第2章对称图形——圆 单元达标测试卷 2023--2024学年苏科版九年级数学上册（含解析）

苏科版九年级数学上册第2章对称图形——圆单元达标测试卷
一、单选题
1．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．若的半径为5，点到圆心的距离为，当点在圆上时，则有（　　）.
A． B． C． D．
3．一个圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，这个圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
4．若扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长是（　　）
A．π B．2π C．4π D．8π
5．已知⊙O的半径为5cm，若OP＝3cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定
6．给出下列命题：①反比例函数的图象经过一、三象限，且y随x的增大而减小；②对角线相等且有一个内角是直角的四边形是矩形；③我国古代三国时期的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）；④相等的弧所对的圆周角相等.其中正确的是（　　）
A．③④ B．①②③ C．②④ D．①②③④
7．如图，在平面直角坐标系中，点爿是双曲线y= 上的一点，以点爿为圆心，0A为半径画圆。交两坐标轴于点B，C．若OB=8，则OC的长为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．6
8．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=20°，则∠D等于（　　）
A．20° B．30° C．50° D．40°
9．如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知 ，则 （　　）
A．15° B． C． D．
10．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知 和 所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（　　）
A．45° B．40° C．25° D．20°
二、填空题
11．如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD的长度为　 　cm．
12．如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域图中阴影部分的面积为　 　结果保留
13．一个扇形的面积为，半径长为，则这个扇形的圆心角为　 　．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是 的中点，点E是 上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=　 　度．
三、解答题
15．如图，⊙O的弦AB和弦CD相交于点E，AB＝CD，求证：AD＝CB
16．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB，∠APB=60°，AB=5，求PA的长．
17．已知：如图， 、 为 的半径， 、 分别为 、 的中点.求证： .
18．如图1，⊙O的半径r=，弦AB、CD交于点E，C为弧AB的中点，过D点的直线交AB延长线于点F，且DF=EF．
（1）试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BE=AE，求CE的长．
四、综合题
19．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°.
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝6 cm，求图中劣弧BC的长．
20．如图，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，AF为⊙O的直径，四边形ABCD是平行四边形.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AF＝2，求阴影部分的面积.
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
22．如图：
（1）实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．
（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠BAC的平分线，交BC于点O．
②以O为圆心，OC为半径作圆．
（2）综合运用：在你所作的图中，直线AB与⊙O存在怎样的位置关系，请说明理由．
（3）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为　 　．
23．如图，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点C作CB⊥AC交AD的延长线于点B，点E为BC的中点，连接DE、DC．
（1）求证：ED=EC．
（2）求证：DE是⊙O的切线．
（3）若OA= DB，求tanB的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【分析】设圆的半径为R，圆心到直线的距离为d：当dR时，直线与圆相离。
∵3<4
∴直线l与⊙O的位置关系是相交.
故选A.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握直线与圆的位置关系，即可完成。
2．【答案】C
【解析】【解答】解： 若的半径为5，点P到圆心的距离为d，当点P在圆上时，则有d=5.
故答案为：C.
【分析】 如果用r表示圆的半径，d表示同一平面内一点到圆心的距离，则 d＞r 点在圆外， d=r 点在圆上 d＜r 点在圆内，据此可得答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：这个圆锥的侧面积＝π×3×5＝15πcm2，
故答案为：B.
【分析】圆锥侧面积公式S=πrl代入即可，其中r为圆锥的底面半径 ，l为母线长.
4．【答案】B
【解析】【分析】扇形的弧长=，把相应数值代入即可求解．
扇形的弧长=，
故选B．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点P到圆心的距离d＝3＜5＝r，
∴该点P在⊙O内．
故答案为：C.
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，由题知点P到圆心的距离小于半径，可得出点P在⊙O内．
6．【答案】A
【解析】【分析】分别根据反比例函数的性质、矩形的性质及勾股定理、圆心角、弧、弦的关系对每小题进行逐一解答．
【解答】①反比例函数y＝ 的图象的图象两个分支分别位于一、三象限，而不是经过一、三象限，故此小题错误；
②两条对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形，对角线相等且有一个内角是直角的四边形有可能是梯形，故此小题错误；
③符合勾股定理的历史，故此小题正确；
④符合圆心角、弧、弦的关系，故此小题正确．
所以③④正确．
故选A．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，连接CB
∵∠COB=90°
∴BC是直径，点C、B、A在同一条直线上，
∵OB=8
∴OD=OB=4
当x=4时，y=8÷4=2
∴点A（4，2）
设yAB=kx+b
由题意得：
解之：
∴yAB=x+4
当x=0时，则y=4
∴点C（0，4）
∴OC=4
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥OB于点D，连接CB，利用圆周角定理可证得BC是直径，点C、B、A在同一条直线上，再利用垂径定理求出OD的长，就可得到点A的横坐标，利用函数解析式求出点A的纵坐标，就可得到点A的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，就可求出直线AB与y轴的交点C的坐标，从而可求出OC的长。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=20°，
∴∠OCA=20°，
∴∠DOC=40°，
∴∠D=90°-40°=50°.
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠OCA=20°，结合外角的性质可得∠DOC=40°，然后根据余角的性质进行计算.
9．【答案】D
【解析】【解答】∵∠O=60°，
∴∠C=∠O=×60°=30°，
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.即可得出答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 和 所对的圆心角分别为90°和50°，
∴∠A=25°，∠ADB=45°，
∵∠P+∠A=∠ADB，
∴∠P=∠ADB﹣∠P=45°﹣25°=20°．
故选D．
【分析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数．
11．【答案】20
【解析】【解答】解：设AD=x，则AB=3x．
由题意300π= ，
解得x=10，
∴BD=2x=20cm．
故答案为20．
【分析】根据BD=2AD可设AD=x，则AB=3x，由扇形的面积=可求出x的值，则BD的长度可求。
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵，将绕圆心逆时针旋转至，
∴∠B'OC'=60°，△BOC≌△B'OC'，
∴∠B'OC=180°-60°-60°=60°，
∴∠C'B'O=90°-60°=30°，∠B'OB=∠BOC+∠B'OC=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC'=cm，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质求出∠B'OC'=60°，△BOC≌△B'OC'，再利用全等三角形的性质以及扇形面积公式等计算求解即可。
13．【答案】80°
【解析】【解答】解：扇形所在圆的面积为： ，
扇形的圆心角度数为： ，
故答案为：80°．
【分析】先求出整圆的面积，再求出扇形的面积占整圆面积的百分比，最后乘以360°即可得到答案。
14．【答案】100
【解析】【解答】解：如图，
连接AE，
∵点D是 的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形ADCE是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，
故答案为：100．
【分析】连接AE，先求得∠CED，再求得∠AEC，最后根据圆内接四边形对角互补求得∠ADC即可。
15．【答案】证明：∵AB=CD
∴
∴
∴ =
∴AD=BC.
【解析】【分析】由圆心角、弦、弧之间的关系定理可得和弧的构成可求解.
16．【答案】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB=PA=5
【解析】【分析】由切线长定理可得PA=PB，由∠APB=60°可得△PAB是等边三角形，从而得出答案．
17．【答案】证明：∵ ， 为 的半径， ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
.
在 与 中，
∵ ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】先利用边角边定理证明△AOD≌△BOC，则由全等三角形的性质即可得出∠A=∠B.
18．【答案】证明：（1）如图1，连接OC、OD；∵C为弧AB的中点，∴OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°；∴DF=EF，∴∠FDE=∠FED=∠AEC；∵OA=OC，∴∠OCE=∠ODC，∴∠ODC+∠CDF=90°，即OD⊥DF，∴DF与⊙O相切．（2）如图2，连接OA、OC；由（1）知OC⊥AB，∴AH=BH；∵AC∥DF，∴∠ACD=∠CDF；而EF=DF，∴∠DEF=∠CDF=∠ACD，∴AC=AE；设AE=5λ，则BE=3λ，∴AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；∴由勾股定理得：CH=3λ；CE2=CH2+HE2=9λ2+λ2，∴CE=λ；在直角△AOH中，由勾股定理得：AO2=AH2+OH2，即r2=（r﹣3λ）2+（4λ）2，解得：λ=r=x=2，∴CE=2．
【解析】【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠ODC+∠CDF=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明OH⊥AB，AH=4λ，此为解题的关键性结论；证明CE=λ；列出方程r2=（r﹣3λ）2+（4λ）2，求出λ=r=x=2，即可解决问题．
19．【答案】（1）解：如图，连结OB.
∵弦BC垂直于半径OA，
∴BE＝CE， = ，
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB＝60°；
（2）解：∵BC＝6，
∴CE＝ BC＝3.
∵在Rt△OCE中，∠AOC＝60°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝ OC.
∵OE2＋CE2＝OC2，
∴ ＋32＝OC2，
∴解得：OC＝ .
∵ = ，
∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴ 的长＝ (cm)．
【解析】【分析】（1）由在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，根据垂径定理可得 = ，则可求得∠AOC的度数；（2）首先连接OB，由弦BC=6cm，可求得半径的长，继而求得图中劣弧 的长．
20．【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴ ，
∵AF为⊙O的直径，
∴AF⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∠AD⊥AF，
∴AD是⊙O的切线
（2）解：连接OC，OB，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵AF＝2，
∴OB＝OC＝1，
∴BC＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝ ，
连接OE，
∵AB∥BD，
∴∠ACE＝∠BAC＝45°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，
∵OA＝OE＝1，
∴阴影部分的面积＝S梯形AOED﹣S扇形AOE＝ （1+ ）×1﹣ ＝
【解析】【分析】（1）由题意根据垂径定理得到AF⊥BC，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，求得AD⊥AF，于是得到AD是⊙O的切线；（2）根据题意连接OC，OB，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，根据勾股定理得到BC= ，求得AD=BC= ，连接OE，根据梯形和扇形的面积公式即可得到结论..
21．【答案】（1）解：∵AB=4，
∴OB=2
∵∠COB=60°，
∴S扇形OBC= =
（2）解：∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线
【解析】【分析】（1）根据扇形面积=可求解；
（2）要证 CD是⊙O的切线 ，由切线的判定只需证 CD⊥OC 即可。由已知条件易证 AD∥OC，而CD⊥AF， 所以 CD⊥OC ，则结论可得证。
22．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：AB与⊙O的位置关系是相切．
∵AO是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，∠ADO=90°，
∴DO=CO，
∴AB与⊙O相切；
（3）3
【解析】【解答】综合运用：（3）设半径为x，则，，，
在中，，
，
在中，，
解得：．
⊙O的半径为3．
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）证明∠ADO=90°，DO=CO，即可得到AB与⊙O相切；
（3）设半径为x，则，，，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
23．【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴△BDC为直角三角形，
∵E为BC边上的中点，
∴ED=EC
（2）证明：∵DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD，
即∠ODE=∠OCE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线
（3）解：在Rt△ABC中，CD⊥AB，
∴AC2=AD×AB，
∵OA= DB，
∴AC=2 DB，
∴20DB2=AD（AD+DB），
整理得，AD2+DB DB-20DB2=0，
∴（AD+5DB）（AD-4DB）=0，
∴AD=4DB，AD=-5DB（舍去），
∵DC2=AC2-AD2
∴DC=2DB，
∴tanB=
【解析】【分析】（1）连接OD，如图，利用圆周角定理可判定△BDC为直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线性质得ED=EB； （2）根据等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠OCD=∠ODC，于是可得到∠ODE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定方法可判断DE是⊙O的切线； （3）利用射影定理表示出AD，利用勾股定理表示出DC，即可求得tanB的值．