2022-2023学年河北省张家口市桥西区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省张家口市桥西区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共16小题，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形为圆的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的开口( )
A. 向左 B. 向右 C. 向上 D. 向下
3.对于圆的对称性的描述：甲：圆是轴对称图形；乙：圆是中心对称图形正确的是( )
A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错
4.二次函数的图象与轴的交点坐标为( )
A. B. C. D.
5.中的一段劣弧的度数为，则( )
A. B. C. D.
6.将抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后所得抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
7.如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( )
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 平行
8.二次函数的图象与轴的交点个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 不能确定
9.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点，的读数分别为，，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.下列二次函数图象的顶点坐标是的是( )
A. B.
C. D.
11.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了如图，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是( )
A.
B.
C.
D.
12.在函数的图象上有两点、，则、的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
13.如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是( )
A. B. C. D.
14.某商店购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，那么半月内可以售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高元，销售量相应减少件，若设每件商品涨元，销售利润为元，可列函数为：对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是( )
A. 表示涨价后商品的单价 B. 表示涨价后少售出商品的数量
C. 表示涨价后商品的数量 D. 表示涨价后商品的单价
15.如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
16.题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围”对于其答案，甲答：乙答：，丙答：，丁答：，则正确的是( )
A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整
C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 甲、丁答案合在一起才完整
二、填空题：本题共3小题，共11分。
17.如图，在正六边形中，连接，，则______度．
18.如图，用一根厘米的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完设框架的宽为厘米．
框架的长为______ 厘米用含的代数式表示；
矩形框架面积的最大值为______ 平方厘米．
19.如图的一汤碗，其截面为轴对称图形，碗体呈半圆形状碗体厚度不计，直径，碗底，，．
如图，当汤碗平放在桌面上时，碗的高度是______．
如图，将碗放在桌面上，绕点缓缓倾斜倒出部分汤，当碗内汤的深度最小时，的值是______．
三、解答题：本题共7小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿、分别相切于点、，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，求的度数．
21.本小题分
已知二次函数经过点．
若时，求；
若时，求的值．
22.本小题分
数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图，赤道半径约为千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；
参考数据：，，，
根据以上信息，小组成员嘉琪过作，如图，请你根据这些信息求北纬纬线的长度约为多少千米．
23.本小题分
如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线：．
写出的对称轴和的最小值；
点为透明片上一点，的坐标为平移透明片，平移后，的对应点为，抛物线的对应抛物线为，其表达式恰为，求移动的最短路程．
24.本小题分
如图，，是上两点，，为弧上一点．
写出弦对的弧的度数；
若是劣弧的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
25.本小题分
如图，在的网格图中正方形边长均为，一段圆弧经过格点，，，连接、，交圆弧于点．
写出与的关系并说明点为的中点；
直接确定图中阴影部分面积．
26.本小题分
在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度单位：、运动距离单位：随运动时间单位：变化的数据，整理得下表．
运动时间
运动速度
运动距离
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
求关于的函数解析式和关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
若白球一直以的速度匀速运动，求两球之间距离与运动时间之间的关系式，判断并说明黑球在运动过程中会不会碰到白球．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意得，图形为圆．
故答案为：．
根据圆的定义分析即可．
本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆，记作“”，读作“圆”是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：抛物线中，
抛物线开口向下．
故选：．
由抛物线得出，直接判断开口方向即可．
本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．
3.【答案】
【解析】解：由圆的性质可知：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，
甲乙都对．
故选：．
沿着一条直线折叠后自身能够重合的图形即为轴对称图形，旋转后能够和自身重合的图形即为中心对称图形，联系圆的特征分析圆折叠后自身能够重合，旋转后和自身重合，问题即可解答．
本题考查圆的对称性，需掌握判别轴对称图形、中心对称图形的方法是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：令，则，
二次函数的图象与轴的交点坐标是．
故选：．
将代入函数解析式，求出相应的的值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标，掌握二次函数图象与坐标轴的交点问题是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：中的一段劣弧的度数为，
，
故选：．
根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后所得抛物线的解析式为，即．
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：．
直接利用直线与圆的位置关系的定义进行判断．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据交点个数直接判断是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：判断二次函数图象与轴的交点个数，就是当时，方程解的个数，
，
此方程有两个相同的根，
二次函数的图象与轴有一个交点．
故选：．
利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可．
本题考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，掌握两者之间的关系是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：题意，连接，．
由题意，，
，
故选：．
连接，，利用圆周角定理求解即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
10.【答案】
【解析】解：、的顶点坐标为，故该选项不符合题意；
B、的顶点坐标为，故该选项不符合题意；
C、的顶点坐标为，故该选项不符合题意；
D、的顶点坐标为，故该选项符合题意；
故选：．
根据二次函数顶点式的顶点坐标为进行解答即可．
本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数顶点式的顶点坐标为是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：．
利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．
本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第块可确定半径的大小．
12.【答案】
【解析】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向上，
二次函数的图象上有两点，，
根据二次函数图象的对称性可知，点与点关于对称轴对称，
．
故选：．
由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
由勾股定理求出的长度，再由点在内且点在外求解．
本题考查点与圆的位置关系，解题关键是利用勾股定理求出的长度．
【解答】
解：在中，，，由勾股定理得，
点在内且点在外，
，
故选：．
14.【答案】
【解析】解：、表示涨价后单件商品的利润，不是商品的单价，故本选项不符合题意；
B、由销售单价每提高元，销售量相应减少件，得每件商品涨元后，表示涨价后少售出商品的数量，故本选项符合题意；
C、由题可知，原销量为件，涨价后少售出件，则涨价后的商品数量为件，故本选项符合题意；
D、由题可知，每件商品原价为元，涨元后单价为元，故本选项符合题意．
故选：．
根据题意，分析得出涨价后的单价为元，涨价后销量为件，再根据利润等于售价减去进价得出涨价后每件利润为元即可．
本题考查了应用题中的利润问题，根据题意准确得出涨价前后的售价和销量以及熟练掌握利润的计算公式是本题的重点．
15.【答案】
【解析】解：如图：
连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，则，由，则，再由，即可求出答案．
本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题意，把代入得：
，
解得．
把代入得：
，
解得．
从而得或，
，．
A、的水平距离为．
在左侧的直线上时，向左平移个单位长度得到点，此时线段与抛物线无公共点，
当在线段上不含时，向左平移个单位长度得到点，线段与抛物线只有一个公共点，
此时．
在右侧的直线上时，若 ，
则抛物线和线段交于抛物线的顶点，
即时，线段与抛物线只有一个公共点．
上所述，点的横坐标的取值范围是或．
故选：．
依据题意，根据待定系数法首先求出抛物线与直线的解析式，由得，，可知、的水平距离为，分三种情况：当在左侧的直线上时，当在线段上不含时，当在右侧的直线上时，对线段与抛物线交点进行讨论．
本题主要二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并能分类求解确定的位置是关键．
17.【答案】
【解析】解：设正六边形的边长为，
正六边形的每个内角，
，，
，
，
，
如图，过点作于点，则等腰三角形三线合一，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
设正六边形的边长为，正六边形的每个内角为，在中，根据等腰三角形两底角相等得到，从而，过点作于点，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而得到的长，根据即可得出．
本题考查了正多边形与圆，根据得出是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设框架的宽为厘米．则框架的长为厘米．
故答案为：；
矩形框架的面积为，
，
要使框架的面积最大，则，此时，最大为平方厘米．
故答案为：．
设框架的宽为厘米．根据铁丝长厘米可得框架的长为厘米；
根据面积公式列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
19.【答案】
【解析】解：因为碗是半圆形状，所以半经，
的中点到的中点所形成的线段长度为，
碗的高度；
以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意知：，，，，
设抛物线的解析式为：，
把点代入得，
，
解得：，
，
将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，
当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，即，
设直线的解析式为，与轴交于点，如图：
由题意知：点，
，，
，
即点，
，
解得：，
直线的解析式为：，
由，得或，
，
设把直线：，向下平后得到直线：，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，过作，交于点，与轴交于点，的长即为碗内面汤的最小深度，
联立，
整理为：，
只要一个交点，
，
即，
解得：，
直线的解析式为：，
点，
，
与水平面的夹角为，
直线与水平面的夹角为，即，
在中，
，
即碗内面汤的最小深度为：，此时，即．
故答案为：．
根据圆的半径碗底的高度就是所求结果；
以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，得出、的坐标用待定系数法求抛物线的解析式，将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，即，求出与轴的交点坐标，把点、代入求出直线的解析式，液面到平面的距离实际就是点到直线的距离，求出垂直于的函数解析式，联立两个函数求出交点坐标，用两点间的距离公式求出点到的距离；将直线向下平移与抛物线只有一个交点时，两直线间的距离最短，利用二次函数与一次函数的交点问题求出平移后的函数解析式，作，得出直角三角形，求出两条直线间的距离即为碗内面汤的最小深度．
本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形、圆在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
20.【答案】解：连接，
，
，
，
、分别切于点、，
，，
，
．
【解析】连接，由得，，；因为、分别切于点、，则，利用四边形内角和即可求出．
本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
21.【答案】解：二次函数经过点，
将代入，
得；
当时，即，
解得，；
的值为或．
【解析】令，求出函数的值即为的值；
令，求出自变量的值即为的值．
本题考查了求二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键．
22.【答案】解：，，
，
千米，
北纬的纬线长千米．
北纬纬线的长度约为千米．
【解析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
本题考查垂径定理，解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．
23.【答案】解：抛物线：，
的对称轴为：直线，的最小值为；
平移后的抛物线的解析式为，原抛物线：，
是向左平移个单位，再向下平移个单位，
的坐标为，
平移后的点，
移动的最短路程，
移动的最短路程为．
【解析】根据二次函数的性质，即可解答；
根据题意易得：平移后的抛物线的解析式为，从而可得：是向左平移个单位，再向下平移个单位，进而可求出的坐标，然后利用两点间距离公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，坐标与图形的变化平移，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24.【答案】解：在优弧上取一点，连接、，如图所示：
，
，
，
；
弦对的弧的度数为或；
菱形，
理由：连接，
是弧的中点，，
，
又，
和都是等边三角形，
，
四边形是菱形．
【解析】在优弧上取一点，连接、，先由圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质即可得出答案；
证和都是等边三角形，则，根据菱形的判定方法即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．
25.【答案】解：由网格可判断，，
连接，则，
，
根据等腰三角形三线合一得点为的中点；
取圆弧的圆心，连接，
正方形边长均为，
，，
．
【解析】由网格即可判断出与的关系，连接，利用等腰三角形三线合一即可解答；
取圆弧的圆心，连接，利用即可解答．
本题考查了网格图中线段长度与位置关系及求不规则图形的面积，解题的关键是熟练掌握有关网格图的知识点，勾股定理及割补法的运用．
26.【答案】解：设，
将，代入，得：
，
解得，，
，
设，将，，代入，得：
，
解得，
．
设黑白两球的距离为，
根据题意可知，，
即，
黑球在运动过程中不会碰到白球，理由如下：
当时，，
，
方程没有实数根，
黑球不会碰到白球．
【解析】根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即可；
设黑白两球的距离为，得到，当时，，由得到方程没有实数根，于是得到结论．
本题考查一次函数和二次函数的实际应用、一元二此方程根的判别式的应用等知识，关键是明确题意求出函数表达式．
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