初中数学人教版七年级下册第五章课件(共30张PPT) 相交线与平行线5.1.2垂线

(共30张PPT)
5.1 相交线
第五章 相交线与平行线
5.1.2 垂线
知识点
垂线
1
1. 定义：
当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 .




特别解读
垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角.
▲▲▲▲
2. 推理格式：
如图5.1-10，直线AB，CD 相交于点O.
因为∠ AOC=90°(已知)，
所以AB ⊥ CD(垂直的定义).
反过来：因为AB ⊥ CD(已知)，
所以∠ AOC=90°(垂直的定义).
知识点1　垂直的定义
1.如图，若CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF，请说明理由
(补全解题过程).
解：因为CD⊥EF，
所以∠1＝ °(垂直的定义).
所以∠2＝∠1＝ °.
所以AB EF(垂直的定义).
90　
90　
⊥　
2.已知在同一平面内：①两条直线相交成直角；②两条直线
互相垂直；③一条直线是另一条直线的垂线.那么下列因果
关系：①→②③；②→①③；③→①②中，正确的有
(　D　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
D
3. 如图，平面镜MN放置在水平
地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面
MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则
∠OBD的度数为(　C　)
A.35° B.45°
C.55° D.65°
(第3题)
C
4.如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，
则∠BOC的大小为(　C　)
A.36° B. 44°
C. 54° D.63°
(第4题)
C
【点拨】
因为∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，
所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝36°.
因为∠BOD＝90°，
所以∠BOC＝∠BOD－∠COD＝90°－36°＝54°.
知识点
垂线的画法及性质
2
1. 垂线的画法：
经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，
步骤如下：
步骤 内容 示图
一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P 作直线l 的垂线：
二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 2. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.



特别提醒
性质中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外.
知识点2　垂线的画法
5.下列选项中，利用三角尺过点P画直线
AB的垂线CD，画法正确的是(　C　)
C
6.过线段外一点画这条线段的垂线，垂足在(　D　)
A.这条线段上(不含端点)
B.这条线段的端点上
C.这条线段的延长线上
D.以上都有可能
D
知识点3　垂线的基本事实
7.[中考·河北]如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作
(　D　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.无数条
D
8.[母题：教材P9习题T12]已知直线AB，CB，l在同一平面
内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意
的图形可以是(　C　)
C
易错点　考虑问题不全，忽视特殊情况而致错
9.在同一平面内，若A，C是直线l上两点，B，D是直线l外两
点，则过点A能画 条直线与l垂直；过点B能画
条直线与l垂直；过C，D两点 (填“能”“不
能”或“不一定能”)画一条直线与l垂直.
1　
1　
不一定能　
【点拨】
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
直.这里的“过一点”无论是指过直线上一点还是直线外一
点，结论都成立，所以前两空均填1；第三空填“不一定
能”，因为两点确定一条直线，要过C，D两点画直线，直
线的位置就确定了，这条直线可能垂直于直线l，也可能不垂
直于直线l.
知识点
垂线段及点到直线的距离
3
1. 垂线段：
特别解读
垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系：
1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段.
2. 联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直.
(1)定义：过直线外一点画已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.
(2)性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.

2. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
(1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度.
(2)点到直线的距离与两点间的距离：





两点间的距离 点到直线的距离
定义 连接两点的线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度
　 利用垂直的定义说明两直线垂直
10.(1)如图①，OC是∠AOE内的一条射线，OB是∠AOC的平
分线，OD是∠COE的平分线，∠AOE＝120°，求∠BOD
的度数；
【解】(1)因为OB是∠AOC的平分线，
所以∠BOC＝∠AOC.
同理，∠DOC＝∠EOC.
所以∠BOD＝∠BOC＋∠DOC＝∠AOC＋∠EOC＝
(∠AOC＋∠EOC)＝∠AOE.
因为∠AOE＝120°，所以∠BOD＝×120°＝60°.
(2)如图②，点A，O，E在一条直线上，OB是∠AOC的平分
线，OD是∠COE的平分线，请说明OB⊥OD.
【解】由(1)可知∠BOD＝∠AOE.又因为∠AOE＝180°，所以∠BOD＝×180°＝90°.
所以OB⊥OD.
利用垂线说明两角的关系
11.已知：如图，OA⊥OC于点O，OB⊥OD于点O(OB在
∠AOC内部)，∠BOC＝24°.
(1)求∠AOD的度数；
【解】(1)因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°.
又因为∠BOC＝24°，
所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－24°＝66°.
因为OB⊥OD，所以∠BOD＝90°.
所以∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝90°＋66°＝156°.
(2)推断∠BOC与∠AOD的关系，并说明理由.
【解】∠BOC与∠AOD是互补关系.理由如下：
因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°.
所以∠AOB＝90°－∠BOC.
因为OB⊥OD，所以∠BOD＝90°.
所以∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝90°＋90°－∠BOC＝180°
－∠BOC.
所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
即∠BOC与∠AOD是互补关系.
利用垂线的性质探求两角关系
12. [新考法 操作度量法]点P与∠A的位置关系如图.
(1)在图①、图②中，以P为顶点作出∠P(0°＜∠P＜180°)，使
∠P的两边分别和∠A的两边相交且垂直.
【解】略.
(2)量一量∠P和∠A的度数，分别写出∠P与∠A的数量关
系.
在图①中，∠P＝ ；
在图②中，∠P＝ .
【解】量角的度数略.
180°－∠A　
∠A　
垂线
垂线段
垂线
垂线的画法及性质
性质
点到直线的距离