度m范围为16≤m≤20；（5分）
②∵过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，
∴长度为17、18、19的弦各有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有8条，（8分）
20．（1）（﹣2，0）；(2分）
（2）2；90；．（8分）
解：（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；（3分）
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的结果有6种，∴两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率为．（8分）
22.（1）10；(2分）
（2）88.5分；(4分）
（3）众数是100，中位数是80．(8分）
23．（1）略（4分）
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，即（r+2）2＝r2+42，
解得：r＝3，
∴AB=2+3+3=8．（8分）
24．（1）此方程为“限根方程”，理由如下：
（x+2）（x+7）＝0，
解得x1＝7，x2＝2，
∵3＜＜4，
∴方程为“限根方程”；（4分）
（2）由根与系数的关系，得+＝k9，＝，
∵+11+＝﹣121，
∴11k99+=﹣121，
∴k＝5或6；（7分）
①当k＝5时，x1＝﹣11，x2＝﹣3，
∴3＜＜4，
∴k＝5符合题意；
②当k＝6时，x1＝﹣11，x2＝﹣4，
∴＝＜3，∴k＝6（不合题意，舍去）．
∴k的值为5．(10分）
25.（1）设销售单价x元/件，由题意，得8000＝﹣10x2+1400x﹣40000，
解得：x1＝60，x2＝80．
答：销售单价应定为60元或80元．（4分）
（2）设月销售利润y元与销售单价x元/件
y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000．
＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝70时，y有最大值，最大值为9000，
∴当销售单价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元；（8分）
（3）y＝（x﹣40-a）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+(1400+10a)x﹣40000-1000a．
∵﹣10＜0，=70+＞70，
∴x=70时，y=8100,
（70﹣40-a）[500﹣10×（70﹣50）]=8100
解得a=3.（12分）
26．（1）如图，A’D=3；（3分）
（2）△MNA’的外接圆与线段DC相切时，
设半径为r，则OF＝3﹣r，AO＝r，
AF=，
∴=
解得：
∴OF=3-=
∵AN=2×=
则AN的范围为 （8分）
（3）由题意得点A’在∠ADC的角平分线上
当N与D重合时r最大，由重叠得：NA＝NA’＝3，则 A’G=A’E=. ∴r的最大值为 ；
当M 与B重合时，n最小，如图所示，
A′F=3-r，MF=6-r，MA′=6. RtΔFA′M中，（3-r）2+（6-r）2＝62，
= （舍），= ， ∴ ．（12分）
27．（1）y＝x2+2x﹣3；(2分）
（2）①A、C在直线BM 同侧：y= -x+1 ； ②A、C在直线BM 异侧：y= ；(6分）
（3）直线AC解析式：y=﹣x﹣3；D（m，m2+2m-3) ，M（m，-m-3)，F(m+1，m2+4m)，N（m+1，-m-4)，
DM=﹣m﹣3﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m
NF=﹣m2﹣5m﹣4
①(﹣m2﹣3m﹣m2﹣5m﹣4)=﹣2m2﹣8m﹣4=﹣2(m+2)2+4
当M=﹣2时，四边形DFNM面积最大为4，这时点D坐标是（-2，-3）；(10分）
②两三角形面积和为=（﹣m2﹣3m）·（3+m)+（﹣m2﹣5m-4）·（-m-1)=2(14分）2023年秋学期12月份课堂练习
九年级数学试卷
时间：120分钟 分值：150分
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝x B．ax2+bx+c＝0 C．xy＝1 D．x+=1
2．下表记录了甲、乙、丙三名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙
平均数（cm） 186 186 186
方差 3.5 5.4 7.3
根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法选择
3．已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
4．已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（ ）
A．3π B．6π C．12π D．24π
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝24°，则∠BAO＝（ ）
A．24° B．48° C．66° D．71°
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD平分∠ABC，若∠D＝20°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（ ）
a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．在比例尺是1：300000的地图上，两地之间图上距离为3cm，则两地的实际距离为 km．
10．任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的数字为偶数的概率为 ．
11．若，是一元二次方程x2+5x﹣m＝0的两个实数根，则+的值为 ．
12．如图，在正六边形ABCDEF中，点P是AF上任意一点，连接PC，PD，则△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为 ．
（第12题图） （第15题图） （第16题图）
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝20，则AP＝ ．
14．若抛物线y＝x2+6x﹣m与x轴有公共点，则m的取值范围为 ．
15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣5，﹣2）、B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2．将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD，再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE，连接DE，则图中阴影部分的面积是 ．
三．解答题（共11小题，满分102分）
17．（6分）解下列方程：
（1）x2+3x﹣4＝0；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
18．（8分）已知抛物线y＝2x2+4x﹣6．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值．
19．（8分）如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为10，OP＝6，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
20．（8分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D点，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为 ；∠ADC的度数为 °；的弧长为________．
21．（8分）车辆经过润扬大桥收费站时，3个收费通道A、B、C中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率（请用树状图或列表法等方式给出分析过程）
22．（8分）某中学举行“创文”知识竞赛，要求每个班参加竞赛的人数都相同．成绩分别为 A、B、C、D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分，现将八年级一班和二班的成绩进行整理并绘制出如下的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）设二班成绩为B等级的学生人数占本班比赛人数的m%，则m＝ ；
（2）求一班参加竞赛学生成绩的平均分；
（3）求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，BD＝4，求AB长．
24．（10分）定义：已知，是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若＜＜0，且4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为＝﹣10，＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，4，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根、满足+11+＝﹣121，求k的值．
25．（12分）某商场销售一种销售成本为40元/件的童装，若按50元/件销售，一个月可售500件，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10件．
（1）商场想使月销售利润达到8000元，求销售单价应定为多少元？
（2）求当销售单价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）该商场决定某月每销售1件童装便向贫困地区捐款a元，该商场捐款当月销售单价不高于70元每件，月销售最大利润为8100元，求a的值.
（12分）综合与实践
【问题情境】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=3，M、N分别是边AB、AD上的点，将△AMN沿着MN翻折，点A的对应点是A’．
【初步尝试】若N与D重合，M是AB的中点，则A’D= ；
【问题解决】若AM=4.5，△MNA’的外接圆与线段DC有公共点，求AN的取值范围；
【深入探究】若A’落在△DAB内部，以A’为圆心，r为半径的⊙A’同时与DC、DA相切，则r的取值范围是______．
（备用图）
（备用图）
27．（14分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式.
（3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m (﹣3＜m＜﹣1)，点F的横坐标为m+1．过点D作x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N．
①如图2，连接DF，求四边形DFNM的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．
（图1） （图2） （图3）
