北京理工大学附属中学2023-2024学年上学期高一12月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京理工大附中高一 12月月考
数 学
班级______ 姓名______ 学号______
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．）
1. 已知全集U = 0,1,2,3 ，CU A = 0,2 ，则集合A 的真子集共有（ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
2. 命题“ x 1， x + x2 2 ”的否定形式是（ ）
A. x 1， x + x2 2 B. x 1， x + x2 2
C. x 1， x + x2 2 D. x 1， x + x2 2
3. “ 0 a 4 ”是“关于 x的方程 ax2 + ax +1= 0无实根”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
x
4. 函数 f (x) = ln x2 的定义域
x +1
A. (0,+ ) B. ( 1,+ )
C. (0,1) D. (0,1) (1,+ )
5. 下列函数中，随着 x的增长，增长速度最快的是（ ）
1
A. y = 50 B. y =1000x C. y = 2ln x
x
D. y = e
1000
6. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M之间的
关系为 lg E = 4.8 +1.5M 已知两次地震的里氏震级分别为 8.0 级和 7.5 级，若它们释放的能量分别为 E1 和
E
E 1，则 =2 （ ） E2
A. 101.05 B. 1.05 C. 100.75 D. 0.75
1 1 1
7. 已知 1a = 32 ，b=log ，c=log2 ，则（ ） 3 2 3
A. a>b>c B. b>c>a
C. c>b>a D. b>a>c
x ln x
8. 函数 y = 的图象是（ ）
x
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A. B. C. D.
9. 已知正数a，b 满足 a 9 b 27 = 3，则3a + 2b的最小值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 18 D. 24
x +m , x m
10. 已知函数 f (x) = ，若存在实数b ，使得关于 x的方程 f (x) = b 有三个不同的根，则实2
x , x m
数m 的取值范围是（ ）
A. (0,2) B. ( , 2) (0, 2) C. ( 2,0) D. ( 2,0) (2,+ )
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．）
1 －
11. 已知 3a＝2，3b＝ ，则 32a b＝________.
5
12. 已知 f ( x)是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) = 3x +m(m为常数)，则 f ( log3 5) =
_______.
13. 函数 f (x) = loga (2x 3)+8
a
的图象恒过定点 A，且点 A在幂函数 g (x) = x 的图象上，则 f ( x) =
______， f (3) =______．
14. 已知 f (x) = log4 ( ax + 3)在 0,1 上是关于 x的减函数，则实数 a的取值范围是______．
x + 6, x 2
15. 若函数 f (x) = （ a 0 且 a 1）的值域是 4,+ )，则实数a的取值范围是
3+ loga x, x 2
__________．
三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
1

3 2
16. 令 0.25 4 27 0P = 8 2 + ( 2023) ，Q = lg 25+ lg 2 lg50+ (lg 2) ．
64
（1）分别求 P和 Q；
1 1
（2）若2a = 5b = m，且 + =Q ，求 m．
a b
f (x) = (k 2 ) (2 k )(1+k )17.已知幂函数 + k 1 x ，且 f (2) f (3) .
（1）求函数 f ( x)的解析式；
（2）试判断是否存在正数m ，使得函数 g (x) =1 f (x)+ 2mx 在区间 0,1 上的最大值为 5，若存在，求
出m 的值，若不存在，请说明理由.
x x x x
18. 已知函数 f ( x) = 2 + 2 ， g (x) = + log2 (1+ 2 ) .
2
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（1）判断函数 g (x)的奇偶性，并证明你的结论；
1
（2）若 g (x) log2 f (x)+ a 对一切实数 x成立，求实数a的取值范围.
2
19.设整数集合 A = a1,a2 , ,a100 ，其中1 a1 a2 a100 205 ，且对于任意
i, j (1 i j 100)，若 i + j A，则ai + a j A．
（1）请写出一个满足条件的集合 A；
（2）证明：任意 x 101,102, , 200 ， x A．
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参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．）
1. 【答案】A
【分析】先计算集合A ，再计算集合A 的真子集个数.
【详解】全集U = 0,1,2,3 ，CU A = 0,2 则 A = 1,3
故集合A 的真子集共有22 1= 3个
故选：A
【点睛】本题考查了补集，真子集的个数问题，混淆子集和真子集是容易发生的错误.
2. 【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为命题“ x 1， x + x2 2 ”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即 x 1， x + x2 2 ，
故选：B
3. 【答案】A
【分析】由“关于 x 的方程 ax2 + ax +1= 0无实根”得 0 a 4 ，根据{a | 0 a 4}是{a | 0 a 4}的真
子集得解.
【详解】当 a = 0 时，所给方程无实数根；
当 a 0时，若所给方程无实数根，则有 = a2 4a 0 ，解得 0 a 4 .
所以当 ax2 + ax +1= 0无实数根时，则有0 a 4 .
因为{a | 0 a 4}是{a | 0 a 4}的真子集，
所以“ 0 a 4 ”是“关于 x的方程 ax2 + ax +1= 0无实根”的充分不必要条件.
故选 A
【点睛】本题主要考查二次型方程的根的判断，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平和分析推理能力.
4. 【答案】A
【分析】
x
0
解不等式 x +1 即得函数的定义域.

x 0
x
0 x 0或x 1
【详解】由题得 x +1 , x 0
x 0
x 0

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所以函数的定义域为 (0,+ ) .
故选 A
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平和分析推理能力.
5. 【答案】D
【分析】按照基本函数的性质即可求解.
【详解】依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数，
1 x
故随着 x的增长， y = e 增长速度最快.
1000
故选：D.
6. 【答案】C
【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．
【详解】 lgE = 4.8+1.5M ，
∴ lgE1 = 4.8+1.5 8 =16.8 ， lgE2 = 4.8+1.5 7.5 =16.05，
E =1016.8 E =1016.05∴ 1 ， 2 ，
E1 =100.75∴ ，
E2
故选：C
7. 【答案】A
【分析】利用对数的性质和指数的性质对 a,b,c 化简后与中间量“0”，“1”比较大小即可
1 1
【详解】解：因为 a= 3 >1，03 2 3
故 a>b>c，
故选：A.
【点睛】此题考查对数式和指数式比较大小问题，考查对数的运算性质，属于基础题
8. 【答案】B
【分析】先根据 x 0 时， y = ln x 的图象判断 CD 错误；再判断 f ( x)是奇函数，根据对称性判断 A 错
误，B 正确，即得结果.
x ln x
【详解】函数 y = f (x) = 中，定义域为 x x 0 .
x
当 x 0 时， y = ln x ，根据对数函数的图象可知，CD 错误；
x ln x
又 f ( x) = = f (x)，故 f ( x)是奇函数，图象关于原点对称，故 A 错误，B 正确.
x
故选：B.
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9. 【答案】D
2 3
【分析】将根式表示为分数指数幂，得 + =1，利用基本不等式求3a + 2b的最小值.
a b
2 3 2 3 2 3
【详解】 +a 9 b 27 = 3a 3b = 3a b = 3，所以 + =1， a b
因为 a，b为正数，
2 3 4b 9a 4b 9a
所以3a + 2b = (3a + 2b) + =12+ + 12+ 2 = 24 ，
a b a b a b
4b 9a
当且仅当 = 时，即 a = 4，b = 6时，等号成立，
a b
所以3a + 2b的最小值为 24 .
故选：D.
10. 【答案】B
【分析】作出函数 f (x) 的图象，分m 0、m = 0、m 0三段讨论即可．
【详解】分情况讨论，
2m m2
当m 0时，要使 f (x) = b 有三个不同的根，则 0 m 2 ；
m 0
m2 2m
当m 0时，要使 f (x) = b 有三个不同的根，同理可知，需要 m 2．
m 0
当m = 0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．
m的取值范围是 ( , 2) (0, 2)，
故选：B．
【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到临界位置的高低是
难点，属于中档题．
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二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．）
11. 【答案】20
【分析】利用指数幂的运算性质即可求解.
2
32a (3a ) 22
－
【详解】解析：32a b＝ = = = 20b b 1 . 3 3
5
故答案为：20
【点睛】本题考查了指数的运算性质，掌握指数的运算是解题的关键，考查了基本运算能力，属于基础题.
12. 【答案】 4
【分析】由奇函数的性质与对数的运算性质求解，
【详解】由 f ( x)是定义在R 上的奇函数，故 f (0) =1+m = 0，得m = 1，
( ) log3 5而 f log3 5 = 3 1= 4 ，则 f ( log3 5) = 4 ，
故答案为： 4
3
13. 【答案】 ①. log3 (2x 3)+8 x ②. 9
2
【分析】令 2x 3 =1求得 f (x) = loga (2x 3)+8的图象恒过定点 A(2,8)，再通过点 A在幂函数
g (x) = xa 上求得，进而即得.
【详解】解：令 2x 3 =1，解得 x = 2 ，则 f (2) = loga 1+8 = 8，
所以 f (x) = loga (2x 3)+8的图象恒过定点 A(2,8)，
2a = 8 = 23 ，解得 a = 3 ，
所以 f (x) = log3 (2x 3)+8 ， f (3) = log3 3+8 = 9，
3
故答案为： log3 (2x 3)+8 x ；9 .
2
14. 【答案】 0 < a < 3
【分析】根据对数函数、一次函数的单调性，再由复合函数的单调性建立不等式求解即可.
【详解】因为 f (x) = log4 ( ax + 3)在 0,1 上是关于 x的减函数，
而 y = log4 t 是增函数，
所以由复合函数单调性可知， t = ax + 3(t 0) 为 0,1 上的减函数，
a 0
故 ，解得 0 < a < 3 .
a 1+3 0
故答案为： 0 < a < 3
15. 【答案】 (1, 2
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x + 6, x 2
【详解】试题分析：由于函数 f (x) ={ (a 0,a 1)的值域是 4,+ )，故当 x 2 时，满
3+ loga x, x 2
足 f (x) = 6 x 4 ， 当 x 2 时 ， 由 f (x) = 3+ loga x 4 ， 所 以 loga x 1 ， 所 以
loga 2 1 1 a 2，所以实数 a的取值范围1 a 2 .
考点：对数函数的性质及函数的值域.
【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数
的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应
用，本题的解答中，当 x 2 时，由 f (x) 4 ，得 loga x 1，即 loga 2 1，即可求解实数a的取值范围.
三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
7
16. 【答案】（1）P = ,Q = 2
3
（2） 10
【分析】（1）根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可；
（2）根据指数与对数的互化可得 a = log2 m,b = log5 m，结合对数的运算性质和换底公式即可得出答案.
【小问 1 详解】
1

3
P = 80.25 4
27
2 + ( 2023)
0
64
1
3 1 3
3

3
= 24 24 + 1
4
3 1
+ 4 7
= 24 4 + 1= ，
3 3
Q = lg 25+ lg 2 lg50+ (lg 2)2
= lg 25+ lg 2 (2lg5+ lg 2)+ (lg 2)2
= 2lg5+ 2lg 2 lg5+ 2(lg 2)2
= 2lg5+ 2lg 2 (lg5+ lg 2)
= 2lg 5+ 2lg 2
= 2lg10 = 2，
7
所以 P = ,Q = 2；
3
【小问 2 详解】
由 2a = 5b = m，得 a = log2 m,b = log5 m，且m 0，
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1 1
则 = logm 2, = logm 5，
a b
1 1
故 + = logm 2+ logm 5 = logm 10 = 2 ，
a b
所以m2 =10，即m = 10 .
17. 【答案】（1） f (x) = x2
5
（2）存在，m =
2
【分析】（1）根据函数 f ( x)是幂函数，则 k 2 + k 1=1，并检验 f (2) f (3)，即可；
2
（2）化简得 g (x) =1 f (x)+ 2mx = x + 2mx +1，求出对称轴，分0 m 1，m 1两种情况分别求
得函数的最大值，即可求出实数m 的值.
【小问 1 详解】
由题知， k 2 + k 1=1，解得 k = 2 或 k =1，
2
当 k =1时， f (x) = x ，满足 f (2) f (3)，
4
当 k = 2 时， f (x) = x ，不满足 f (2) f (3)，
所以 f (x) = x2 .
【小问 2 详解】
g (x) =1 f (x)+ 2mx = x2 + 2mx +1.
当0 m 1时， g (x)在区间 0,m 上单调递增，在 m,1 上单调递减，
所以 g(x)max = g (m) = m
2 +1= 5，
解得m = 2，不合题意；
当m 1时， g (x)在区间 0,1 上递增，
5
所以 g(x)max = g (1) = 2m = 5，解得m = .
2
5
综上所述，存在正数m = ，使得 g (x)在区间 0,1 上的最大值为 5.
2
18. 【答案】（1） g (x)为R上的偶函数，证明见解析
1
（2）a
2
【分析】（1）判断出函数 g (x)为R上的偶函数，然后利用函数奇偶性的定义证明可得结论；
2 2
2x (1+ 2 x 2x 1+ 2 x（2）利用参变量分离法可得出 ) ( )2a log ，利用基本不等式可求得 log 的取值2
2x + 2 x
2
2x + 2 x
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范围，即可求得实数 a的取值范围.
【小问 1 详解】
解： g (x)为R上的偶函数，证明如下：
对任意的 x R ，1+ 2 x 0 ，故函数 g (x)的定义域为R，
x x 1 x 2 +1 x x
g (x) = + log x x x2 1+ = + log2 = + log2 (2 +1) log2 2 = + log2 (2 +1) = g ( xx x )， 2 2 2 2 2 2
因此，函数 g (x)为R上的偶函数.
【小问 2 详解】
x x x x 1
解： f (x) = 2 + 2 ， g (x) = + log2 (1+ 2 )， g (x) log2 f (x)+ a，
2 2
x 1
即 + log2 (1+ 2 x ) log (2x + 2 x2 )+ a对一切实数 x恒成立，
2 2
x x x
则 x + 2log2 (1+ 2 ) log2 (2 + 2 )+ 2a ，
2
2 2
x (1+ 2 x即 )2a log x2 2 + log2 (1+ 2 x ) log x2 (2 + 2 x ) = log ， 2
2x + 2 x
2
即 2a log 1+ 对一切实数 x2 恒成立， x x
2 + 2
2
而2x + 2 x x
1 1
= 2 + 2 2x = 2，所以 log2 1+ (0,1 ， x x x 2 2x 2 + 2
当且仅当 2x =1时，即 x = 0 时取等号，
1 1
2a 1，即 a ，即实数 a的取值范围为 ,+ . 2 2
19. 【答案】（1） A ={1,2,3, ,100}（答案不唯一）
（2）证明见解析
【分析】（1）根据题意可设 an = n ，满足条件即可得解；
（2）根据满足任意 x 101,102, , 200 ，要证 x A的形式，考虑反证法即可证明.
【小问 1 详解】
令 an = n ，满足1 a1 a2 a100 205 ，
当 i, j (1 i j 100)时，若满足 i + j A，则ai + a j = i + j A成立，
即可写出一个满足条件的集合 A ={1,2,3, ,100} .
【小问 2 详解】
假设存在一个 x0 {101,102, , 200}使得 x0 A，
令 x0 =100 + s ，其中 s N 且1≤s≤100 ，
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由题意，得 a100 + as A，
由 as 为正整数，得 a100 + as a100 ，这与a100 为集合A 中的最大元素矛盾，
所以任意 x {101,102, , 200}， x A．
【点睛】关键点点睛：利用反证法证明第二问，假设存在一个 x0 {101,102, , 200}使得 x0 A，首先把
x0 拆成 x0 =100 + s 是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且 a100 最大是解题的另外一个关键点.
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