初中数学北师大版九年级上册第六章 第2课时 反比例函数的性质课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第六章 反比例函数
2 反比例函数的图象与性质
第2课时 反比例函数的性质
学习目标
1. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点)
2. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活
运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
3. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重
点、难点)
新课导入
反比例函数的图象是什么？
反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？
反比例函数的图象是双曲线
旧知回顾
问题1
问题2
归纳总结：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意，得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
知识点1 反比例函数的图象和性质的初步运用
讲授新课
针对训练
已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意，得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得m=3.
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
O
x
y
例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以m－5＞0，
解得m＞5.
讲授新课
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时，
y1＜y2.
讲授新课
针对训练
已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
　　
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .
　　
针对训练
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析
式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C
的坐标满足该解析式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上．
讲授新课
知识点2 反比例函数解析式中 k 的几何意义
1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向
x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，
填写下页表格：
合作探究
讲授新课
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
讲授新课
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系
P (－1，4) Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q
两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
讲授新课
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k
的关系是S矩形 AOBP=|k|.
讲授新课
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图
象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA
=a· (－b)=－ab=－k.
B
P
A
综上，S矩形 AOBP=|k|.
讲授新课
点 Q 是其图象上的任意一
点，作 QA 垂直于 y 轴，作
QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= .
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
Q
对于反比例函数 ，
A
B
|k|
y
x
O
归纳总结：
反比例函数的面积不变性
讲授新课
例5 如图，P，C是函数 (x>0) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的
垂线 CD，垂足为 D，连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1，则 S1= ；梯形CEAD
的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
讲授新课
例6 如图，两个反比例函数 和
在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1
上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面
积为________．
导引：紧扣“k 的几何性质”，
用“作差法”将阴影部分的
面积转化为符合k 的几何性质
的三角形面积来求解.于是阴影
部分的面积为1.
1
新课讲授
求阴影部分面积的方法：
当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的
方法，将它转化为易求图形面积的和或差来进行计
算．如本例就是将阴影部分面积转化为两个与比例
系数相关的特殊三角形的面积的差来求，要注意转
化思想和作差法的运用．
归纳总结：
针对训练
如图所示，在平面直角坐标系中，过点M 的直线PQ与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ 的面积为 8，则k =______.
Q
P
O
x
M
y
－10
当堂练习
1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.
2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
m ＞ 2
当堂练习
A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定
3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点，
过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，
△ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( )
O
B
A
P
x
y
A
当堂练习
4. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
A
y
O
B
x
解：
y=－x + 2 ，
解得
x = 4，
y =－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x = －2，
y = 4.
当堂练习
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
课堂小结
反比例函数
的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而增大.
Thanks
侵权必究