初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除《平方差公式》

《平方差公式》教学设计
《整式的乘除》单元分析
一、《课标》要求
1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.
2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式.
3.会把具体数代入代数式进行计算.
4.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.
5.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则.能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）.
6.理解乘法公式了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理（新增）.
二、单元框架图
三、单元教学目标
1.经历探索整式乘、除运算法则的过程，理解整式乘、除运算的算理，积累数学活动经验.
2.了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘、除运算.
3.进一步用科学计数法表示小于1的正数，能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感.
4.能推导乘法公式：并能利用公式进行简单计算；了解公式的几何背景，发展几何直观.
5.进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算，发展运算能力，并进一步体会用字母表示数的意义，发展符号意识.
6.在整式乘、除的学习过程中，发展勇于探究、质疑及合作交流的精神.
四、单元教学设计思路
在七年级上册，我们已经学习了整式的加、减运算，在这个过程中，初步体会了代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用.本单元开始学习整式的乘、除运算，将进一步体会整式运算的意义.为学习整式的乘、除运算，需要首先学习同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法运算，本单元运用类比数的运算，从数的运算开始，通过观察和进一步体会、运用幂的意义，最终得到以字母为底数的幂的运算法则.在得到这些运算法则的过程中，通过创设情境问题、穿插应用问题等，使学生从不同角度体会引入这些运算的意义，同时避免单纯代数式运算给学习带来的枯燥感.
在探究整式乘法法则（包括乘法公式）的过程中，本单元注重借助几何图形理解法则，同时进一步强调代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用，进一步发展学生的符号意识.
本单元目标分解、课时安排如下：
单元主题 单元目标 课时主题 课时目标
整式的乘除 经历探索整式乘、除运算法则的过程，理解整式乘、除运算的算理，积累数学活动经验. 2.了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘、除运算. 3.进一步用科学计数法表示小于1的正数，能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感. 4.能推导乘法公式，并能利用公式进行简单计算；了解公式的几何背景，发展几何直观. 5.进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算，发展运算能力，并进一步体会用字母表示数的意义，发展符号意识. 同底数幂的乘法（1 课时） 经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的表达能力. 了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.
幂的乘方与积的乘方 （2 课时） 经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的思考和表达能力.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.
同底数幂的除法（2课时） 经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的表达能力. 了解同底数幂的除法的运算性质，会进行同底数幂的除法并能解决一些实际问题. 3.会用科学计数法表示小于1的整数，并能在具体情境中感受小于1的整数的大小，进一步发展数感.
整式的乘法（3课时） 1.经历探索整式乘法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，以及乘法分配律在整式乘法运算中的作用. 2.能借助图形解释整式乘法的法则，发展几何直观. 3.能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅要求一次式之间以及一次式与二次式相乘）.发展运算能力.
整式的乘除 6.在整式乘、除的学习过程中，发展勇于探究、质疑及合作交流的 平法差公式（2课时） 1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理. 3.了解平方差公式的几何背景发展几何直观.
完全平方公式（2课时） 1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力. 2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算. 3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观.
整式的除法（2课时） 1.经历探索整式除法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，发展运算能力. 2.会进行简单的整式除法运算（只要求单项式除单项式、多项式除单项式，并且结果都是整式）. 3.理解除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力.
本单元内容的设计注重代数推理与几何直观两个方面的结合，注重学生对算理的理解和运算能力的提高，注重学生数感、符号意识的发展，希望为后续分式、方程、函数等内容对的学习奠定坚实的基础.
《平方差公式》
一、教材分析
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则得出，但为了培养学生观察、归纳、概括等能力，本设计通过几个具体的题目，使学生在计算的过程中发现规律，并用自己的语言进行表达.学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明.教学中要求学生观察算式的特点和结果的特点，通过对等式两边代数式结构进行对比，并让学生进一步举例，最后概括出一般性的结论.
二、学情分析
学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.
三、教学任务分析
学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.
《平方差公式》第一课时教学任务分析
七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本单元前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.本节课主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式，运用公式进行计算；
本节课的教学目标
1.经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.
2.通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.
3.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
四、教法分析与学法指导
为了面向全体学生，培养学生自主发现问题提出问题和分析问题解决问题的能力，本节课 采用“启发式 ”、“探究式 ”教学方法，遵循“先学后导，先练后讲 ”的原则.具体操作主要 由教师提供资源、创设情景，在课堂上引导学生主动参与问题的探究.以学生自主探索与合作交流的学习方式, 在合作中探究新知识，解决新问题.并指导学生善于归纳在探索与验证活动中用到的数学思想方法，达到培养能力的目的.
五、教学过程分析
（一） 复习旧知 引入新课
活动一：回顾整式乘法中多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba
2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明
设计意图：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备.
实际教学效果：在复习过程中，学生从知识和心理等方面，做好探究新知识的准备，从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.第2题是上节课的预习作业的一部分，可以让学生将举的例子写在黑板上，与下一环节结合使用.
（二）探究规律 发现结论
活动二：1.提出问题
计算下列各题
（1） （x+2）（x－2）； （2）（1+3a）（1－3a）
（3） （x+5y）（x－5y）；（4）（2y+z）（2y－z）
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？
设计意图：在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述.
实际教学效果：问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了.观察学生所列的以及这四个算式的特征，初步得到猜想，总结规律.
活动三：2.验证猜想
类比活动一中归纳的规律，学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想.
设计意图：在“活动1”中，学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律.
实际教学效果：预习作业中学生举例主要是从结果为两项的角度出发，这里的举例学生需要同时考虑公式两边的特征.在这一活动中让学生充分经历“观察——猜想——验证”的过程，学生举的例子可能涉及以下形式：
1、 （－x+y）（－x－y）
2、 （ab+c）（ab－c）
3、
教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：
(a+b)(a b)＝a2 b2
两数和与两数差的积，等于它们的平方差.
（三） 典例分析 巩固提高
活动四：巩固练习
判断下面计算是否正确
（1）= （ ）
（2）（3x－y）（－3x+y）=9x2－y2 （ ）
（3）（m+n）（－m－n）=m2－n2 （ ）
设计意图：通过判断题的设计，让学生进一步加深对平方差公式形式的理解.
实际教学效果：学生在平方差公式的基础上，结合判断题的题样，重新审视平方差公式，进一步理解如何确定平方差公式中的a和b.
活动四：例1 利用平方差公式计算：
（1） （5+6x）（5－6x）； （2）（x－2y）（x+2y）
（3）（－m+n）（－m－n）
巩固练习
利用平方差公式计算：
（1） （a+2）（a－2）； （2）（3a+2b）（3a－2b）
设计意图：在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.
实际教学效果：此环节的设计注意层次的递进，符合学生的认知过程.在计算过程中，让学生分析公式中的a和b，相对应本题中的哪部分，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.
活动五：例2 利用平方差公式计算：
（1） ； （2）（ab+8）（ab－8）
巩固练习
利用平方差公式计算：
（1）； （2）（－mn+3）（－mn－3）
设计意图：例2是对例1内容的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a和b，巩固平方差公式，进一步体字母a、b可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.
实际教学效果：例2中的第1题和巩固练习中的第1题，学生在确定公式中a和b时，有一定难度，教师应引导学生仔细观察题目，分析题目当中谁相当于公式当中的a与b，同时提醒学生，不要漏掉负号和括号，帮助学生突破难点.
（四） 观察思考 拓展延伸
活动六：想一想
（a b）（－a b）=？你是怎样做的？
练一练
计算 1、（5m－n）（－5m－n）
2、（a+b）（a－b）（a2+b2）
设计意图：“想一想”目的，是让学生体会平方差公式和多项式乘法之间的关系，可以利用整式乘法解决，也可以利用平方差公式，体会新、旧知识之间的联系，并通过“练一练”，进一步感受平方差公式在简化计算中的优越性.
实际教学效果：学生在处理“想一想”时，部分学生可能没看出可应用平方差公式，从而采用多项式乘多项式计算，教师应给与肯定.通过不同方法在黑板的展示，让学生自己经历选择方法的过程，加深对平方差公式的理解和应用.
（五） 当堂达标 自我检测
活动七： 利用平方差公式计算：
（1）（－x－1）（1－x）
（2）（0.3x+2y）（0.3x－2y）
（3）
设计意图：为学生提供自我检测的机会，教师针对学生反馈情况，及时调整授课，查漏补缺.
（六） 课堂小结 布置作业
活动八： 1.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2
公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；
右边是两数的平方差.
2．应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
设计意图：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中，遇到的挫折以及积累的经验，提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识目的.
分层作业
1. 必做题：教材习题1.9
2. 选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？