湖南省永州市祁阳县重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(无答案)

祁阳重点中学2023年下期高二年级期中考试数学试题
考试时间：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1.已知点，若向量，则点的坐标是（ ），
A. B. C. D.
2.过点且与直线垂直的直线方程是（ ）.
A. B.
C. D.
3.若方程表示圆，则的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
4.如图，在三棱锥中，为的中点，点在上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知圆关于直线（，为大于0的常数）对称，则的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.2
6.己知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
7.某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）.若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，曲线上一点P到x轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）
9.已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.向量与向量共线
C.向最关于轴对称的向量为
D.向量关于平面对称的向最为
10.动点在圆：上，动点在圆：上，则下列说法正确的是（ ）
A.两个圆心所在的直线斜率为 B.两个圆公共弦所在直线的方程为
C.两圆公切线有两条 D. 的最小值为0
11.在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点Q在椭圆上，则（ ）
A. 椭圆的离心率的取值范围是
B.当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C.存在点使得
D. 的最小值为1
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为_________.
14.若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为_________.
15.如图所示，二面角为60°，A，B是棱上的两点，，分别在半平面内，，且，，，，，则的长_________.
16.设，直线：与直线：相交于点P，点Q是圆C：上的一个动点，则的最小值为_________.
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）
17.（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程；
（2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程；
18.已知点，，，设，.
（1）求，夹角的余弦值.
（2）若向量，垂直，求的值.
（3）若向量，平行，求的值.
19.已知点，圆：，过点P的动直线与圆交于A，B两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积.
20：如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.
21.已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，直线与曲线C交于A，B两点，且，直线是否过定点 若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
22.在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，且.
（1）求证：平面；
（2）设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值.