北京八一学校2023-2024学年上学期高一10月月考数学试卷（PDF版，含答案）

北京市八一学校 2023―2024 学年度第一学期 10 月月考
高 一 数 学 试 卷 2023.10
本试卷共 4 页，100 分。考试时长 90 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要
求的一项.
1．已知集合M ={ 2, 1,0,1}， N ={x | 3 x 0}，则M N = ( )
A. { 2, 1,0,1} B. {0,1} C. { 2} D. { 2, 1}
2．命题“ x 0, x
3 1”的否定为( )
A. x 0, x3 1 B. x 0, x3 1
3
C. x 0, x 1 D. x 0, x
3 1
3. 已知集合 A ={(x, y) | y = x2 2}， B ={(x, y) | y = x}，则 A B 中元素的个数为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
4. 已知 a,b R，则“ ab = 0 ”是“ a2 + b2 = 0 ”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知命题 p : x 1,3 ， x a 2 0.若 p为假命题，则 a的取值范围为( )
A. ( , 3] B. ( ,1] C. ( , 3) D. ( ,1)
1
6.设 p： x 1；q： a x a +1，若 q 是 p的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是( )
2
1 1 1 1
A. 0, B. 0, C. 0, D. 0,
2 2 2 2
2
7. 方程 x 4 x 12 = 0的解集是( )
A. 2,2, 6,6 B. 2，2 C. 6,6 D.
8. 要使二次三项式 x2 6x + t 在整数范围内可因式分解，t 为正整数，那么 t 的取值可以有( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 5 个 D. 6 个
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2
9. 已知 A = x x + px 6 = 0 ， B = x x2 + qx + 2 = 0 ，且 A ( RB) ={2}，则 p + q的值为( )
5 14
A. 4 B. C. D. 5
3 3
1+ a
10. 设非空数集 M 同时满足条件：①M中不含元素 1，0，1; ②若 a M ，则 M .则下列结
1 a
论正确的是( )
A. 集合 M中至多有 2 个元素 B. 集合 M 中至多有 3 个元素
C. 集合 M 中有且仅有 4 个元素 D. 集合 M中至少有 5 个元素
二、填空题:本大题共 5小题,每小题 4分,共 20分.
11. 如果集合 A = x ax 2 + 2x +1 = 0 有且仅有两个子集，那么a 的值是 .
12. 已知集合 A ={x | x 1}, B ={x | x a}，且 A B = R ，则实数 a 的取值范围是 .
13.设 x, y R, 则“x y ”是“x y”的________条件．（充分不必要，必要不充分，充要，既不
充分也不必要）
ax by = 5 2x + y = 4
14. 若关于 x, y的方程组 与 的解集相等，则a = ______;b = ______.
x 2y = 3 ax + by = 3
15. 1881 年英国数学家约翰 维恩发明了 Venn 图，用来直观表示集合之间的关系．全集U = R，集
合M ={x | x2 2ax+ 4 0}， N ={x |1 x 2}的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成 M，区域Ⅱ，
Ⅲ构成 N.若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数 a 的取值范围是__________.
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三、解答题:本大题共 5 小题，共 50 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. （本小题满分 10 分）
在① A B = A；② A B = 这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．
已知集合 A = x 2a 1 x a , B = x x2 1 .
(I)若 a = 1，求 ( R A) B ；
(II)若________，求实数 a 的取值范围．
17. （本小题满分 10 分）
已知命题 p：方程 x2 + 2x +m = 0有两个不相等的负实数根，
2 1
命题 q：方程 x 2x + +m = 0 无实数根．
2
(I)若 p，q均为真命题，求实数 m 的取值范围；
(II)若 p，q 中有一个真命题，一个是假命题，求实数 m 的取值范围.
18. （本小题满分 10 分）
已知 x 21, x2 是方程4kx 4kx + k +1= 0的两个实数根．
(I)求 k 的取值范围；
x 2 2(II)求 1 + x2 ，x1 x2 .（结果用 k表示）
3
(III)是否存在实数 k，使 (2x1 x2 )(x1 2x2 ) = 成立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说
2
明理由.
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19. （本小题满分 10 分）
水果市场将 120 吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运
费如下表所示： ( 假设每辆车均满载 )
车型 甲 乙 丙
汽车运载量 ( 吨/辆 ) 5 8 10
汽车运费 ( 元/辆 ) 400 500 600
(I)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8200 元.问分别需甲、乙两种车型各几辆
(II)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送 ( 每种车型至少 1 辆 ) ，已知它们的总辆数为
16，分别求出三种车型的辆数.
20. （本小题满分 10 分）
*
已知集合 P 中的元素有3n(n N ) 个且均为正整数，将集合 P 分成元素个数相等且两两没有
公共元素的三个集合 A，B，C，即P=A B C ，A B = ，A C = ，B C = ，
其中 A={a1,a2 , ,an}， B={b1,b2 , ,bn}，C={c1,c2 , ,cn}.若集合 A，B，C 中元素满足
c c c ， a 2 n P “ ”1 2 n k +bk =ck ， k=1， ， ， ，则称集合 为 完美集合 ．
(I)若集合 P= 1,2,3 ， Q= 1,2,3,4,5,6 ，判断集合 P 和集合 Q 是否为“完美集合”
并说明理由．
(II)若集合 P= 1, x,3,4,5,6 为“完美集合”，求正整数 x的值以及相应的集合 A，B，C.．
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高一 10 月月考数学试卷参考答案
一、选择题
DABAC DCBCC
二、填空题
1 5
11. 0或1； 12. 1,+ )；13.充分不必要；14. 4; ；15. 2， . 2 2
三、解答题
16.解答： (1)B = x x2 1 = x 1 x 1 ，
当 a = 1时， A = x 3 x 1 ，所以 A = x x 3或 x 1R ，
所以 ( R A) B = x x 3或 x 1 . ……………………………………4 分
(2)由 (1)知 B = x 1 x 1 ，
若选①：由 A B = A，得 A B，
当 2a 1 a ，即 a 1时， A = ，符合题意；
2a 1 a

当 A 时， 2a 1 1，解得0 a 1.

a 1
综上所述，实数 a 的取值范围是 0,+ ). ……………………………………10 分
若选②：当 A = 时， 2a 1 a ，即 a 1；
2a 1 a 2a 1 a
当 A 时， 或 ，
a 1 2a 1 1
解得 a 1或 a 不存在.
综上所述，实数 a 的取值范围是 ( , 1 1,+ ). ……………………………………10 分
17. 解： (1)命题 p：方程 x2 + 2x +m = 0有两个不相等的负实数根：
= 4 4m 0

则： x1 + x2 = 2 0 ，

x1x2 = m 0
解得：0 m 1.
2 1
命题 q：方程 x 2x + +m = 0 无实数根，
2
1 1
所以 = 4 4( +m) 0，解得m ，
2 2
由于命题 p，q 均为真命题，
0 m 1

故： 1 ，
m
2
1
解得 m 1.
2
1
即 m 的取值范围是 ( ,1). ……………………………………5 分
2
(2)因为 p，q 中一个是真命题，一个是假命题，
当 p 真 q 假时，
0 m 1

1 ，
m
2
1
解得0 m ，
2
当 p 假 q 真时，
m 0或m 1

1 ，
m
2
解得，m 1
1
综上，实数 m 的取值范围为 (0, ] [1,+ ). ……………………………………10 分
2
18. 解： (1)由题意， 一元二次方程4kx2 4kx + k +1= 0有两个实数根
4k 0
2 k 0 ，所以 k 的取值范围是 ( ,0)……………2 分
= ( 4k ) 4 4k (k +1) = 16k 0
x1 + x2 =1

(2)由根与系数关系可得 k +1
x1x2 =
4k
2 2
x2 21 + x2 = (x + x ) 2x x x1 x2 = (x1 + x2 ) 4x1x1 2 1 2 2
k +1 k +1
=1 2 = 1 4 ……………………………………6 分
4k 4k
k 1
= 1
2k = k
3
(3) 假设存在实数 k，使 (2x1 x2 )(x1 2x2 ) = 成立．
2
2 2 k 1 k +1 k + 9 3(2x1 x2 )(x1 2x2 ) = 2(x1 + x2 ) 5x1x2 =2 5 = =
2k 4k 4k 2
9
解得k = ，但 k 0.
5
3
不存在实数 k，使 (2x1 x2 )(x1 2x2 ) = 成立．……………………………………10 分
2
5x +8y =120, x = 8,
19. 解： (1)设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，得 解得
400x + 500y = 8200, y =10.
需甲车型 8 辆，乙车型 10 辆. ……………………………………4 分
x + y + z =16,
(2) 设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，丙车型 z 辆，得 消去 z 得
5x + 8y +10z =120,
2
5x + 2y = 40 ，x = 8 y ，因为 x，y 是正整数，且不大于 16，得 y = 5，10，由 z 是正整
5
x = 6, x = 4,

数，解得 y = 5,或 y =10, 有两种运送方案：①甲车型 6 辆，乙车型 5 辆，丙车型 5 辆;②甲

z = 5

z = 2.
车型 4 辆，乙车型 10 辆，丙车型 2 辆. ……………………………………10 分
20. 解： (1)集合 P = {1,2,3 }为“完美集合”，
令 A ={1}， B ={2}，C ={3}.则集合 A、B、C 中的元素满足 ak + bk = ck ，
集合Q ={1,2,3,4,5,6}不是"完美集合"，
对于集合 Q：
设 A 中元素之和为 M，B 中元素之和为 N，C 中元素之和为 L，
所以 M + N = L ，
由题意： M + N + L =1+ 2+3+ 4+5+ 6 = 21，
21
所以 2L = 21， L = ，不是整数，所以集合Q = {1,2,3, 4, 5, 6}不是“完美集合”;
2
……………………………………4 分
(2)由 (1)可知： x 2，且 x 7 ，
由题意可得： cn 为 P 中最大元素，则 cn = x ，
1+ x + 3+ 4+ 5+ 6 x +19
C 中元素之和为 = ，
2 2
x +19
所以 A，B 中元素之和为 ，必是 1，3，4，5，6 中去掉某个元素后余下 4 个元素的和，
2
共有五种情况：13、14、15、16、18，对应的 x 值为：7、9、11、13、17，
当 x = 7时，C = 6,7 ， A ={1,3}，集合 B ={5,4}，
当 x = 9 时，C = 5,9 ， A ={1,3}，集合 B ={4,6}，
当 x =11时，C = 4,11 ， A ={1,5}，集合 B ={3,6}，
x =13或 17 时，不符合题意。综上正整数 x 的值为 7 或 9 或11. …………………10 分