北京市第八十中学2023-2024学年上学期高一10月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京八十中高一 10月月考
数 学
班级______ 姓名______ 考号______
（考试时间 90 分钟 满分 100 分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题共 10 题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A. 上课迟到的学生 B. 2023 年高考数学难题
C. 所有有理数 D. 小于 π的正整数
2. 设集合 A = x x 1 ，则下列四个关系中正确的是（ ）
A. 1 A B. 1 A C. 1 A D. 1 A
3. 设集合M 中有 n个元素，则集合M 的非空真子集个数为（ ）
A. 2n B. 2n 2 C. 2n 1 D. 不能确定
4. 已知集合 A ={x | 2 x 1}， B = 2, 1,0,1 ，则 A B =（ ）
A. 2, 1,0,1 B. 2, 1,0
C. 1,0 D. 1,0,1
5. 下列语句中：① 1 2；② x 1；③ x2 1 0有一个根为 0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！
⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ②③⑥ D. ①③
6. 已知 p : 0 x 2， q : 1 x 3， 则 p 是 q 的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件
2
7. 存在量词命题“ x R ， x x ”的否定是（ ）
2 2
A. x R ， x x B. x R ， x x
2 2
C. x R ， x x D. x R ， x x
8. 对于实数a，b ， c下列命题中的真命题是（ ）
1 1
A. 若 a b，则 ac2 bc2 B. 若a b 0，则
a b
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b a 1 1
C. 若 a b 0，则 D. 若 a b ， ，则 a 0 ，b 0
a b a b
1
9. 设 x R ，则“ x 0 ”是“ x + 2 ”的（ ）
x
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2 2
10. 设a、b 、 c是两个两两不相等的正整数.若 a +b,b+ c,c + a = n ,(n +1) ,(n + 2) (n N+ )，则
a2 + b2 + c2 的最小值是（ ）
A. 2007 B. 1949 C. 1297 D. 1000
二、填空题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.
11. 已知 1 x 4， 2 y 3，则3x + 2y 的取值范围是________.
2
12. 集合 A = 1,2,a ， B = 1,a 2 ，若集合 A B 中有三个元素，则实数a = ___________.
13. 已知 :| x 1| 1， : x m，若 是 的充分条件，则实数m 的取值范围为__________．
4
14. 设 x 0 ，则函数 y = 2 x的最大值为___________；此时 x的值是___________.
x
15. 某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理 300 吨垃圾，最多要处理
600 吨垃圾，月处理成本 y （元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似表示为
1
y = x2 300x +80000，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为____________吨．
2
16. 对于问题：当 x>0 时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实数 a的所有可能值．几位同学提供了自己
的想法．
甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；
乙：研究函数 y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；
丙：分别研究两个函数 y1＝(a－1)x－1 与 y2＝x2－ax－1；
丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．
你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．
三、解答题共 4 小题，共 36 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
2
17. 已知集合 A ={x∣x 3a +1}，集合 B = x∣x 5x + 6 0
（1）当a = 3时，求 A B ；
（2）若 A B = B ，求实数 a的取值范围．
18. 证明：如图，梯形 ABCD为等腰梯形的充要条件是 AC = BD .
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2
19. 已知函数 f (x) = x (a +b) x + 2a ．
（1）若关于 x的不等式 f ( x) 0的解集为{x∣1 x 2}，求 a b的值；
（2）当b = 2 时，解关于 x的不等式 f (x) 0 ．
20. 已知集合 S = 1,2, ,n （ n 3且 n N*）， A = a1,a2 , ,am ，且 A S ．若对任意
ai A,a j A(1 i j m)，当 ai + a j ≤n时，存在 a A(1 k m)，使得ai + a j = ak k ，则称A 是
S 的m 元完美子集．
（1）判断下列集合是否是 S = 1,2,3,4,5 的 3 元完美子集，并说明理由；
① A1 = 1,2,3 ；
② A2 = 2,4,5 ．
（2）若 A = a ,a ,a 是 S = 1,2, ,71 2 3 的 3 元完美子集，求a1 + a2 + a3 的最小值．
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参考答案
一、选择题共 10 题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 【答案】B
【分析】由集合定义分别判断是否满足集合中元素的性质即可得出结论.
【详解】根据集合中元素的确定性可知，
“2023 年高考数学难题”中的“难题”没有评判标准，不具备确定性，因此不能构成集合.
故选：B
2. 【答案】A
【分析】根据描述法表示集合的含义，由元素集合的关系，即可判断结论.
【详解】由题意知，集合 A = x | x 1 表示所有不小于 1的实数组成的集合，
所有，1是集合中的元素，故1 A .
故选：A.
3. 【答案】B
【分析】依题意按照子集中的元素个数分类，找出规律即可得 n 个元素的集合 M 共有 2n 个子集， 2n 2
个非空真子集.
【详解】根据题意，按照子集中的元素个数分类可写出 2n 个子集，
则非空真子集即去掉空集 和集合M 本身，
所以集合M 的非空真子集个数为 2n 2个.
故选：B
4. 【答案】B
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为 A = x 2 x 1 ， B = 2, 1,0,1 ，
所以 A B = 2, 1,0 ，
故选：B
5. 【答案】D
【分析】根据命题的定义即可求解.
【详解】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
故选：D
6. 【答案】A
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【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为 x 0 x 2 x 1 x 3 ，所以， p 是 q 的充分而不必要条件.
故选：A.
7. 【答案】B
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
2 2
【详解】“ x R, x x ”的否定是 x R, x x .
故选：B.
8. 【答案】D
【分析】通过不等式的性质一一验证即可.
【详解】对于选项 A：若 a b，当 c 0 时，ac2 = bc2 ，故选项 A 错误；
b a 1 1
对于选项 B：若a b 0，可得 0，则 ，故选项 B 错误；
ab a b
b a
对于选项 C：若 a b 0，则 a2 b2 ，则 ，故选项 C 错误，
a b
1 1 b a
对于选项 D：若 ，则 0，又 a b，则 a 0 ，b 0，故选项 D 正确；
a b ab
故选：D.
9. 【答案】C
1
【分析】根据 x 0 与 x + 2之间的推出关系判断.
x
1
【详解】 x + 2能推出 x 0 ，故必要性成立，
x
1 1
当 x 0 时，取 x =1，则 x + = 2，不能推出 x + 2 ，故充分性不成立，
x x
1
所以“ x 0 ”是“ x + 2 ”的必要不充分条件，
x
故选：C.
10. 【答案】C
【详解】不妨设 a b c，则 a + b c + a b + c .
2 2
因为 (a +b)+ (b + c)+ (c + a) = 2(a +b + c)为偶数，所以 n2 、 (n +1) 、 (n + 2) 必为两奇一偶，从而，
n为奇数.
又因为b + c 1，所以 n为不小于 3 的奇数.
1
若 n = 3.则 a +b,b+ c,c + a = 32 , 42 ,52 .故a +b+ c = (32 + 42 +52 ) = 52 ，且a + b = 52 .
2
所以 c = 0，不符合要求.
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若 n = 5，则 a +b,b + c,c + a = 52 ,62 ,72 .
a + b = 72 , a = 30,

故 c + a = 6
2 , 解得 b =19,
2
b + c = 5 . c = 6.
此时， a2 + b2 + c2 =1297 .
二、填空题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.
11. 【答案】 (1,18)
【分析】由 1 x 4,2 y 3得到 3 3x 12,4 2y 6 ，相加后得到取值范围.
【详解】因为 1 x 4,2 y 3，
所以 3 3x 12,4 2y 6 ，
得3x + 2y ( 3+ 4,12+ 6) = (1,18) .
故答案为： (1,18)
12. 【答案】 2或 1
【分析】集合 A B 中有三个元素，则 a2 2 = 2 或a2 2 = a ，解方程并检验即可.
2
【详解】集合 A = 1,2,a ， B = 1,a 2 ，若集合 A B 中有三个元素，
则 a2 2 = 2 或 a2 2 = a ，
若 a2 2 = 2 ，解得 a = 2 ，其中 a = 2与元素互异性矛盾舍去， a = 2 满足题意；
若 a2 2 = a ，解得 a = 2或 a = 1， a = 2舍去， a = 1满足题意，
所以 a = 2 或 a = 1 .
故答案为： 2或 1
13. 【答案】m 2
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分条件得到集合的包含关系，即可得解.
【详解】由 | x 1| 1，即 1 x 1 1，解得0 x 2，
记 A = (0,2)， B = ( ,m)，
因为 是 的充分条件，所以 A B ，所以m 2，
即实数m 的取值范围为m 2 .
故答案为：m 2
14. 【答案】 ①. 2 ②. 2
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】解：因为 x 0 ，
4 4 4
所以函数 y = 2 x = 2 + x 2 2 x = 2 ，
x x x
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4
当且仅当 = x 即 x = 2 时，等号成立，
x
4
所以函数 y = 2 x的最大值为 2；此时 x的值是 2，
x
故答案为： 2；2
15. 【答案】400
y x 80000
【分析】根据条件得到 s = = + 300，结合基本不等式，即可求解.
x 2 x
【详解】设每吨的平均处理成本为 s元，
y x 80000
由题意可得 s = = + 300，其中300 x 600 .
x 2 x
x 80000 x 80000
由基本不等式可得： + 300 2 300 =100 ，
2 x 2 x
x 80000
当且仅当 = ，即 x = 400时，每吨的平均处理成本最低．
2 x
故答案为：400.
3
16. 【答案】 ##1.5
2
【分析】题意可以选择丙同学的想法对两个函数分开进行分 a 1 0、 a 1 0和 a 1= 0三种情况情况
讨论，从而可得到答案．
【详解】解：可以选择丙同学的想法．
对于函数 y = (a 1)x 1，
①当 a 1 0时，由于当 x = 0 时， y1 = 1，因此 y1 0在 (0,+ )上恒成立，
若 x 0 ，[(a 1)x 1](x2 ax 1) 0恒成立，
2
则 y = x ax 1在 (0,+o)2 上亦恒小于或等于 0，显然不可能成立；
1
②当 a 1 0时，对于函数 y1 = (a 1)x 1在 (0, )上 y1 0，
a 1
1
在 ( ，+ ) 上 y1 0 恒成立；
a 1
若 2x 0 ，[(a 1)x 1](x ax 1) 0恒成立，
1 1
因此 y
2
2 = x ax 1在 (0, )上 y2 0 ，在 ( ，+ ) 上 y2 0 恒成立， a 1 a 1
1 1 1 3
即当 x = 时， y2 = 0 ，即 a 1= 0， 2a
2 3a = 0， a = 或 a = 0 （舍去）．
a 1 (a 1)
2 a 1 2
3 1 2 3
检验：当 a = 时，原不等式可化为 ( x 1)(x x 1) 0 ，．即 (x 2)(2x2 3x 2) 0 ，
2 2 2
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(x 2)2 (2x +1) 0，
3
又 x 0 ，所以 (x 2)2 0 恒成立，因此 a = 时，符合题意．
2
③当 a 1= 0时，易知不符合题意，
3
综上所述： a = .
2
3
故答案为： .
2
三、解答题共 4 小题，共 36 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 【答案】（1） x∣x 3或 8 x 2
2
（2）a
3
【分析】（1）由题意可得 A ={x∣x 8}，解一元二次不等式求出集合 B ，再根据集合的交集运算即可求
出结果;
（2）因为 A B = B ，所以 A B ，所以3a +1 3，由此即可求出结果.
【小问 1 详解】
解：当 a = 3时，集合 A ={x∣x 3a +1}={x∣x 8}
2
集合 B = x∣x 5x + 6 0 = x∣(x 3)(x 2) 0 = x∣x 3或 x 2 ；
所以 A B = x∣x 3或 8 x 2 .
【小问 2 详解】
解：因为 A B = B ，所以 A B ，
2
所以3a +1 3，即 a .
3
18. 【答案】证明见解析
【分析】先由梯形 ABCD为等腰梯形，证明 AC = BD，验证必要性；再由 AC = BD证明梯形 ABCD为
等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立.
【详解】证明：（1）必要性.
在等腰梯形 ABCD中， AB = DC ， ABC = DCB ，
又∵ BC =CB ，∴ BAC CDB ，∴ AC = BD .
（2）充分性.
如图，过点D 作 DE //AC ，交 BC 的延长线于点 E.
∵ AD//BE， DE //AC ，∴四边形 ACED是平行四边形.∴ DE = AC .
∵ AC = BD，∴ BD = DE ，∴ E = 1 .
又∵ AC //DE ，∴ 2 = E，∴ 1= 2 .
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AC = DB,

在 ABC 和△DCB中， 2 = 1,

BC =CB,
∴ ABC DCB .∴ AB = DC .
∴梯形 ABCD为等腰梯形.
由（1）（2）可得，梯形 ABCD为等腰梯形的充要条件是 AC = BD .
【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
19.【答案】（1）a b = 1
（2）答案见解析
a =1
【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程，解方程得到 ，然后求a b即
b = 2
可；
（2）分 a 2、 a = 2和 a 2三种情况解不等式即可.
【小问 1 详解】
2
由题意可知，关于 x的不等式 x (a + b) x + 2a 0的解集为 x 1 x 2 ，
2
所以关于 x的方程 x (a + b) x + 2a = 0的两个根为 1 和 2，
a +b = 3 a =1
所以 ，解得 ，
2a = 2 b = 2
则 a b = 1．
【小问 2 详解】
2
由条件可知， x (a + 2) x + 2a 0 ，即 (x a)(x 2) 0，
当 a 2时，解得 x a或 x 2 ；
当 a = 2时，解得 x 2；
当 a 2时，解得 x 2 或 x a．
综上可知，当 a 2时，原不等式的解集为 x x a或 x 2 ；
当 a = 2时，原不等式的解集为 x x 2 ；
当 a 2时，原不等式的解集为 2 或 x a .
20. 【答案】（1） A1不是S 的 3 元完美子集， A2 是S 的 3 元完美子集，理由见解析
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（2）12
【分析】（1）理解 3 元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义；
（2）分别设a1 =1， a1 = 2，以及 a1 3时，判断是否存在 3 元完美子集，并比较最小值，
即可求解.
【小问 1 详解】
①因为 2+ 2 = 4 5 ，且4 A1，
所以 A1不是S 的 3 元完美子集；
②因为 2+ 2 = 4 5 ，且 4 A2 ，
而5 + 5 4 + 5 4 + 4 2 + 5 2 + 4 5，
A2 是S 的 3 元完美子集．
【小问 2 详解】
不妨设 a1 a2 a3 ．
若 a1 =1，则a1 + a1 = 2 A,1+ 2 = 3 A,1+ 3 = 4 A，且 4 7 ，
则集合A 的元素个数大于 3 个，这与 3 元完美子集矛盾；
若 a1 = 2，则a1 + a1 = 4 A,2 + 4 = 6 A，而 2 + 6 7，符合题意，
此时 a1 = 2,a2 = 4,a3 = 6，即 A = 2,4,6 ,
此时a1 + a2 + a3 =12 ．
若 a1 3，则 a1 + a1 ≥6 ，于是 a2 4， a1 + a2 7 ，若存在 3 元完美子集，
则 a1 + a1 = a 或 a3 1 + a2 = a3 ，即 a3 ≥6，所以 a1 + a2 + a3 ≥13．
综上， a1 + a2 + a3 的最小值是 12．
【点睛】关键点点睛：本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解 3 元完美子集的定义.
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