4.3.1 等比数列的概念（第2课时） 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
4.3.1
等比数列的概念
第2课时
人教A版（2019）选择性必修第二册
学习目标
1.掌握等比数列的相关性质，并能灵活运用.
2.运用等比数列解决一些实际问题.
3. 核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示.
递推公式：
)
通项公式：
=
等比中项：
.
二、新课讲授
例4：用10000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为所少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
：复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
元，第一年末 元；
第二年末 元；
以此类推，可得：
， ， ……
各期的本利和构成等比数列.
这个等比数列首项为，公比为，可得通项公式为： =
（1）“用10000元购买某个理财产品”
=10000
“月利率0.400%”
= 0.400%
12个月能获得的本利和
= ？
“12个月能获得的利息”
=本利和-本金= -
解：（1）设这笔钱存个月后的本利和组成一个数列，则是等比数列，
首项=公比1+0.400%，
所以= ，
所以，12个月后的利息为- 491（元）
（2）“季度利息”
存4个季度的本利和
= ？
“存4个季度结算的利息”
-
“按季结算的利息不少于按月结算的利息”
-
解：（2）设季度利率为，这笔钱存个季度后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，
首项=公比为，
于是= ，
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
元
解≥491，
得 ≥1.206%.
所以，当季度利率不小于1.206%时，按及结算的利息不少于按月结算利息.
对实际问题抽象、简化
确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子
梳理变量之间的关系
将复利问题转化为相应的等比数列模型
用数学方法解决
数学模型
（数学建模）
例5：已知数列的首项=3.
（1）若数列为等差数列，公差2，证明数列为等比数列；
（2）若数列为等比数列，公差，证明数列为等差数列；
：
1、判断等差数列：
（1）定义法：为等差数列
（2）等差中项法：2为等差数列
（3）通项公式法：为等差数列.
注：若是证明，可用（1）（2），（3）不能用于证明.
2、证明等比数列：
（1）定义法：为等比数列
（2）等比中项法：为等比数列
（3）通项公式法：为等比数列.
注：若是证明，可用（1）（2），（3）不能用于证明.
追问 已知如果数列为等差数列，那么数列是否一定为等比数列？如果数列是各项均为正数的等比数列，那么数列是否一定为等差数列？
证明：设等差数列的首项为公差为，则
=
所以， 是以为首项， 为公比的等比数列
证明：设各项均为正数的等比数列的首项为公比为，则
所以，数列是以为首项，为公差的等差数列
等差数列{}中，
，
则有+= +.
各项均为正数的等比数列，是等差数列
，
=
=
=
证明：设等比数列的首项为公比为，则
=
=
所以
因为
所以
通过该证明可知，此性质并不需要等比数列各项均为正.
三、课堂小结
1、方程思想：等比数列有关计算问题
2、建模思想：将实际问题转化为数学问题，并加以解决
3、转化思想：
则
四、作业布置
课本P34：练习 第3、5题