2023-2024学年新疆伊犁州华赉伊高中联盟高二（上）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年新疆伊犁州华赉伊高中联盟高二（上）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 156.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-01 11:04:27 | ||
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文档简介
2023-2024学年新疆伊犁州华赉伊高中联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线经过两点，，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 相交 B. 外离 C. 内含 D. 外切
4.空间直角坐标系中，已知，，点关于平面对称的点为，则，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
5.经过椭圆：的左焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的右焦点，则的周长为( )
A. B. C. D.
6.直线：与椭圆：的一个交点坐标为( )
A. B. C. D.
7.在三棱柱中，，，，分别为棱，，，的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知椭圆：的右焦点为，是上一点，，当的周长最小时，其面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程表示椭圆，则实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列命题中，正确的是( )
A. 直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则
B. 向量，，则在上的投影向量为
C. 向量，，共面
D. 平面的一个法向量为，为内的一点，则点到平面的距离为
11.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是( )
A. B. C. D.
12.在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，则( )
A. 三棱锥的体积为
B. 直线，所成角的余弦值为
C. 的最小值为
D. 当，，，四点共面时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆的短半轴长为______ ．
14.圆：关于直线：对称的圆的标准方程为______ ．
15.如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ______ ．
16.过直线上一点向圆：引切线，切点为，则的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
经过，；
长轴长是焦距的倍，且经过点．
18.本小题分
已知直线：，直线：．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
19.本小题分
已知椭圆：的一个顶点为，离心率．
求椭圆的方程；
已知直线交椭圆于，两点，且的中点为，求直线的方程．
20.本小题分
如图，在三棱柱中，底面为正三角形，为的中点，平面平面．
证明：平面D.
若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
圆：，直线：．
证明：不论取什么实数，直线与圆相交；
求直线被圆截得的线段的最短长度，并求此时的值．
22.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为的正方形，为上一动点．
当时，求到平面的距离；
求与平面所成角的正弦值的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题设，若直线的倾斜角为且，
则，
所以．
故选：．
根据倾斜角与斜率关系，及两点求斜率确定倾斜角的大小．
本题考查直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由椭圆方程知：，
故离心率为．
故选：．
根据椭圆方程及离心率公式确定离心率即可．
本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知：圆的圆心：，半径：，
圆的圆心：，半径：，
两圆圆心距为：，
故两圆内含．故C项正确．
故选：．
利用圆与圆的位置关系求解．
本题考查了两圆的位置关系判断问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题设可知，又，
所以．
故选：．
根据对称关系得，应用两点距离公式求，两点间的距离．
本题考查了对称关系，考查两点间的距离公式，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由椭圆：可知半长轴长，
由椭圆的定义可知：的周长为．
故选：．
根据题意结合椭圆的定义分析判断．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：联立，可得，解得或，
当时，；当时，；
所以直线与椭圆的交点坐标为．
故选：．
将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案．
本题考查直线与椭圆交点的求法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，，分别为棱，，，的中点，
，
，
，
由得，，
由得，，即，
得，，
，，
．
故选：．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意可得，，
设椭圆的左焦点为，则根据题意可得，，
的周长为
，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，
此时直线为，即，
联立，可得，
或，故，代入椭圆方程易得，
，又，，
当的周长最小时，其面积为．
故选：．
根据题意可得设椭圆的左焦点为，则的周长为，再联立直线与椭圆方程求出的坐标，从而可得：当的周长最小时，其面积为，计算即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由方程表示椭圆，
即方程表示椭圆，
则，解得且，
所以结合选项可得实数的取值可能是，，．
故选：．
根据椭圆的标准方程的特征可得，进而求解即可得到答案．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由，故，故或，故A错误；
对于，由题设在上的投影向量为，故B正确；
对于，若向量共面，则存在，，使，即，
，解得，故C正确；
对于，由题设，故点到平面的距离为，故D正确．
故选：．
应用向量数量积的坐标运算求判断；由投影向量的定义求在上的投影向量判断；由向量共面定理有，应用坐标运算列方程求参数判断；由空间点与平面距离的向量求法求点面距判断．
本题考查空间向量及其应用，训练了利用空间向量求点到平面的距离，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为，满足题意，
此时直线斜率，方程为，即；
若直线不过原点，当在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，
则，解得，此时方程为；
当在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，
则，解得，此时方程为．
综上，直线的方程为或或．
故选：．
分直线过原点和不过原点讨论，当直线不过原点时，设出直线方程，代入点即可求解．
本题考查了直线的截距式方程的应用问题，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建系如图，
则，，，，，，
，
设，则，
设为平面的法向量，
则，取，
点到平面的距离，
易知，，
，A正确；
，，
直线，所成角的余弦值为，B错误；
由上可知，，
，
由二次函数性质可知，当时，有最小值，最小值为，C正确；
当，，，四点共面时，则有，
，，，
，
即，解得，
此时为，又，，
，，
，
与不垂直，D错误．
故选：．
建系，利用向量法，向量夹角公式，向量垂直的性质，三棱锥的体积公式，即可分别求解．
本题考查三棱锥的体积问题，线线角的求解，距离的最值求解，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，可得，
，
椭圆的短半轴长为．
故答案为：．
由椭圆的标准方程可得解．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题设圆：，故C且半径为，
设对称圆的圆心为，
则在上，
且两圆心所在直线与已知直线垂直，
所以且，
可得，，
显然，对称圆的半径也为，
则所求圆的方程为．
故答案为：．
根据已知圆方程确定圆心和半径，利用对称性求对称圆的圆心和半径，即可得结果．
本题考查点关于直线的对称点的坐标的方法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：连接，因为：，
在中，由余弦定理得：
，
即有：，所以：，
以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以：，
因为：，且，
设平面的一个法向量为：，
则：，令：，得：，
所以得：，
解得：．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解．
本题考查空间向量在求空间角中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：圆的方程可化为，圆心，半径，
，
求的最小值，即求出的最小值．
的最小值为圆心到直线的距离．
．
故答案为：．
，求的最小值，即求出的最小值．
本题考查直线和圆相切的性质，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：令椭圆方程为，则，
所以椭圆标准方程为．
由题设，，则，
若焦点在轴上，令，则，此时标准方程为；
若焦点在轴上，令，则，此时标准方程为．
综上，椭圆方程为或．
【解析】设椭圆方程为，将点代入列方程求参数，即得方程；
由题设，讨论焦点位置设椭圆方程，将点代入求椭圆标准方程．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：若，则有，
即，解得或，
当时，：，：，满足；
当时，：，：，此时，重合，不满足．
综上，实数的值为．
若，则，
即，解得或．
所以，实数的值为或．
【解析】根据直线平行的必要条件求，然后验证即可；
根据直线垂直的充要条件求解可得．
本题考查直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：，又，得，
椭圆的方程为；
直线交椭圆于，两点，且的中点为，
，，
两式相减得，，
则，
故直线的方程为，即．
【解析】由已知可得，再由椭圆离心率及隐含条件求得，则椭圆方程可求；
设，，利用点差法可得所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出直线的方程．
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解与弦中点有关的问题，是中档题．
20.【答案】证明：如图，
连接与相交于点，连接，
在三棱柱中，侧面是平行四边形，
为的中点，又为的中点，
，又平面，平面，
平面；
解：平面平面，平面平面
底面为正三角形，为的中点，则，
平面，则平面，
，平面，，，
则二面角的平面角为，
中，由余弦定理有，又，
即，解得，
过作直线的垂线，垂足为，
则，故F在的延长线上，
所以，
，，，四边形为矩形，则，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则有，
令，则，，即．
，
设平面的一个法向量为，则有，
令，则，，即．
设平面与平面夹角为，
．
【解析】为的中点，由三角形中位线证得，可证平面；
由已知二面角证得，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值．
本题空间几何体中线面关系的证明和空间角的求解，属于中档题．
21.【答案】解：因为直线的方程可化为，
所以过直线与的交点．
又因为点到圆心的距离，
所以点在圆内，所以过点的直线与圆恒交于两点．
由可知：过点的所有弦中，弦心距，
因为弦心距、半弦长和半径构成直角三角形，
所以当时，半弦长的平方的最小值为，
所以弦长的最小值为．
此时，．
因为，所以，解得，
所以当时，得到最短弦长为．
【解析】证得直线恒过圆内定点即可．
当时被圆截得的线段的最短长度，求此时的弦长与的值．
本题考查了直线与圆相交的性质，恒过定点的直线方程以及点与圆的位置关系，属中档题．
22.【答案】解：四棱锥中，平面，底面是正方形，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
有，设，
则，
当时，有，
解得，
，设平面的一个法向量，
则，令，则，得，
则到平面的距离；
，平面的一个法向量，
时，与重合，与平面所成角的正弦值为，
时，与平面所成角的正弦值为
，
当时，与平面所成角的正弦值的最大值为．
【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，当时，求出的坐标，求平面的法向量，利用向量法求到平的距离；
，利用向量法求与平面所成角的正弦值，由配方法求最大值．
本题考查了空间向量在求空间距离和空间角中的应用，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线经过两点，，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 相交 B. 外离 C. 内含 D. 外切
4.空间直角坐标系中，已知，，点关于平面对称的点为，则，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
5.经过椭圆：的左焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的右焦点，则的周长为( )
A. B. C. D.
6.直线：与椭圆：的一个交点坐标为( )
A. B. C. D.
7.在三棱柱中，，，，分别为棱，，，的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知椭圆：的右焦点为，是上一点，，当的周长最小时，其面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程表示椭圆，则实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列命题中，正确的是( )
A. 直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则
B. 向量，，则在上的投影向量为
C. 向量，，共面
D. 平面的一个法向量为，为内的一点，则点到平面的距离为
11.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是( )
A. B. C. D.
12.在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，则( )
A. 三棱锥的体积为
B. 直线，所成角的余弦值为
C. 的最小值为
D. 当，，，四点共面时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆的短半轴长为______ ．
14.圆：关于直线：对称的圆的标准方程为______ ．
15.如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ______ ．
16.过直线上一点向圆：引切线，切点为，则的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
经过，；
长轴长是焦距的倍，且经过点．
18.本小题分
已知直线：，直线：．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
19.本小题分
已知椭圆：的一个顶点为，离心率．
求椭圆的方程；
已知直线交椭圆于，两点，且的中点为，求直线的方程．
20.本小题分
如图，在三棱柱中，底面为正三角形，为的中点，平面平面．
证明：平面D.
若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
圆：，直线：．
证明：不论取什么实数，直线与圆相交；
求直线被圆截得的线段的最短长度，并求此时的值．
22.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为的正方形，为上一动点．
当时，求到平面的距离；
求与平面所成角的正弦值的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题设，若直线的倾斜角为且，
则，
所以．
故选：．
根据倾斜角与斜率关系，及两点求斜率确定倾斜角的大小．
本题考查直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由椭圆方程知：，
故离心率为．
故选：．
根据椭圆方程及离心率公式确定离心率即可．
本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知：圆的圆心：，半径：，
圆的圆心：，半径：，
两圆圆心距为：，
故两圆内含．故C项正确．
故选：．
利用圆与圆的位置关系求解．
本题考查了两圆的位置关系判断问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题设可知，又，
所以．
故选：．
根据对称关系得，应用两点距离公式求，两点间的距离．
本题考查了对称关系，考查两点间的距离公式，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由椭圆：可知半长轴长，
由椭圆的定义可知：的周长为．
故选：．
根据题意结合椭圆的定义分析判断．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：联立，可得，解得或，
当时，；当时，；
所以直线与椭圆的交点坐标为．
故选：．
将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案．
本题考查直线与椭圆交点的求法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，，分别为棱，，，的中点，
，
，
，
由得，，
由得，，即，
得，，
，，
．
故选：．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意可得，，
设椭圆的左焦点为，则根据题意可得，，
的周长为
，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，
此时直线为，即，
联立，可得，
或，故，代入椭圆方程易得，
，又，，
当的周长最小时，其面积为．
故选：．
根据题意可得设椭圆的左焦点为，则的周长为，再联立直线与椭圆方程求出的坐标，从而可得：当的周长最小时，其面积为，计算即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由方程表示椭圆，
即方程表示椭圆，
则，解得且，
所以结合选项可得实数的取值可能是，，．
故选：．
根据椭圆的标准方程的特征可得，进而求解即可得到答案．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由，故，故或，故A错误；
对于，由题设在上的投影向量为，故B正确；
对于，若向量共面，则存在，，使，即，
，解得，故C正确；
对于，由题设，故点到平面的距离为，故D正确．
故选：．
应用向量数量积的坐标运算求判断；由投影向量的定义求在上的投影向量判断；由向量共面定理有，应用坐标运算列方程求参数判断；由空间点与平面距离的向量求法求点面距判断．
本题考查空间向量及其应用，训练了利用空间向量求点到平面的距离，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为，满足题意，
此时直线斜率，方程为，即；
若直线不过原点，当在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，
则，解得，此时方程为；
当在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，
则，解得，此时方程为．
综上，直线的方程为或或．
故选：．
分直线过原点和不过原点讨论，当直线不过原点时，设出直线方程，代入点即可求解．
本题考查了直线的截距式方程的应用问题，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建系如图，
则，，，，，，
，
设，则，
设为平面的法向量，
则，取，
点到平面的距离，
易知，，
，A正确；
，，
直线，所成角的余弦值为，B错误；
由上可知，，
，
由二次函数性质可知，当时，有最小值，最小值为，C正确；
当，，，四点共面时，则有，
，，，
，
即，解得，
此时为，又，，
，，
，
与不垂直，D错误．
故选：．
建系，利用向量法，向量夹角公式，向量垂直的性质，三棱锥的体积公式，即可分别求解．
本题考查三棱锥的体积问题，线线角的求解，距离的最值求解，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，可得，
，
椭圆的短半轴长为．
故答案为：．
由椭圆的标准方程可得解．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题设圆：，故C且半径为，
设对称圆的圆心为，
则在上，
且两圆心所在直线与已知直线垂直，
所以且，
可得，，
显然，对称圆的半径也为，
则所求圆的方程为．
故答案为：．
根据已知圆方程确定圆心和半径，利用对称性求对称圆的圆心和半径，即可得结果．
本题考查点关于直线的对称点的坐标的方法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：连接，因为：，
在中，由余弦定理得：
，
即有：，所以：，
以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以：，
因为：，且，
设平面的一个法向量为：，
则：，令：，得：，
所以得：，
解得：．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解．
本题考查空间向量在求空间角中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：圆的方程可化为，圆心，半径，
，
求的最小值，即求出的最小值．
的最小值为圆心到直线的距离．
．
故答案为：．
，求的最小值，即求出的最小值．
本题考查直线和圆相切的性质，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：令椭圆方程为，则，
所以椭圆标准方程为．
由题设，，则，
若焦点在轴上，令，则，此时标准方程为；
若焦点在轴上，令，则，此时标准方程为．
综上，椭圆方程为或．
【解析】设椭圆方程为，将点代入列方程求参数，即得方程；
由题设，讨论焦点位置设椭圆方程，将点代入求椭圆标准方程．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：若，则有，
即，解得或，
当时，：，：，满足；
当时，：，：，此时，重合，不满足．
综上，实数的值为．
若，则，
即，解得或．
所以，实数的值为或．
【解析】根据直线平行的必要条件求，然后验证即可；
根据直线垂直的充要条件求解可得．
本题考查直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：，又，得，
椭圆的方程为；
直线交椭圆于，两点，且的中点为，
，，
两式相减得，，
则，
故直线的方程为，即．
【解析】由已知可得，再由椭圆离心率及隐含条件求得，则椭圆方程可求；
设，，利用点差法可得所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出直线的方程．
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解与弦中点有关的问题，是中档题．
20.【答案】证明：如图，
连接与相交于点，连接，
在三棱柱中，侧面是平行四边形，
为的中点，又为的中点，
，又平面，平面，
平面；
解：平面平面，平面平面
底面为正三角形，为的中点，则，
平面，则平面，
，平面，，，
则二面角的平面角为，
中，由余弦定理有，又，
即，解得，
过作直线的垂线，垂足为，
则，故F在的延长线上，
所以，
，，，四边形为矩形，则，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则有，
令，则，，即．
，
设平面的一个法向量为，则有，
令，则，，即．
设平面与平面夹角为，
．
【解析】为的中点，由三角形中位线证得，可证平面；
由已知二面角证得，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值．
本题空间几何体中线面关系的证明和空间角的求解，属于中档题．
21.【答案】解：因为直线的方程可化为，
所以过直线与的交点．
又因为点到圆心的距离，
所以点在圆内，所以过点的直线与圆恒交于两点．
由可知：过点的所有弦中，弦心距，
因为弦心距、半弦长和半径构成直角三角形，
所以当时，半弦长的平方的最小值为，
所以弦长的最小值为．
此时，．
因为，所以，解得，
所以当时，得到最短弦长为．
【解析】证得直线恒过圆内定点即可．
当时被圆截得的线段的最短长度，求此时的弦长与的值．
本题考查了直线与圆相交的性质，恒过定点的直线方程以及点与圆的位置关系，属中档题．
22.【答案】解：四棱锥中，平面，底面是正方形，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
有，设，
则，
当时，有，
解得，
，设平面的一个法向量，
则，令，则，得，
则到平面的距离；
，平面的一个法向量，
时，与重合，与平面所成角的正弦值为，
时，与平面所成角的正弦值为
，
当时，与平面所成角的正弦值的最大值为．
【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，当时，求出的坐标，求平面的法向量，利用向量法求到平的距离；
，利用向量法求与平面所成角的正弦值，由配方法求最大值．
本题考查了空间向量在求空间距离和空间角中的应用，属于中档题．
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