4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 课件（共22张PPT）
文档属性
| 名称 | 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 课件（共22张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-01 14:29:42 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
4.3.1
等比数列的概念
第1课时
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1.理解等比数列的含义.
2.掌握等比数列通项公式的推导过程及其运用.
3.理解等比数列与指数函数的关系.
4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示.
类比等差数列的研究思路和方法，从运算角度出发，我们还可以怎样研究数列？
二、新课讲授
1、等比数列的概念
问题：1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
， ，…， ； ①
， ，…， ； ②
， ，…， ③
2.《庄子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“棰”的长度一次是：
，， ， …. ④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
2，4，8，16，32，64，…… ⑤
4.某人存入银行元,存期为五年,年利率为,那么按照复利,他五年内每年末得到的本利和分别是：
元，第一年末元；
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息
第二年末 元；
以此类推，可得：
， ， ； ⑥
， ，…， ； ①
， ，…， ； ②
， ，…， ③
，， ， …. ④
2，4，8，16，32，64，…… ⑤
， ， ； ⑥
类比等差数列的研究，我们可以通过怎样的运算发现上述数列存在的规律？又是什么样的规律呢？
如果用表示数列①，那么有
，数列①有这样的取值规律：
， ，…， ； ①
，… .
第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.
其他数列的取值规律，并总结该规律.
， ，…， ； ②
， ，…， ③
，， ， …. ④
2，4，8，16，32，64，…… ⑤
， ， ； ⑥
第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.
等差数列 等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示.
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示.
等差数列 等比数列
：
= )
公差可正、可负、可为零.
公比的取值范围是什么？
追问1：由等比数列的定义，判断下列数列是不是等比数列.如果是，请写出它的公比.
（1）1，1.1，1.21，1.331，1.4641. ；
（2）0，，0， ；
（3）4，-8，16，-32，64，-128；
（4）5，5，5，5，5，5.
解：（1）设数列为 {}，因为
所以，是等比数列，公比为1.1
（2）设数列为 {}，因为无意义
所以，等比数列的首项不能为0
公比可以为0吗？
例如，0， ；
所以，公比不能为0
（3）设数列为 {}，因为=-2
是等比数列，公比为-2
所以，公比可以是负数
（4）设数列为 {}，因为=1
是等比数列，公比为1
非零常数列既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列.
等差数列 等比数列
= )
公差可正、可负、可为零.
公比的取值范围是什么？
可正、可负，不可为零
追问2：等差数列有等差中项，那么等比数列里也有相应的概念吗？又该如何定义它？
等差数列 等比数列
由三个数组成最简单的等差数列，这时， 叫做的等差中项，即.
由三个数组成等比数列，那么 叫做的等比中项，此时，.
问题2：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
等差数列 等比数列
= + ,
= + ,
= + ,
归纳可得 = ,
当时，上式也成立.
因此，首项为，公差为的等差数列的通项公式为：
=
= ,
= ,
= ,
归纳可得 = ,
又 = =
因此，首项为，公比为的等比数列的通项公式为：
=
追问1：除了归纳法还有其他方法推导出等比数列的通项公式吗？
等差数列
→累加法
等比数列
→累乘法
等差数列 等比数列
=
= ，
=
左右两边分别依次相加，得到
所以 =
= ，……
左右两边分别依次相乘，得到
所以
3、等比数列与函数的关系
问题3：等差数列可以与一次函数建立联系，观察等比数列的通项公式，它与哪一类函数有关？
= ，
所以当＞0且 ≠0时, ()；
当()时， 即 =
指数型函数
(常数，)
构成一个等比数列{}，其首项为，公比为
追问1：类比指数函数的性质，你能说说公比＞0 的等比数列的单调性吗？
()；
0＜＜1 ＞1 1
指数函数
等比数列
等比数列
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
＞0
单调递减
单调递增
不变
＜0
单调递增
单调递减
不变
三、巩固新知
例1 若等比数列{}的第4项和第6项分别为48和12，求{}的第5项.
例2 已知等比数列{}的公比，试用{}的第表示.
四、课堂小结
五、作业布置
课本P31：练习 第4、5题
等差数列 等比数列
常数
性质
通项公式
通项公式变形
公差
公差可正、可负、可为零
=
=
公差
公差可正、可负、不可为零
=
=
4.3.1
等比数列的概念
第1课时
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1.理解等比数列的含义.
2.掌握等比数列通项公式的推导过程及其运用.
3.理解等比数列与指数函数的关系.
4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示.
类比等差数列的研究思路和方法，从运算角度出发，我们还可以怎样研究数列？
二、新课讲授
1、等比数列的概念
问题：1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
， ，…， ； ①
， ，…， ； ②
， ，…， ③
2.《庄子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“棰”的长度一次是：
，， ， …. ④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
2，4，8，16，32，64，…… ⑤
4.某人存入银行元,存期为五年,年利率为,那么按照复利,他五年内每年末得到的本利和分别是：
元，第一年末元；
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息
第二年末 元；
以此类推，可得：
， ， ； ⑥
， ，…， ； ①
， ，…， ； ②
， ，…， ③
，， ， …. ④
2，4，8，16，32，64，…… ⑤
， ， ； ⑥
类比等差数列的研究，我们可以通过怎样的运算发现上述数列存在的规律？又是什么样的规律呢？
如果用表示数列①，那么有
，数列①有这样的取值规律：
， ，…， ； ①
，… .
第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.
其他数列的取值规律，并总结该规律.
， ，…， ； ②
， ，…， ③
，， ， …. ④
2，4，8，16，32，64，…… ⑤
， ， ； ⑥
第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.
等差数列 等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示.
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示.
等差数列 等比数列
：
= )
公差可正、可负、可为零.
公比的取值范围是什么？
追问1：由等比数列的定义，判断下列数列是不是等比数列.如果是，请写出它的公比.
（1）1，1.1，1.21，1.331，1.4641. ；
（2）0，，0， ；
（3）4，-8，16，-32，64，-128；
（4）5，5，5，5，5，5.
解：（1）设数列为 {}，因为
所以，是等比数列，公比为1.1
（2）设数列为 {}，因为无意义
所以，等比数列的首项不能为0
公比可以为0吗？
例如，0， ；
所以，公比不能为0
（3）设数列为 {}，因为=-2
是等比数列，公比为-2
所以，公比可以是负数
（4）设数列为 {}，因为=1
是等比数列，公比为1
非零常数列既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列.
等差数列 等比数列
= )
公差可正、可负、可为零.
公比的取值范围是什么？
可正、可负，不可为零
追问2：等差数列有等差中项，那么等比数列里也有相应的概念吗？又该如何定义它？
等差数列 等比数列
由三个数组成最简单的等差数列，这时， 叫做的等差中项，即.
由三个数组成等比数列，那么 叫做的等比中项，此时，.
问题2：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
等差数列 等比数列
= + ,
= + ,
= + ,
归纳可得 = ,
当时，上式也成立.
因此，首项为，公差为的等差数列的通项公式为：
=
= ,
= ,
= ,
归纳可得 = ,
又 = =
因此，首项为，公比为的等比数列的通项公式为：
=
追问1：除了归纳法还有其他方法推导出等比数列的通项公式吗？
等差数列
→累加法
等比数列
→累乘法
等差数列 等比数列
=
= ，
=
左右两边分别依次相加，得到
所以 =
= ，……
左右两边分别依次相乘，得到
所以
3、等比数列与函数的关系
问题3：等差数列可以与一次函数建立联系，观察等比数列的通项公式，它与哪一类函数有关？
= ，
所以当＞0且 ≠0时, ()；
当()时， 即 =
指数型函数
(常数，)
构成一个等比数列{}，其首项为，公比为
追问1：类比指数函数的性质，你能说说公比＞0 的等比数列的单调性吗？
()；
0＜＜1 ＞1 1
指数函数
等比数列
等比数列
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
＞0
单调递减
单调递增
不变
＜0
单调递增
单调递减
不变
三、巩固新知
例1 若等比数列{}的第4项和第6项分别为48和12，求{}的第5项.
例2 已知等比数列{}的公比，试用{}的第表示.
四、课堂小结
五、作业布置
课本P31：练习 第4、5题
等差数列 等比数列
常数
性质
通项公式
通项公式变形
公差
公差可正、可负、可为零
=
=
公差
公差可正、可负、不可为零
=
=