江苏省扬州市重点大学附属中学2023-2024学年高一上学期第二阶段练习(12月月考)数学试卷(含解析)

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名称 江苏省扬州市重点大学附属中学2023-2024学年高一上学期第二阶段练习(12月月考)数学试卷(含解析)
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文件大小 1.8MB
资源类型 教案
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科目 数学
更新时间 2024-01-01 18:35:06

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文档简介

扬州市重点大学附中2023级高一数学第二阶段练习
一、单选题(本大题共8小题,共40分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 的值是( )
A. B. C. D.
2. 已知“,”为真命题,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
3. 函数在上的最小值为( )
A. -1 B. C. D.
4. ,,,则( )
A. B. C. D.
5. 在东方设计中,存在着一个名为“白银比例”的理念,这个比例为,它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”,传达出一种独特的东方审美观. 折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成(如图). 设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为,折扇纸面面积为,当时,扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时,原扇形半径与剪下小扇形半径之比为( )
A. B. C. D.
6. 已知是定义在上的奇函数,对任意的正数,有不等式成立,,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7. 函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
8. 若函数在区间内仅有1个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20分.在每小题有多项符合题目要求)
9. 下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10. 若,则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值是
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11. 已知函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数在单调递减
C.函数的图象关于直线对称
D.该图象向右平移个单位可得的图象
12. 已知是定义域为的奇函数,且满足:,当时,,则下列结论正确的是( )
A. 为周期函数
B.
C. 不等式的解集为
D. 关于的方程恰有三个不同的解,则
三、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.已知是第三象限角,则是第___________象限角.
14. 函数的单调递增区间为______.
15. 已知,则________.
16. 已知函数,若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围是________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本题满分10分)设集合.
(1)若,;
(2)若,.
18. (本题满分12分)已知.
(1)若角的终边过点,求;
(2)若,分别求和值.
19. (本题满分12分)已知函数,其图象中相邻的两个对称中心的距离为,且函数的图象关于直线对称.
(1)求出的解析式;
(2)将的图象向左平移个单位长度,得到曲线,若方程在上有两根,,求的值及的取值范围.
20. (本题满分12分)已知.
(1)若,求在上的值域;
(2)若,求的最大值.
21. (本题满分12分)如图所示,摩天轮的半径为,最高点距离地面高度为,摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱,并且运行时按逆时针匀速旋转,转一周大约需要.甲,乙两游客分别坐在,两个座舱里,且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).
(1)求劣弧的弧长(单位:);
(2)设游客丙从最低点处进舱,开始转动后距离地面的高度为,求在转动一周的过程中,关于时间的函数解析式;
(3)若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲,乙两位游客都有最佳视觉效果.
22. (本题满分12分)已知函数.
(1)判断的奇偶性,并证明在上单调递增;
(2)设函数,求使函数有唯一零点的实数的值;
(3)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
2023级高一数学第二阶段练习参考答案
一.单选题
1. 【答案】D
【解析】
.
故选:D
2. 【答案】A
【解析】
【详解】因为命题“,”为真命题,
所以命题“,”为真命题,
所以时,,
因为,
所以当时,,
所以.
故选:A
3. 【答案】B
【解析】
【详解】当时,,
则当时,,
故选:B.
4. 【答案】B
【解析】
【详解】因为,


即,,,
所以,
故选:B
5.【答案】B
【解析】
【详解】由题意,如图所示,设原扇形半径为x,剪下小扇形半径为y,,
则小扇形纸面面积,折扇纸面面积,
由于 ,
所以,
即得,
解得,即原扇形半径与剪下小扇形半径之比为,
故选:B.
6. 【答案】D
【解析】
【详解】由函数的奇偶性得,由可知在上的单调递增,可得在上的单调递增,根据单调性及可把化为或,解得:或,
即不等式的解集是.
故选:D
【点睛】关键点点睛:本题的关键是判断函数在和上的单调递增,再根据函数是奇函数判断,再解不等式.
7. 【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊区间进行判断函数在该区间上的正负,利用排除法可得答案
【详解】解: 当时,,,所以,
当时,,
当时, ,,所以,所以排除A,C,
当时,,,所以,所以排除D
故选:B
8. 【答案】C
二、多选题
9. 【答案】BD
【解析】
【详解】因为,且函数在上单调递增,则,故选项A错误;
因为,且函数在上单调递减,则,
即,故选项B正确;
因为,且函数在上单调递减,则,故选项C错误;
因为,且函数在上单调递减,则,故选项D正确.
故选:BD
10. 【答案】ACD
【解析】
【详解】对于A,因为,所以,
当且仅当时,取等号,所以的最大值为,故正确;
对于B,因为,所以
所以,(当且仅当即时取等号,故等号不取)
,(当且仅当即时取等号,故等号不取),
所以,故错误;
对于C,因为,所以,
所以,
当且仅当即时,取等号,故正确;
对于D,,
当且仅当即时,取等号,故正确
故选:ACD
11.【答案】CD
【解析】由图象可知:A=2,周期;
由,解得:,
故函数.
对于A:,故A错误;
对于B:当 时,因为上正弦函数先减后增,不单调,所以在上不单调,故B错误;
对于C:当 时,即直线是的一条对称轴,故C正确;
对于D:向右平移个单位得到,故D正确.
故选:CD.
12. 【答案】AC
【解析】
【详解】对于A,由已知可得,故函数为周期函数,A对;
对于B,由A知, B错;
对于C,由奇函数的性质可得,则,,
当时,,
当时,,则,
当时,,则,
当时,,则.
故当时,不等式的解为,
又因为函数的周期为,故不等式的解集是,C对;
对于D,作出函数与函数的部分图象如下图所示:
由图可知,当时,直线与函数的图象也有三个交点,D错.
故选:AC
填空题
13.已知是第三象限角,则是第___________象限角.
【答案】第二或第四象限角
【详解】因为是第三象限角,所以,所以,。若为偶数,是第二象限角;若为奇数,是第四象限角
14. 函数的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出内层函数和外层函数的单调增区间即可.
【详解】解:令,则在上单调递增,在上单调递增,根据复合函数函数同增异减的规律,得函数的单调递增区间为.
故答案为
15. 已知,则________.
【答案】
【解析】
【分析】本题可根据诱导公式得出结果.
【详解】,
故答案为:
16. 已知函数,若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知写出函数g(x)的解析式,分段求出方程g(x)=0的实根,由实根都在相应的区间内求得m的范围.
【详解】∵f(x)=,
∴g(x)=f(x)﹣2x=,
由4﹣2x=0,得x=2;
由x2+2x﹣3=0,得x=﹣3,x=1.
又函数g(x)恰有三个不同的零点,
∴方程g(x)=0的实根2,﹣3和1都在相应范围上,
即1<m≤2.
∴实数m的取值范围是(1,2].
故答案为
四.解答题
17. 【答案】(1)
(2)
【解析】
【小问1详解】
,所以,所以.
,解得,所以.
若,则,所以.
【小问2详解】
或,
若,则,
所以.
18. 【答案】(1)
(2),
【小问1详解】

若角的终边过点,则,
所以.
【小问2详解】
若,
所以;
.
19. 【答案】(1)
(2),
【解析】
【分析】(1)根据条件相邻的两个对称中心的距离为得到周期从而求出,再根据对称轴是及求出,从而得到的解析式;
(2)根据平移变换得到,再通过整体代换,利用正弦函数的图像和性质得到有最小值及对应的自变量的值,即可求的值及的取值范围.
【小问1详解】
解:因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为,
所以,即周期,所以,
所以,
又因为函数的图象关于直线轴对称,
所以,,即,,
因为,所以,
所以函数的解析式为;
【小问2详解】
解:将的图象向左平移个单位长度,得到曲线,
所以,
当时,,,
当时,有最小值且关于对称,
因为方程在上有两根,,
所以,
,即的取值范围.
20.
21. 【答案】(1);(2),其中;(3).
【解析】
【详解】(1)因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱,
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为,
故.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,设,
由题意知,,所以,
又由,所以,
当时,可得,所以,
故关于时间的函数解析式为,其中.
(3)令,即,
令,解得,
因为甲乙两人相差,
又由,所以有甲乙都有最佳视觉效果.
【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略:
1、已知函数模型求解数学问题;
2、把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题;
3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象,然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质,进而加深理解函数的性质.
22. 【答案】(1)为偶函数;证明见解析;(2)-1,1,0;(3).
【解析】
【分析】
(1)直接由函数奇偶性的定义判断的关系,可判断奇偶性,任取,作差化简判断符号,得出单调性结论;
(2)有唯一零点,即有唯一的解,可化为,由偶函数可知,化简计算可得结果;
(3)设,不等式等价为恒成立,构造函数,只需,求解即可得出结果.
【详解】解:由题意可知的定义域为,,则,

所以,
所以为偶函数;
任取,
则,
因为
当时,
所以
所以,
所以在上单调递增﹒
函数的零点就是方程的解,
因为有唯一零点,
所以方程有唯一的解,
因为函数为偶函数,
所以方程变形为,
因为函数在上的单调递增,
所以,
平方得,,
当时,,
经检验方程有唯一解,
当时,
解得,
综上可知,的值为.
设,则,
所以原命题等价于时,不等式恒成立,
令,
即,
则或
或,
综上可知.
【点睛】结论点睛:利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
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