北京市第六十六中学2023-2024学年上学期高一10月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京六十六中高一 10月月考
数 学
2023.10
试卷说明：
1．本试卷共三道大题，共 4页．
2．卷面满分 100分，考试时间 60分钟．
3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效．
一、选择题（每小题 3分，共 30分）
A = x x 1
1. 如果 ，那么正确的结论是（ ）
A. 0 A B. 0 A C. 0 A D. A
2. 命题“ x R , | x | +x2 0 ”的否定是（ ）
A. x R , | x | +x2 0 B. x R , | x | +x2 0
x R , | x | +x2 0 x R , | x | +x2C. D. 0
3. “ x 1 2成立”是“ x(x 3) 0 成立”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2
4. 设集合 A ={x, y}, B = 0, x ，若 A = B ，则 2x + y 等于（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. －1
5. 设a,b,c,d R 且 a b ， c d ，则下列结论中正确的是（ ）
A. ac2 bc2 B. a d b c
C. ad bd D. a2 b2
x + y = 0
6. 方程组 2 2 的解集是（ ）
x + y = 2
A. {(1，﹣1),(﹣1，1)} B. {(1，1),(﹣1，﹣1)}
C. {(2，﹣2),（﹣2，2)} D. {(2，2),(﹣2，﹣2)}
7. 已知M = 2a (a 2)， N = (a +1)(a 3)，则M ， N 的大小关系是（ ）
A. M N B. M N C. M N D. M N
1 1
8. 有以下四个条件：①b 0 a ；②0 a b ；③a 0 b ；④a b 0．其中能使 成立的条
a b
件个数为（ ）
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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 若集合 A ={x x 3或 x 7}， B = x x a ， ( R A) B ，则 a的取值范围为（ ）
A. a 3 B. a 3 C. a 7 D. a 7
10. 对于任意实数 x，不等式 (2 m) x2 2 (m 2) x + 4 0恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A. m 2 m 2 B. m 2 m 2
C.{m m 2或m 2} D. {m m 2或m 2}
二、填空題（每小题 4分，共 16分）
2
11. 若方程 x + mx + n = 0(m,n R)的解集为 2, 1 ，则m = ______，n =______．
12. 已知全集U = R, A = x | x 3 ,B ={x | 1 x 6}，则如图中阴影部分表示的集合是________.
13. 若 a b,d c ，并且 (c a)(c b) 0,(d a)(d b) 0 ，则 a,b,c,d 由小到大的顺序排列是
_______．
14. 已知满足“如果 x S ，则6 x S ”的自然数 x构成集合S ．”
（1）若S 是一个单元素集合，则 S = ______．
（2）满足条件的S 共有______个．
三、解答题（共 54分）
15. 已知全集U = R ，集合 A = x 0 x 2 ， B = x x 3或 x 1
求：（1） A B ；
（2） ( U A) ( U B) .
16. 已知集合 A ={x∣a 1 x 2a +3}, B = x∣x2 2x 8 0 .
（1）当a=2时，求 A B ；
（2）若 A B = A ，求实数 a的取值范围.
17. 求下列不等式解集．
1 x
（1） 2
x
（2） 5 2x 3
2 2
18. 已知 x1，x2是方程 x2 6x + k = 0的两个实数根，且 x1 ·x2 x1 x2 =115．
（1）求 k的取值．
2 2
（2）求 x1 + x2 8的值．
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19. 关于 x的不等式 ax2 bx +1 0．
1
（1）若不等式的解集为 x x 1 ，求实数 a,b的值：
3
（2）若b = a +1，解此不等式．
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参考答案
一、选择题（每小题 3分，共 30分）
1. 【答案】C
【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系判断可得出结论.
【详解】因为 A = x x 1 ，则0 A， 0 A ， 0 A， A ，ABD 错，C 对.
故选：C.
2. 【答案】C
【分析】根据命题的否定的概念求解.
【详解】命题“ x R , | x | +x2 0 ”的否定是 x R , | x | +x2 0 ，
故选:C.
3.【答案】B
【详解】试题分析：由|x-1|＜2 得-1＜x＜3，由 x（x-3）＜0 得 0＜x＜3，所以“|x-1|＜2 成立”是“x（x-3）＜
0 成立”的必要不充分条件
考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件
4. 【答案】C
【分析】根据元素的确定性可得 x = 0 或 y = 0 ，再利用元素的互异性可确定 y = 0 ， x =1，从而可得正确
的选项.
【详解】由 A = B ，得 x = 0 或 y = 0 .
当 x = 0 时， x2 = 0 ，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 y = 0 时， x2 = x ，则 x = 0 或 x =1，由上知 x = 0 不合适，故 y = 0 ， x =1，
则 2x + y = 2 .
故选：C.
【点睛】本题考查集合相等的性质以及集合元素的确定性和互异性，一般地，我们利用确定性求值，利用
互异性取舍，本题属于基础题.
5. 【答案】B
【分析】
举特值可知 ACD 不正确；根据不等式的性质可知 B 正确.
【详解】对于 A，当 c 0 时， ac2 bc2 不成立，故 A 不正确；
对于 B，因为 a b， c d ，所以 a + c b + d ，所以 a d b c ，故 B 正确；
对于 C，当 d = 1时， ad bd 不成立，故 C 不正确；
对于 D，当 a =1,b = 1时， a2 b2 不成立，故 D 不正确.
故选：B
6. 【答案】A
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【分析】
求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．
x + y = 0 x =1 x = 1
【详解】方程组 2 2 的解为 或 ，
x + y = 2 y = 1 y =1
其解集为 {(1, 1), ( 1,1)}．
故选：A．
【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有
序，即代表元可表示为 (x, y) ，一个解可表示为 (1, 1) ．
7. 【答案】A
【分析】利用作差法比较大小.
2
【详解】M N = 2a (a 2) (a +1)(a 3) = a2 2a +3 = (a 1) + 2 0 ，
即M N ，
故选：A.
8. 【答案】D
1 1
【分析】由不等式的性质判断各条件是否有 成立即可.
a b
1 1
【详解】①b 0 a ，则 0 成立；
a b
1 1
②0 a b ，则 0成立；
a b
1 1
③ a 0 b ，则 不成立；
a b
1 1
④a b 0，则 0 成立；
a b
故选：D
9. 【答案】A
【分析】根据补集的定义和运算求出 R A，结合交集不为空集即可求出 a的取值范围.
【详解】由 A ={x x 3或 x 7}，得 R A ={x 3 x 7}，
因为 B ={x x a}，( R A) B ，
所以a 3 .
故选：A.
10. 【答案】B
【分析】讨论参数 m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求参数范围.
【详解】当 2 m = 0 ，即m = 2 时， 4 0 对任意实数 x都成立，满足；
当 2 m 0 ，即m 2 时，要使题设一元二次不等式在 R 上恒成立，
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2 m 0
则 2 2 m 2 ；
Δ = 4(m 2) 16 (2 m) 0
综上，m 的取值范围是{m | 2 m 2} .
故选：B
二、填空題（每小题 4分，共 16分）
11. 【答案】 ①. 3 ②. 2
【分析】直接利用韦达定理计算即可.
m = 2 1 m = 3
【详解】解：由韦达定理可得 ，解得 .
n = ( 2) ( 1) n = 2
故答案为：3；2.
【点睛】本题考查韦达定理的应用，是基础题
12. 【答案】{x | 3 x 6}
【分析】求出 U A ={x | x 3}，图中阴影部分表示的集合是 B ( U A)，由此能求出结果．
【详解】∵全集U = R, A = x | x 3 ，∴ U A ={x | x 3}，
∵ B = {x | 1 x 6}，
∴图中阴影部分表示的集合是： B ( U A) ={x | 3 x 6}．
故答案为：{x | 3 x 6}．
13. 【答案】 d a c b
【分析】由 a b ，应用一元二次不等式的解法判断 a,b分别与 c 和 d 的大小关系，最后根据 d c得到它
们的大小关系.
【详解】由 a b 且 (c a)(c b) 0，则 a c b，
由 a b 且 (d a)(d b) 0，则 d b 或d a ，
综上，结合 d c，故 d a c b .
故答案为： d a c b
14. 【答案】 ①. 3 ②. 15
【分析】（1）如果 x S ，则6 x S ,若S 是一个单元素集合，则6 x = x得解
（2）讨论集合S 元素个数得解
【详解】（1）S 是一个单元素集合，则6 x = x， x = 3, S = 3
（2）当集合S 元素个数为 1 个时 S = 3
当集合S 元素个数为 2 个时 S = 1,5 , 2, 4 , 0,6 ,
当集合S 元素个数为 3 个时 S = 1,3,5 , 2,3, 4 , 0,3,6 ,
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当集合S 元素个数为 4 个时 S = 1,2,4,5 , 0,1,5,6 , 0,2,4,6 ,
当集合S 元素个数为 5 个时 S = 1,2,3,4,5 , 0,1,3,5,6 , 0,2,3,4,6 ,
当集合S 元素个数为 6 个时 S = 0,1,2,4,5,6 ,
当集合S 元素个数为 7 个时 S = 0,1,2,3,4,5,6 ,
综上满足条件的S 共有 15个
故答案为 3 ；15
【点睛】本题考查集合元素的构成，属于基础题.
三、解答题（共 54分）
15. 【答案】（1） x 1 x 2 ；（2） x 3 x 0 .
【分析】
（1）直接求集合的交集运算解题即可；
（2）先求集合 A，B 的补集，再求交集即可解题.
【详解】（1）因为全集U = R ，集合 A = x 0 x 2 ， B = x x 3或 x 1
所以 A B = x 1 x 2
（2） U A = x| x 0，或 x 2 ； U B = x 3 x 1
( U A) ( U B) = x| x 0，或 x 2 x 3 x 1 = x 3 x 0 .
【点睛】本题考查求集合交集和补集的运算，属于基础题.
16. 【答案】（1） 2,7)
1
（2） a 4或 1 a
2
【分析】（1）可求出集合 B ={x | 2 x 4}， a=2 时求出集合A ，然后进行并集的运算即可；
（2）由集合间的包含关系得 A B ，讨论 A = 和 A ，综合可得解.
【小问 1 详解】
因为 B = x | x2 2x 8 0 ={x | 2 x 4}
当 a=2 时， A ={x |1 x 7}， A B = 2,7)；
【小问 2 详解】
因为 A B = A ，所以 A B ，
①当 A = ，即 a 1 2a + 3，即 a 4时，满足题意，
a 1<2a+3
1
②当 A 时，由 A B ，有 a 1 2 ，解得 1 a ，
2
2a+3 4
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1
综合①②得实数 a的取值范围为： a 4或 1 a
2
1
17. 【答案】（1） (0, ]；
3
（2） ( ,1] [4,+ ) .
x(3x 1) 0
【分析】（1）将分式不等式化为 求解集即可；
x 0
（2）由公式法求绝对值不等式的解集.
【小问 1 详解】
1 x 1 x 3x 1 x(3x 1) 0 1
由 2 2 = 0 0 x ，
x x x x 0 3
1
所以，不等式解集为 (0, ] .
3
【小问 2 详解】
由 5 2x 3，则5 2x 3或5 2x 3，
所以 x 1或 x 4 ，故不等式解集为 ( ,1] [4,+ ) .
18. 【答案】（1） 11
（2）50
2 2
【分析】（1）由题意可得， x1 + x2 = 6， x1 x2 = k ， = 36 4k 0 ，代入到 x1 ·x2 x1 x2 =115，即
可求解；
2
（ ） x2 22 1 + x2 8 = (x + x ) 2x x 8，代入即可求解． 1 2 1 2
【小问 1 详解】
由题意可得， x1 + x2 = 6， x1 x2 = k ， = 36 4k 0 ，
所以 k 9 ，
x2·x2 2∵ 1 2 x1 x2 = k 6 =115，
所以 k =11（舍）或 k = 11，
故 k = 11 .
【小问 2 详解】
2
由题（ 2 21）得 x1 + x2 8 = (x1 + x2 ) 2x1 x2 8 = 36+ 2 11 8 = 50 .
19. 【答案】（1）a = 3,b = 2；
（2）答案见解析.
【分析】（1）由一元二次不等式的解集，结合对应方程根与系数关系列方程求参数；
（2）讨论参数 a，利用一元二次不等式的解法求对应解集.
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【小问 1 详解】
1
由题设， ,1是方程 ax2 bx +1= 0的两个根且 a<0，
3
b 2
= a 3 a = 3
所以 ，满足题设，
1 1 b = 2=
a 3
故 a = 3,b = 2 .
【小问 2 详解】
由题设， ax2 (a +1)x +1 0，
当 a = 0 时， x +1 0 x 1，此时解集为 ( ,1) ；
x2
1 1 1 1 1
当 a<0时， (1+ )x + = (x 1)(x ) 0 x 1，此时解集为 ( ,1) ；
a a a a a
2 1 1 1
当 a 0 时， x (1+ )x + = (x 1)(x ) 0
a a a
1 1
若 1，即 a 1时，解集为 ( , ) (1,+ )；
a a
1 1
若 1，即 0 a 1时，解集为 ( ,1) ( ,+ ) ；
a a
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