初中数学北师大版九年级上册第二章《用公式法解一元二次方程》教学设计

用公式法解一元二次方程
一、课标解读
在初中数学课程标准，第四学段方程与不等式对一元二次方程部分是这样描述的：
能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
会用一元二次方程跟的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系。
二、单元整体规划
本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容．方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元一次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”．
本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题．
【本章重点】
一元二次方程的解法及应用．
【本章难点】
一元二次方程根与系数的关系的应用以及利用一元二次方程解决实际问题．
【本章思想方法】
1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方的解时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程．
2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型．
【本章课时安排】
1　一元二次方程 2课时
2　用配方法求解一元二次方程 2课时
3　用公式法求解一元二次方程 1课时
4　用因式分解法求解一元二次方程 1课时
*5　一元二次方程根与系数的关系 1课时
6　应用一元二次方程 2课时
三、单元总目标
1、积累从现实问题中抽象出数量之间的相等关系并加以表示的经验。
2、领悟用一元二次方程刻画数量关系的意义和作用。
3、能够用多种方法求解一元二次方程，体会转化思想。
4、会用一元二次方程解决实际问题，进一步体会模型思想。
四、教材分析
1、教材的地位和作用
《一元二次方程》是北师版《义务教育新课程标准实验教科书，数学·九年级（上册）》第二章第1节的内容，共两课时。本节是第一课时，是一元二次方程的导入课，主要内容是介绍一元二次方程的概念和一般形式，它为进一步学习一元二次方程解法及应用起到了铺垫作用。
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习二次函数等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科也有十分重要的作用.
五、学情分析
1、现阶段学生的身心特点:
九年级学生，具有较高的心智,对“挑战性”的任务较感兴趣.
2、学生目前的知识、能力储备:
学生在八上《实数》一章中，学习了被开方数的非负性，并掌握了开平方运算，为本节课的学习奠定了基础.多数学生已经具备了一定的探究能力、推理和说理能力.同时，也有小组合作的经历和体验.
3、学生目前存在的问题:
学生还不能够熟练运用从特殊到一般的数学思想方法，在自主探究能力上存在差异.
六、评价设计
本节教学过程中，始终通过师生互动，鼓励学生积极思考，努力探索，合作交流，关注学生能否发现问题，提出问题，能否敢于发表自己的见解，吸取正确的见解；关注学生学习过程中表现的学习习惯、个性品质、情感态度等.
通过不同的问题，评价各层学生的学习效果，增强学习信心.留给学生思考、探究的时间和空间.对学生回答是否正确、全面与否都给予了及时的肯定和鼓励，时刻注意激发学习内驱力，确保学生学得更多、更快、更好！
七、课堂结构设计
1、根据课标要求以及本节课的地位、作用及其内容，结合学生实际和学生认知发展水平，确定如下教学目标：
①能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.
③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
2、教学重点、难点：
重点：正确的使用求根公式解一元二次方程
难点：能够正确的推导出一元二次方程的求根公式，能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况。
3、教学过程设计
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一创设情境激发兴趣 问题导入：说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤？预设：①把方程化为一般形式，且二次项系数为１;②把常数项移到方程的右边;③两边都加上一次项系数一半的平方；④写成（ｘ＋ａ)2＝ｍ的形式;⑤若ｍ≥０，两边开平方，从而得出方程的两个根．师：用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？引出课题：用公式法求解一元二次方程。追问：你会用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 学生举手回答，集体补充。 复习用配方法解一元二次方程的步骤，为本节课学习做准备。
环节二引导探究多维互动 活动1：自主推导求根公式。预设：两边都除以一次项系数a 得： 移项：配方： 师问：现在可以两边开平方吗？生答：不可以，因为不能保证 师问：什么情况下可以直接开平方？学生讨论后回答： ∵ a≠0∴ 4a2>0要使， 只要 b2-4ac≥0即可∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得： 即 师问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？生答：方程无解如果b2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式。这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解 。 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）当b2 - 4ac ≥ 0 时 时，它的根是：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.叫做求根公式。 b2－4ac又称为根的判别式。当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac 0时，方程没有实数根。 利用配方法尝试独立解方程，交流讨论与教师一起归纳总结. 鼓励学生独立完成公式的推导过程，一方面可以巩固配方法，另一方面让学生先判断配方后开方需要满足的条件，再通过老师引导，讨论交流，有助于学生认识和理解求根公式。明确求根公式，公式法的概念以及根的判别式。
环节三应用新知当堂训练 例1解方程 （1）2x2+5x-3=0 2）解 ：例1（1）教师详细讲解. （2）学生试做以后讲解。学生总结方程的一般步骤：把方程化为一般形式，写出方程的各项系数与常数项a、b、c;求出b2－4ac,看b2－4ac的值是否大于或等于０;代入公式求方程的根．1、判断下列方程是否有解：（学生口答）(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0(4)16x2+8x=3 (5) 2x2-9x+8=0 明确例题的做法 让学生在探究过程中进一步理解用公式法解一元二次方程的基本思路及步骤，培养学生的应用意识.
环节四巩固新知当堂检测 1、用公式法解下列方程：(1) 2x2 - 9x + 8 = 0；(2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ；(3) 16x2 + 8x = 3；(4) x(x-3) + 5 = 0 .2、选做：m取什么值时，x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？ 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五课堂小结 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？2、如何判断一元二次方程根的情况？3、用公式法解方程应注意的问题是什么？4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？ 让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六布置作业 A组：习题2.5 1、2题B组：习题2.5 3、4题 学生自主完成 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.
板书设计 用公式法求解一元二次方程一、公式推导 二、例题讲解
教学反思 本节课是在学生掌握了用配方法界一元二次方程的前提下进行的。针对本班的实际情况和教材内容的特点，在本课教学过程中我采用自然过渡的方法。先让学生回忆配方法解一元二次方程的过程，然后根据这个过程解方程ax2+bx+c=0(a≠0)得出本节课的新知识，一元二次方程的求根公式。配方法得到 后，适时提问：什么时候可以直接开平方？什么时候不可以直接开平方？引导学生讨论b2-4ac的正负性。当b2－4ac≥0时，可以开方，得出求根公式 。最后，通过两个例题得到当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac 0时，方程没有实数根。 本节课的成功之处：这个公式是学生通过小组活动自己得出来的，所以印象比深刻，同时，通过问题培养了学生的分类讨论能力，对一元二次方程根的判别式也有较深的印象。 本节课不足之处：1、对于字母系数的方程，因为比较抽象，学生用配方法解需要的时间过多。2、a,b,c符号出错，找系数时总是丢掉前面的“-”号。回想本节课的教学，虽然存在一些问题，但整节课的实施还算顺利，学生对本节课的知识掌握程度还不错，基本上能达到教学目的。