3.5 探索与表达规律 图形的探索规律 练习2023-2024学年北师大版七年级数学上册（含解析）

图形的规律探索
1.下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中有14个圆，．．．则第8个图形中圆的个数是（ ）
A．52 B．53 C．54 D．55
2.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（　　）
A．55 B．220 C．285 D．385
3.我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示第n层的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则＋…＋＝（ ）
A． B． C． D．
4、观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（ ）
A．6074 B．6072 C．6070 D．6068
5、学习了正多边形的知识后，小张用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照如下规律，第7个图案中正三角形的个数是（ ）
A．28个 B．30个 C．32个 D．34个
6、.数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
7、下列图形是用棋子按照一定规律摆成的，第①个图中有2枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有12枚棋子，…，按照这种摆法，第8个图形中共有棋子（　　）
A．42 B．56 C．64 D．72
8、如图各图形由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第8个图中黑点的个数是（　　）
A．79 B．81 C．98 D．119
9、下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中实心圆点的个数为（　　）
A．19 B．20 C．22 D．23
10、用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第8个图案需要的黑色五角星的个数是（　　）
A．22 B．25 C．28 D．32
11、观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是（ ）
A．48个 B．49个 C．50个 D．51个
12、如图，观察下列图形，第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形……第2023个图形中有（ ）个图形．
A．8089 B．8090 C．8091 D．8092
13.如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
14、用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要 枚棋子，图n需要 枚棋子（用含n的代数式表示）．

15.如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3；…，以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．
尝试（1）第3次画线后，分割成______个互不重叠的正方形；
第4次画线后，分割成______个互不重叠的正方形．
发现（2）第次画线后，分割成______个互不重叠的正方形，并直接写出第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数．探究（3）若干次画线后﹐能否得到1005个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．
16.（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49=　 　；②1+3+5…+（2n+1）=　 　．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
17、按如下规律摆放五角星：
（1）填写表格：
图案序号 1 2 3 4 … n
五角星个数 4 7 　 　 　 　 … 　 　
（2）直接写出第20个图案的五角星个数，个数为　 　；
（3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有2021个五角星？
（4）计算前20个五角星图案中五角星的总个数．
18、如图，同一行的两个图形中小正方形的个数相等，但它们的排列方式不一样，根据不同的排列方式可以得到一列等式．
（1）第n个图形中对应的等量关系是[1+2+3+…+（n+1）]×2＝　 　．
（2）根据（1）的结论，求2+4+6+…+50的值．
答案与解析
1.下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中有14个圆，．．．则第8个图形中圆的个数是（ ）
A．52 B．53 C．54 D．55
【答案】C
【分析】根据图中圆的个数变化规律，进而求出答案．
【详解】解：由图可得：第一个图形一共有2＋3＝5个圆，
第二个图形一共有2＋3＋4＝9个圆，
第三个图形一共有2＋3＋4＋5＝14个圆，
∴第八个图形一共有2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9+10＝54个图形．故选：C．
2.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（　　）
A．55 B．220 C．285 D．385
【答案】A
【分析】“三角形数”可以写为：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n层“三角形数”为，再把n＝10代入计算即可．
【详解】解：∵“三角形数”可以写为：
第1层：1，
第2层：3＝1+2，
第3层：6＝1+2+3，
第4层：10＝1+2+3+4，
第5层：15＝1+2+3+4+5，
∴第n层“三角形数”为，
∴若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为＝55．故选：A．
3.我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示第n层的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则＋…＋＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：观察图形的变化可知：
第1层有1颗弹珠，即；
第2层有3颗弹珠，即；
第3层有6颗弹珠，即；
第4层有10颗弹珠，即；
…
∴第层的弹珠数为：
∴，
∴＋…＋＝
故选：B
4、观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（ ）
A．6074 B．6072 C．6070 D．6068
【答案】C
【分析】根据题意可得第n个图案中的“”的个数为个，即可求解．
【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数（个），
第2个图案中的“”的个数（个），
第3个图案中的“”的个数（个），
…，
第2023个图案中的“”的个数（个），
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．
5、学习了正多边形的知识后，小张用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照如下规律，第7个图案中正三角形的个数是（ ）
A．28个 B．30个 C．32个 D．34个
【答案】B
【详解】解：∵第1个图形中正三角形的个数为：6，
第2个图形中正三角形的个数为：，
第3个图形中正三角形的个数为：，
……，
∴第n个图形中正三角形的个数为：，
∴第7个图案中正三角形的个数是：．
故选：B．
6.数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可.
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为所求.最后一个小长方形的面积= 故
即故选B.
7、下列图形是用棋子按照一定规律摆成的，第①个图中有2枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有12枚棋子，…，按照这种摆法，第8个图形中共有棋子（　　）
A．42 B．56 C．64 D．72
【分析】观察并比较分析每个图形的相同点与不同点，得出每个图形的每行的棋子数相等．另外，任意两个相邻的图形中后一个图形的棋子的行数总是比前一个图形的棋子多1行，且每一行棋子数比前一个的图形的每一行棋子数对一个，进而得出图形棋子数的变化规律，从而解决该题．
【解析】第①个图形的棋子数为y1＝2枚．
第②个图形的棋子数为y2＝2×3＝6枚．
第③个图形的棋子数为y3＝3×4＝12枚．
第④个图形的棋子数为y4＝4×5＝20枚．
..．
以此类推，第n个图形的棋子数为yn＝n（n+1）枚．
∴第⑧个图形的棋子数为y8＝8×9＝72枚．故选：D．
8、如图各图形由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第8个图中黑点的个数是（　　）
A．79 B．81 C．98 D．119
【分析】整体观察图形，发现黑点组成的图形是正方形少了2个黑点，而第n个图的正方形的边长是（n+1），所以第n个图中黑点的个数为（n+1）2﹣2．
【解析】∵图1中有2＝[（1+1）2﹣2]个点，
图2中有7＝[（2+1）2﹣2]个点，
图3中有14＝[（3+1）2﹣2]个点，
…，
∴第8个图中黑点的个数为：（8+1）2﹣2＝81﹣2＝79（个），
故选：A．
9、下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中实心圆点的个数为（　　）
A．19 B．20 C．22 D．23
【分析】观察并比较分析图形的相同点与不同点，得出每两个相邻的图形中后一个图形总是在前一个图形的底部增加1个实心圆点，顶部的两侧各增加1个实心圆点，进而归纳任意两相邻的图形中后一个图形实心圆点数比前一个实心圆点数多3个，从而得出图形实心圆点数的一般变化规律．
【解析】第①个图形的实心圆点数是y1＝5个．
第②个图形的实心圆点数是y2＝y1+3＝5+3＝8．
第③个图形的实心圆点数是y3＝y2+3＝5+3+3＝5+3×2．
第④个图形的实心圆点数是y4＝y3+3＝5+3+3+3＝5+3×3．
..．
以此类推，第n个图形的实心圆点数是yn＝5+3（n﹣1）个．
∴当n＝7时，第⑦个图形的实心圆点数是y7＝5+3×6＝23个． 故选：D．
10、用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第8个图案需要的黑色五角星的个数是（　　）
A．22 B．25 C．28 D．32
【分析】根据图案总结出五角星数量变化的规律即可．
【解析】由题知，
第1个图案需要的黑色五角星的个数是1+3，
第2个图案需要的黑色五角星的个数是1+3×2，
第3个图案需要的黑色五角星的个数是1+3×3，
..．
第8个图案需要的黑色五角星的个数是1+3×8＝25，
故选：B．
11、观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是（ ）
A．48个 B．49个 C．50个 D．51个
【答案】B
【分析】第个图案中“”的个数为：，第个图案中“”的个数是：，第个图案中“”的个数为：，，据此可求得第个图案中“”的个数，从而可求解．
【详解】解：第个图案中“”的个数为：，
第个图案中“”的个数是：，
第个图案中“”的个数为：，
，
第个图案中“”的个数为：，
第16个图案中“”的个数为：（个）．
故选B．
12、如图，观察下列图形，第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形……第2023个图形中有（ ）个图形．
A．8089 B．8090 C．8091 D．8092
【答案】A
【分析】根据题意可得第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有个三角形，第3个图形中有个三角形，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：第1个图形中有1个三角形，
第2个图形中有个三角形，
第3个图形中有个三角形，
……，
由此发现，第n个图形中有个三角形，
∴第2023个图形中有个个三角形．
故选：A
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
13.如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C1，C2，C3，C4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【详解】解：∵C1＝1+1+1＝3，C2＝1+1+＝，C3＝1+1+×3＝，C4＝1+1+×2+×3＝，…
∴C3﹣C2= ，C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，…
则C n﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的运算规律，并应用规律解决问
题．
14、用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要 枚棋子，图n需要 枚棋子（用含n的代数式表示）．

【答案】 29
【分析】根据已知图形找出规律求解即可．
【详解】解：∵第①个图形中棋子的数量为：，
第②个图形中棋子的数量为：，
第③个图形中棋子的数量为：，
第④个图形中棋子的数量为：，
∴第⑤个图形中棋子的数量为：，
第n个图形中棋子的数量为：．
故答案为：29；．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
15.如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3；…，以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．
尝试（1）第3次画线后，分割成______个互不重叠的正方形；
第4次画线后，分割成______个互不重叠的正方形．
发现（2）第次画线后，分割成______个互不重叠的正方形，并直接写出第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数．探究（3）若干次画线后﹐能否得到1005个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．
【答案】尝试：（1）10，13；发现：（2）3n+1；6064；探究：（3）不能，理由见解析．
【分析】尝试：根据前2次画线分割成的正方形个数即可得到第3、第4次的；
发现：结合尝试的过程：10=3×3+1，13=3×4+1，…发现规律可得第n次画线后，分割成的正方形，进而可求第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数； 探究：设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m=3n+1．求当m=1005时n的值，进而可以说明．
【详解】解：尝试：3×3+1=10，3×4+1=13；故答案为：10，13；
发现：通过尝试可知：第n次画线后，分割成的正方形为：3n+1；
当n=2021时，3n+1=3×2021+1=6064，
即第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6064；故答案为：（3n+1）；
探究：不能． 设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m=3n+1．
若m=1005，则1005=3n+1．解得n＝．这个数不是整数，所以不能．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，根据图形的变化寻找规律、总结规律、运用规律是解题的关键．
16.（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49=　 　；②1+3+5…+（2n+1）=　 　．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析，
【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可；（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32， n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，和为(n+1)2；（3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果．
【详解】解：（1）1+2+3+ +20=（1+20）×20=21×10=210；故答案为：210；
（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32， ，n个数时和为n2．
①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案为：625；(n+1)2；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，
第一次将正方形分割为和两部分，第二次将正方形的分割为和两部分， ，以此类推，
第2020次分割后，剩余的面积为，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：
，∴，
左右两边同除以2得：．∴原式．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考察学生数与形相结合，难度不大，仔细观察规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考察学生的发散性思维．
17、按如下规律摆放五角星：
（1）填写表格：
图案序号 1 2 3 4 … n
五角星个数 4 7 　10　 　13　 … 　3n+1　
（2）直接写出第20个图案的五角星个数，个数为　61　；
（3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有2021个五角星？
（4）计算前20个五角星图案中五角星的总个数．
【分析】（1）把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式为3n+1；
（2）将n＝20代入3n+1解答即可；
（3）令3n+1＝2021，能求得整数解就是存在，否则不存在；
（4）将前20个五角星图案中，五角星的个数相加解答即可．
【解析】（1）观察图形规律：
第一个图形有4个五角星，
第二个图形比第一个图形多3个五角星，即有4+3＝7个五角星，
第三个图形比第二个图形多3个五角星，即有4+3+3＝10个五角星，
第四个图形比第三个图形多3个五角星，即有4+3+3+3＝13个五角星，
…………
以此类推，第n个图形中的五角星有4+3（n﹣1）＝（3n+1）个五角星，
故答案为：10，13，3n+1；
（2）将n＝20代入3n+1中，得3×20+1＝61（个），
故答案为：61；
（3）假设存在第n个图案，恰好含有2021个五角星．
依题意可得3n+1＝2021，
解得n＝673……1，
∵n为正整数才符合题意，
∴不存在恰好含有2021个五角星的图案．
（4）前20个五角星图案中，五角星的总个数为：
4+7+10+13+……+58+61
＝（4+61）+（7+58）+……+（31+34）
＝65+65+……+65
＝65×10
＝650（个），
∴前20个五角星图案中，五角星的总个数为650个．
18、如图，同一行的两个图形中小正方形的个数相等，但它们的排列方式不一样，根据不同的排列方式可以得到一列等式．
（1）第n个图形中对应的等量关系是[1+2+3+…+（n+1）]×2＝　（n+1）（n+2）　．
（2）根据（1）的结论，求2+4+6+…+50的值．
【分析】（1）根据提供的三个图形找到图形变化的规律，写出来即可；
（2）利用（1）中的规律求解即可．
【解析】（1）第1个图形中对应的等量关系是（1+2）×2＝2×3；
第2个图形中对应的等量关系是（1+2+3）×2＝3×4；
第3个图形中对应的等量关系是（1+2+3+4）×2＝4×5；

第n个图形中对应的等量关系是[1+2+3+…+（n+1）]×2＝（n+1）（n+2）；
故答案为：（n+1）（n+2）；
（2）2+4+6+ +50＝（1+2+3+ +25）×2＝25×26＝650．