选修2-2导数及其应用
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选修2-2导数及其应用
导数的几何意义：割线斜率的极限就是切线的斜率，即
导数的计算：基本初等函数的导数公式：
3.复合函数求导：一般第，设函数在点x处有导数，函数在点x的对应点u处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且。（由外向内逐层求导，这个法则也可以推广到三个及三个以上的函数相复合）
例：求下列函数的导数。
；（2）；（3）
；（5）；（6）
（7）；（8）；（9）
求导公式和法则的综合应用：
例1：求下列函数的导数：
；（2）
例2：若，求。
函数的单调性与导数（做过的图像问题自行复习）
利用导数判断函数的单调性的一般步骤为：
（1）确定函数的定义域，求；
（2）求方程的根；
（3）的根将的定义域分成若干子区间，在这些子区间上依的符号确定在该子区间的单调性。
例1：设函数。若曲线的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
a的值；
函数f(x)的单调区间
例2：设函数，其中a为实数。
若的定义域为R时，求a的取值范围。
当的定义域R时，求的单调递减区间
例3：已知函数，R。
讨论函数的单调区间；
设函数在区间内是减函数，求a的取值范围。（分离参数法）
例4：已知x＞1，证明不等式：x＞ln（x＋1）
函数的极值与导数：
求可导函数的极值的步骤：
确定函数的定义域；
求导数；
求方程=0时的全部实根；
检查导数在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值。
（注：可导函数的极值点一定是其导数为0的点；反之，倒数为零的点不一定是该函数的极值点。举例如下：
导数为0但不是极值点：在x=0时不是极值点；
不可导点是极值点：在x=0时是不可导点，但是极小值点）
例1：下列说法中不正确的是（ ）
单调递增函数没有极值
单调递减函数没有极值
函数的极大值大于函数的极小值
导数为0的点不一定是函数的极值点
例2：求函数的极值。
例3：已知函数在处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值。
例4：设x=1和x=2是函数的两个极致点。
求a和b的值；
求函数的单调区间
函数的最大（小）值与导数
在判断函数的最大（小）值时，必须抓住两点：一是任意性；二是存在性。
求函数在闭区间上的最值的步骤：
求函数在开区间内的极值；
将函数的各极值点与端点处的函数值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例1：设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：
①若存在M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；
②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；
③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；
这些命题中，真命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
例2：设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：
①若存在常数m，使得任意x∈R，有f（x）≥m，则m是函数f（x）的最小值；
②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；
③已知定义域为R的函数f（x），若f（2x+1）的最大值为2，则f（4x-1）的最大值也为2；
这些命题中，真命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
例3：设函数为奇函数，其图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为－12.（1）求a，b，c的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在[－1,3]上的最大值和最小值
例4：求函数上的最值。
8.综合问题：
例1.（2011辽宁理科数学）设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.（I）求a，b的值；（II）证明：≤2x-2．
例2.（2011年山东理科高考题）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
导数的几何意义：割线斜率的极限就是切线的斜率，即
导数的计算：基本初等函数的导数公式：
3.复合函数求导：一般第，设函数在点x处有导数，函数在点x的对应点u处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且。（由外向内逐层求导，这个法则也可以推广到三个及三个以上的函数相复合）
例：求下列函数的导数。
；（2）；（3）
；（5）；（6）
（7）；（8）；（9）
求导公式和法则的综合应用：
例1：求下列函数的导数：
；（2）
例2：若，求。
函数的单调性与导数（做过的图像问题自行复习）
利用导数判断函数的单调性的一般步骤为：
（1）确定函数的定义域，求；
（2）求方程的根；
（3）的根将的定义域分成若干子区间，在这些子区间上依的符号确定在该子区间的单调性。
例1：设函数。若曲线的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
a的值；
函数f(x)的单调区间
例2：设函数，其中a为实数。
若的定义域为R时，求a的取值范围。
当的定义域R时，求的单调递减区间
例3：已知函数，R。
讨论函数的单调区间；
设函数在区间内是减函数，求a的取值范围。（分离参数法）
例4：已知x＞1，证明不等式：x＞ln（x＋1）
函数的极值与导数：
求可导函数的极值的步骤：
确定函数的定义域；
求导数；
求方程=0时的全部实根；
检查导数在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值。
（注：可导函数的极值点一定是其导数为0的点；反之，倒数为零的点不一定是该函数的极值点。举例如下：
导数为0但不是极值点：在x=0时不是极值点；
不可导点是极值点：在x=0时是不可导点，但是极小值点）
例1：下列说法中不正确的是（ ）
单调递增函数没有极值
单调递减函数没有极值
函数的极大值大于函数的极小值
导数为0的点不一定是函数的极值点
例2：求函数的极值。
例3：已知函数在处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值。
例4：设x=1和x=2是函数的两个极致点。
求a和b的值；
求函数的单调区间
函数的最大（小）值与导数
在判断函数的最大（小）值时，必须抓住两点：一是任意性；二是存在性。
求函数在闭区间上的最值的步骤：
求函数在开区间内的极值；
将函数的各极值点与端点处的函数值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例1：设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：
①若存在M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；
②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；
③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；
这些命题中，真命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
例2：设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：
①若存在常数m，使得任意x∈R，有f（x）≥m，则m是函数f（x）的最小值；
②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；
③已知定义域为R的函数f（x），若f（2x+1）的最大值为2，则f（4x-1）的最大值也为2；
这些命题中，真命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
例3：设函数为奇函数，其图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为－12.（1）求a，b，c的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在[－1,3]上的最大值和最小值
例4：求函数上的最值。
8.综合问题：
例1.（2011辽宁理科数学）设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.（I）求a，b的值；（II）证明：≤2x-2．
例2.（2011年山东理科高考题）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.