2024年广东省普通高中合格性考试数学模拟冲刺卷（三）（Word含解析）

2024年广东省普通高中合格性考试数学模拟冲刺卷（三）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， 则 （ ）
A． B．
C． D．
2．如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次不等式的解集是（ ）
A． B． C．{x<-1或x>2} D．
4．某校高中生共有人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人，现采取分层抽样法抽取容量为的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　）
A．6，12，9 B．9，9，9
C．3，9，15 D．9，12，6
5．（ ）
A． B．3 C． D．
6．下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
7．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）．
A．只有2次出现反面 B．至少2次出现正面
C．有2次或3次出现正面 D．有2次或3次出现反面
8．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．平面向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
11．已知函数的图象为，为得到函数的图象，只需把上的所有点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标向左平移个单位
B．纵坐标不变，横坐标向右平移个单位
C．纵坐标不变，横坐标向左平移个单位
D．纵坐标不变，横坐标向右平移个单位
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，互为相反向量，则
C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，
二、填空题
13．已知，，则是第 象限角．
14．若，则的最小值为 .
15．函数的最小正周期是，则 ．
16．已知，则 .
17．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 .
18．为了解某中职学校男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到），并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，其中身高超过的男生的人数为 .

三、解答题
19．如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3
（1）求△CBD的面积；
（2）求边AC的长.
20．某沙漠地区每年有2个月属于雨季，10个月属于旱季.经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量（单位：）依次达到12.1，12.0，10.4，10.5，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1.记这组数据的第40百分位数与平均数分别为.
(1)求；
(2)已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲 乙两种植物，当月降水量低于时甲种植物需要浇水，当月降水量低于时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲 乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率.
21．某城市出租车，乘客上车后，行驶3km内（包括3km）收费都是10元，之后每行驶收费2元，超过15km，每行驶1km收费为3元．
（1）写出付费总数与行驶路程收费之间的函数关系式；
（2）乘客甲需要乘坐出租车与在15km处等候的乘客乙共同到达20km处的目的地，当出租车行驶了15km后，乘客甲和乙有两种选择：两人一起换乘一辆出租车或者继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km路程，请给出你对甲和乙的选择建议，并说明理由．
22．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2024年广东省普通高中合格性考试数学模拟冲刺卷（三）
答案解析
一、单选题
1．设集合 ， 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
2．如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用概率公式计算即可得.
【详解】共有8个数，其中偶数的个数为4个，故.
故选：A.
3．一元二次不等式的解集是（ ）
A． B． C．{x<-1或x>2} D．
【答案】D
【分析】运用一元二次不等式的解题规则进行求解.
【详解】解：即为，
所以不等式的解集为.
故选：D.
4．某校高中生共有人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人，现采取分层抽样法抽取容量为的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　）
A．6，12，9 B．9，9，9
C．3，9，15 D．9，12，6
【答案】D
【分析】按照分层抽样计算规则计算可得.
【详解】依题意高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.
故选：D
5．（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算可求得答案.
【详解】原式
.
故选：C.
6．下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性和奇偶性逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以函数为偶函数，故A不符题意；
对于B，函数为非奇非偶函数，故B不符题意；
对于C，函数为非奇非偶函数，故C不符题意；
对于D，，所以函数为奇函数，
又函数在区间上又是增函数，故D符合题意.
故选：D.
7．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）．
A．只有2次出现反面 B．至少2次出现正面
C．有2次或3次出现正面 D．有2次或3次出现反面
【答案】D
【分析】根据对立事件定义判断．
【详解】连续抛掷一枚硬币3次，正面出现的次数有，因此事件“至少2次出现正面”的对立事件是“正面出现0次或1次”即“有2次或3次出现反面”，
故选：D．
8．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，由此可求出外接球的半径，再根据球的体积公式，即可求出结果.
【详解】若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径），
所以，则球的体积．
故选：B．
9．已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】A选项可根据指数函数性质判断，BCD选项可以举反例得出.
【详解】A选项，根据指数函数单调递增可知，，A选项正确；
BCD选项，取，B选项变成，C选项变成，D选项变成，BCD均错误.
故选：A
10．平面向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用向量平行求出，再利用模长公式求解答案.
【详解】因为，所以，解得，所以，所以．
故选：C．
11．已知函数的图象为，为得到函数的图象，只需把上的所有点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标向左平移个单位
B．纵坐标不变，横坐标向右平移个单位
C．纵坐标不变，横坐标向左平移个单位
D．纵坐标不变，横坐标向右平移个单位
【答案】A
【分析】利用三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为，
为得到函数的图象，只需把上的所有点纵坐标不变，横坐标向左平移个单位，
故选：A.
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，互为相反向量，则
C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，
【答案】D
【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D.
【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误；
对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误；
对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误；
对于D，四边形ABCD中，，故D正确.
故选：D
二、填空题
13．已知，，则是第 象限角．
【答案】四
【分析】由三角函数的正负，判断角所在的象限；
【详解】，角在第三，四象限和y轴非正半轴;
，角在第一，第四象限和x轴非负半轴;
综上可知，满足，且，则是第四象限.
故答案为：四
14．若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式求最值.
【详解】由已知，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：.
15．函数的最小正周期是，则 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，
所以可得，解得，
故答案为：.
16．已知，则 .
【答案】/
【分析】利用分段函数的解析式，结合指数与对数的运算即可得解.
【详解】因为，
所以，所以.
故答案为：.
17．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 .
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算求解即可.
【详解】已知向量，的夹角的余弦值为，且，，
则，
.
故答案为：.
18．为了解某中职学校男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到），并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，其中身高超过的男生的人数为 .

【答案】64
【分析】根据频率分布直方图得到身高超过的频率，再乘以样本容量100可得答案.
【详解】由频率分布直方图可知，组距为4，由于结果精确到1cm，故后三组身高超过，
身高超过的频率为，
故身高超过的学生人数为.
故答案为：64
三、解答题
19．如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3
（1）求△CBD的面积；
（2）求边AC的长.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解；
（2）由正弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
则，
；
（2）在中，由正弦定理得，
即，解得.
20．某沙漠地区每年有2个月属于雨季，10个月属于旱季.经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量（单位：）依次达到12.1，12.0，10.4，10.5，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1.记这组数据的第40百分位数与平均数分别为.
(1)求；
(2)已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲 乙两种植物，当月降水量低于时甲种植物需要浇水，当月降水量低于时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲 乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率.
【答案】(1)，；
(2)甲 乙两种植物都需要浇水的概率为，二者中有植物需要浇水的概率为.
【分析】（1）由百分位数、平均数求法求；
（2）根据数据的频率估计所求概率即可.
【详解】（1）由数据从小到大为，
又，则第40百分位数为，
平均数.
（2）由数据及题设知：12个月中降水量低于有2个月，降水量低于有8个月，
所以甲 乙两种植物都需要浇水的概率为，二者中有植物需要浇水的概率为.
21．某城市出租车，乘客上车后，行驶3km内（包括3km）收费都是10元，之后每行驶收费2元，超过15km，每行驶1km收费为3元．
（1）写出付费总数与行驶路程收费之间的函数关系式；
（2）乘客甲需要乘坐出租车与在15km处等候的乘客乙共同到达20km处的目的地，当出租车行驶了15km后，乘客甲和乙有两种选择：两人一起换乘一辆出租车或者继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km路程，请给出你对甲和乙的选择建议，并说明理由．
【答案】（1）；（2）两人一起换乘一辆出租车更划算．理由见解析.
【分析】（1）由题可知，分三段、和，写出与的函数关系即可；
（2）根据（1）中的函数关系，分别求出两人一起换乘一辆出租车和两人继续乘坐这辆出租车的付费总数，比较大小后，选择较小者即可．
【详解】解：（1）当时，；
当时，；
当时，
综上所述，
（2）若两人一起换乘一辆出租车，则元，
若两人继续乘这辆出租车，则，
故两人一起换乘一辆出租车更划算．
【点睛】此题考查函数的实际应用，考查逻辑推理能力和计算能力，属于基础题
22．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可.
【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面,
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．