课题：空间中直线与直线之间的位置关系
教学目的：
1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.
2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.
3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；
4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角
教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.
教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.
教学过程：
一、复习引入：
1、同一平面内两条直线有几种位置关系？
2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？
提出问题：空间中的两条直线呢？
二、讲解新课：
1. 空间中两条直线的位置关系
观察思考：观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗 平行吗 共面吗
再拿一个长方体,提出类似的问题让学生回答。
思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？
我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线（skew lines）。
引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
想一想:怎样通过图形来表示异面直线
为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
想一想,做一做：
右图是一个正方体的展开图,如果将它还原为
正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在
直线是异面直线的有( )对。
2. 空间两平行直线
提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条
直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？
结论：
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
推理模式：．
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
现学现用：
例1、如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是
AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接BD，∵EH为中位线，∴EH∥BD，EH＝BD，
同理：FG∥BD，FG＝BD，所以，EH∥FG，且EH＝FG，
所以，四边形EFGH是平行四边形。
变式:在上例中,如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形
3. 等角定理
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢
观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的
两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
想一想:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)会怎样
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
4. 异面直线所成的角
教师讲授:如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a' 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。
想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗
5. 异面直线的判定定理
异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，
和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式：与是异面直线
三、例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？
解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，
（2）由，可知等于异面直线与的夹角，所以异面直线与的夹角为．
（3）直线与直线都垂直
练一练,巩固新知：P48页练习1,2题。
例3: 如图，是平面外的一点分别是的重心，
求证：．
证明：连结分别交于，连结，
∵分别是的重心，
∴分别是的中点，
∴，又∵，
∴，由公理4知．
例3 如图，已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点
求证：和是异面直线
证（法一）：假设和不是异面直线，
则与在同一平面内，设为，
∵，∴，又，∴，
∵，∴，
同理，∴共面于，与已知不共面相矛盾，
所以，和是异面直线
（法二）：∵，∴直线确定一平面设为，
∵，∴，∴且，
又不共面，，∴，所以，与为异面直线
四、练习反馈：
1 判断
（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）
答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√
2．选择题
（1）“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；② a 平面，b 平面且a∩b=Φ
③ a 平面，b 平面 ④ 不存在平面，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是 （ ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）
（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
答案：（1）C（2）C（3）D（4）D
3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
答：不一定，还可能异面．
4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
解：
6．选择题
（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （ ）
（A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能
（2）异面直线a,b满足a ,b ,∩=，则与a,b的位置关系一定是（ ）
（A）至多与a，b中的一条相交（B）至少与a，b中的一条相交
（C）与a，b都相交 （D）至少与a，b中的一条平行
（3）两异面直线所成的角的范围是 （）
（A）（0°,90°）（B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°]
答案（1）D（2）B（3）：C
7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ）
（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）
（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）
答案：×，√，×
五、课堂小结：
这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；
证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”
六、作业布置:
P51 A组3、4（1）（2）（3）、5、6.
共面直线
PAGE课题：平面
教学目标：1、掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
2、会用符号表示出点与直线,点与平面,直线和平面以及平面与平面相交的位置关系；
3、掌握平面的基本性质(三个公理)及作用；
4、培养学生的空间想象能力。
教学重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质的三条公理及其作用，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
教学难点：（1）对平面基本性质的三条公理的理解．
（2）确定两相交平面的交线．
教学过程：
（一）实物引入、揭示课题
教师拿出大家熟悉的长方体让同学们观察并思考以下问题：
1、长方体由哪些基本元素构成 答：点、线、面
2、观察长方体的面,说说它的特点？答：是平的
指出：长方体的面给我们以平面的印象；生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象。
问：你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。
继续问：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）探究新知
1、平面含义
指出：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的。平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象；一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
2、平面的画法及表示
①平面的画法：和学生一起,老师边说边画,学生跟着画。
在立体几何中，常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成450，且横边长画成邻边长的两倍；画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。
②、平面的表示方法
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3、点与平面的关系及其表示方法
观察右图,指出：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B α
想一想：点和平面的位置关系有几种？
4、平面的基本性质
思考：如果直线与平面有一个公共点P,直线是否在平面内 如果直线与平面有两个公共点呢 要让学生充分发表自己的见解。
观察理解：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上。
得出结论
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
补充3个推论：
推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
4、教材P43 例1
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
解：左边的图中，
α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。
右边的图中，
α∩β＝l，aα，bβ，
a∩l=P，b∩l=P。
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
5、课堂练习：课本P44 练习1、2、3、4
6、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？
7、作业布置
P52 习题2.1A组1、2题
α
β
α
β
D
C
B
A
α
·B
·B
·A
α
L
A
·
α
C
·
B
·
A
·
α
P
·
α
L
β
α
β
A
B
a
l
P
α
β
l
a
b
PAGE课题：空间中直线与平面之间的位置关系
教学目标：
1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。
2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.
教学重点：直线与平面的三种位置关系及其作用．
教学难点：直线与平面的三种位置关系及其作用
一、复习引入：
1、空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行.推理模式：．
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
5.空间两条异面直线的画法
异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，
和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式：AB与l是异面直线
异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间
任一点O作直线，a',b'所成的角的大小与点O的选择无关，把a',b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上
8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作．
二、研探新知
1、一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，
可能有几种位置关系？
如图，线段A’B所在直线与长方体的六个面
所在平面有几种位置关系？
结论:直线与平面的位置关系有且只有三种：
（1）直线在平面内――有无数个公共点；（如直线A'B在平面ABB'A’内）
（2）直线与平面相交――有且只有一个公共点；（如直线A'B与平面BCC'B’只有一个公共点）
（3）直线与平面平行――没有公共点。（如直线A'B在平面DCC'D’平行）
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示。
直线与平面的三种位置关系用图表示为:
a α a∩α=A a∥α
一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线
a在平面α外，应把直线a 或它的一部分画在表示平面α的平行四边形外。
直线a与平面α相交于点A，记作a∩α=A
直线a与平面α平行，记作a∥α。
三、例题示范:
例1(见P49)下列命题中正确的个数是（ ）
⑴若直线L上有无数个点不在平面内，则L∥
(2)若直线L与平面平行，则L与平面 内的任意一条直线都平行
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
（4）若直线L与平面平行，则L与平面内任意一条直线都没有公共点
（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3
分析：可以借助长方体模型来看上述问题是否正确。
问题（1）不正确，相交时也符合。
问题（2）不正确，如右图中，A'B与平面DCC'D’平行，但它与CD不平行。
问题（3）不正确。另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC'D’平行，但直线CD平面DCC'D’
问题（4）正确，所以选（B）。
例2 已知直线a在平面α外，则 （ ）
（A）a∥α （B）直线a与平面α至少有一个公共点
（C） （D）直线a与平面α至多有一个公共点
答案：D
四、巩固练习
1．选择题
（1）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b
③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（2）已知a∥，b∥，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
（3）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB
（4）已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l （ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
教材P49 练习 学生独立完成后教师检查、指导
五、归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
六、作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P51 习题2.1 A组第4题（4）（5）（6） B组第1题。
课后记
PAGE课题：平面与平面之间的位置关系
教学目的：
1.掌握平面与平面的两种位置关系，
2. 学会用图形语言、符号语言表示两平面的平行和相交.
3能够用定义判断较简单的平行和相交
教学重点：平面与平面的平行和相交．
教学难点：平面与平面的平行和相交.
复习提问:
1、空间中两条直线有几种位置关系？分别是什么？
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2、直线与平面在几种位置关系？分别是什么？
（1）直线在平面内——有无数个公共点：
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点；
（3）直线与平面平行——没有公共点；
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
研探新知:
提出问题:空间中平面与平面的位置关系又是怎样的呢
观察思考:
（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，看看它们之间的位置
关系有几种？
（2）如图，围成长方体ABCD－A'B'C'D’的六个面，两两之间的位置关系有几种？
结论:在问题（1）中，通过观察可以发现，两本书
可以平行，也可以是相交，注意平面是无限延展的。
在问题（2）中上下面，左右面，前后面是平行的，
相邻的两个面是相交的，所以位置关系有平行与相交两种。
两个平面之间的关系有且只有两种：
（1）两个平面平行――没有公共点；
（2）两个平面相交――有一条公共直线。
想一想:两个平面平行应怎样画 相交又怎样画
画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的
两个平行四边形的对应边应平行。
想一想:两个平面平行应怎样表示 相交又怎样表示
平面α与β平行，记作：α∥β;平面α与β相交于直线b，记作：α∩β＝b .
探究:
1.已知平面α,β，直线a,b，且α∥β，aα， bβ，则直线a与直线b具有什么样的位置关系？
答:没有交点，有可能平行，有可能是异面直线。
2.直线与直线，直线与平面，平面与平面之间没有公共点就平行，平行就没有公共点，这句话对吗？为什么？
3.直线与直线，直线与平面，平面与平面之间有两个公共点时，它们的位置关系如何？
4.如果平面与平面有三个公共点时位置关系如何？
练习巩固：
1.如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。
答:有可能1条，也有可能3条交线。
2.平面α//平面β,且aα，下列四个命题：
A、a与β内的所有直线平行 B、a与β内的无数条直线平行 C、a与β内的任一直线都不垂直 D、a与β无公共点 其中假命题为（ ）
3.三个平面把空间分成几部分 画图形表示。
归纳整理、整体认识:
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
作业：P52－53 A组7、8.
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