北京牛栏山第一中学2023-2024学年上学期高一10月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京牛栏山一中高一 10月月考
数 学
（90 分钟） 2023.10
第一部分（填空题 共 42 分）
一、填空题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分，把答案填在答题卡相应位置上．
AB =
1. 如图，数轴上的两点 A，B，则 BA = ______； ______．
2. 若集合 A = 1,2,3 ， B = 1,3,4 ，则 A B = ______， A B = ______．
2x 1 x2 2x 1
3. 已知分式方程 + = 5，令 = y ，化简可得关于 y 的整式方程为______．
2 2x 2x 1 x
4. 因式分解： ab 2a 2b + 4 = __________.
5. 若 x 1是 2x3 ax2 + 5x 1的一个因式，则a = ______．
1
6. 若 x2 2023x +1= 0 ，则 x + = ______.
x
a3
7. 化简 = ______．
a a
8. 不等式 x 2 1的解集为______．
9. 设 x, y R 2 2，满足方程 x + y =10x 6y 34，则 x + y = ______．
10. 已知集合M = 2,0,11 .若 A M ，且A 的元素中至少含有一个偶数，则满足条件的集合A 的个数为
______.
2
11. 在直角坐标系中将二次函数 y = 2(x 1) 2 的图像向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长
度，则所得抛物线的顶点坐标为______．
1 1 1 b a
12. 若 a,b R ，满足 = ，则 的值为______.
a b a +b a b
2
13. 若m2 = n + 2 ， n = m+ 2(m n)，则m+n = ______．
14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售
出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
第二部分（简答题 共 58 分）
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二、解答题共 6 道题，共 58 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设全集U = R ，集合 A = x | x 1 ， B = x | x a ．
（1）若 U A B ，求 a的取值范围；
（2）若 A B ，求 a的取值范围．
16. 请同学们补全下面两个关于 x的不等式的解答过程．
（1） x
2 + ax + 4 0(a 0)；
2
解：令 y = x + ax + 4(a 0)，
令 x2 + ax + 4 = 0，计算 = a2 16，
当Δ 0时，即 0 a 4 时，方程 x2 + ax + 4 = 0不存在实根；
画 y = x2 + ax + 4草图,
不等式的解集为______．
当Δ = 0时，即______时，方程 x2 + ax + 4 = 0的两根为______．
画 y = x2 + ax + 4草图，
不等式的解集为______．
当 0时，即______时，方程 x2 + ax + 4 = 0的两根为______．
2
画 y = x + ax + 4草图，
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不等式的解集为______．
2
（2） x (x 6x +5) 0．
x (x2解：令 6x +5) = 0（*），
则方程（*）的三个根从小到大排列分别为 x1 = ______； x2 = ______； x3 = ______．
把三个根分别标在 x轴上，并完成表格,
x的取值范围 x x1 x1 x x2 x2 x x3 x x3
x (x2 6x + 5)的符号
请根据表格写出不等式 x (x2 6x +5) 0的解集.
17. 已知 A = x | x = 3k,k Z ， B = x | x = 3k +1,k Z ．
（1）判断 3，5 是否在集合 A中，并说明理由；
（2）判断6m 2(m Z)是否在集合 B中，并说明理由；
（3）若a A ，b B ，判断 a + b 是否属于集合 B，并说明理由．
x + y =1,
18. （1）解关于 x，y的方程组
x
2 y2 = 3.
x = x 1 x = x2 x
2 + 4y2 = 8,
（2）已知 和 是关于 x，y的方程组 （k为参数）的两组不同实数解．
y = y1 y = y2 y = k (x + 4).
2
32k 2 64k 8
求证：① x1 + x2 = ，2 x1x = ； 4k +1 2 4k 2 +1
② x1x2 +8+ 3x1 + 3x2 = 0；
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x2 + 4 x1 + 4
③ = （其中 x1, x2 2 ）． x2 + 2 x1 + 2
19. 证明：
（1）“ a 4 ”是“ x2 ax + 4 = 0 有两个不相等实数根”的充分不必要条件；
2
（2）设集合 A = x | 0 x 1 ，对集合 A中的每一个 x，不等式 ax bx 1均成立的一个必要不充分条
件为 a b +1．
20. 已知 A = (a1,a2 ,a3,a4 )为实数数组，定义集合
P (A) = a1,a2 ,a3,a4 ,a1 + a2 ,a2 + a3,a3 + a4 ,a1 + a2 + a3,a2 + a3 + a4 ,a1 + a2 + a3 + a4 ，给定正整数
m，若 1,2, ,m 1,m P (A)，则称 A为m 连续生成数组．
（1）判断B = (0,2,1,4)是否为5 连续生成数组？是否为 6 连续生成数组？说明理由；
（2）若C = (0,1,a, 2)为 6 连续生成数组，求 a的值，并说明理由；
（3）数组 A = (a1,a2 ,a3,a4 )是否为10 连续生成数组？说明理由．
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参考答案
第一部分（填空题 共 42 分）
一、填空题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分，把答案填在答题卡相应位置上．
1. 【答案】 ①. 2 ②. 2
【解析】
【分析】根据数轴上数的表示，及距离公式求解.
【详解】∵数轴上的两点 A，B对应的数分别是 1，3，
∴ BA =1 3 = 2 ， AB = 3 1= 2．
故答案为： 2， 2 ．
2. 【答案】 ①. 1, 2,3, 4 ②. 1,3
【解析】
【分析】根据并集、交集的定义求解.
【详解】集合 A = 1,2,3 ， B = 1,3,4 ，则 A B = 1,2,3,4 ， A B = 1,3 .
故答案为： 1, 2,3, 4 ， 1,3 .
3. 【答案】 y2 5y +1= 0（ y 1且 y 0 ）
【解析】
2x 1
【分析】先考虑 = y 的范围 ，再代入分式方程，去分母化简整理可得答案.
x2
2
2x 1 1 2 1
【详解】∵ y = = + = 1 +1 1，（ x =1时取等号），
x2 x2 x x
又由题意得 y 0 ，∴ y 1且 y 0 .
2x 1 2x 1 x2 1
将 = y ，代入
2 + = 5，得 y + = 5 ， x x2 2x 1 y
化简整理可得关于 y 的整式方程为 y2 5y +1= 0（ y 1且 y 0 ）.
故答案为： y2 5y +1= 0（ y 1且 y 0 ）.
4. 【答案】 (a 2) (b 2)
【解析】
【分析】提取公因式即可分解因式.
【详解】 ab 2a 2b + 4 = a (b 2) 2(b 2) = (a 2) (b 2) .
故答案为： (a 2) (b 2) .
5. 【答案】6
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【解析】
2 3 2
【分析】设多项式的另一个因式为 2x2 + bx + c，则 (x 1)(2x +bx + c) = 2x ax +5x 1，展开整
理，利用对应项系数相等即可求得 a,b,c 的值．
【详解】设多项式的另一个因式为 2x2 + bx + c，
则 (x 1)(2x2 +bx + c) = 2x3 ax2 +5x 1，
3
展开整理得， 2x + (b 2) x2 + (c b) x c = 2x3 ax2 + 5x 1，
b 2 = a

所以 c b = 5 ，解得 a = 6,b = 4,c =1 .

c = 1
故答案为：6．
6. 【答案】 2023
【解析】
【分析】整理方程，将目标式子化简即可求解.
【详解】因为 x2 2023x +1= 0 ，所以 x2 +1= 2023x，
1 x2 +1 2023x
所以 x + = = = 2023 .
x x x
故答案为： 2023 .
7. 【答案】 1
【解析】
【分析】将根式化成指数幂，再根据指数幂的运算法则计算.
3 3
a3 ( a)2 ( a)2
【详解】 = = = 1 . 1 3
a a ( a) ( a)2 ( a)2
故答案为： 1 .
8. 【答案】 (1,3)
【解析】
【分析】利用绝对值不等式的解法求解.
【详解】由 x 2 1得 1 x 2 1，解得1 x 3，
故不等式 x 2 1的解集为 (1,3) .
故答案为： (1,3) .
9. 【答案】2
【解析】
【分析】利用完全平方公式和非负数的性质求得 x, y 的值，然后代入求值即可.
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【详解】∵ x2 + y2 =10x 6y 34，
∴ x2 + y2 10x + 6y + 34 = 0
∴ 2. (x 10x + 25) + (y2 + 6y + 9) = 0，
∴ (x 5)2 + (y + 3)2 = 0，
∴ x = 5, y = 3，
∴ x + y = 5+ ( 3) = 2 .
故答案为：2.
10. 【答案】5
【解析】
【详解】满足条件的集合A 有 2 、 0 、 2,0 、 2,11 、 0,11 .共 5 个.
故答案为 5
11. 【答案】 (0, 1)
【解析】
【分析】首先得到平移后的函数解析式，从而求出其顶点坐标.
2
【详解】将二次函数 y = 2(x 1) 2的图像向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到
2
y = 2 (x +1) 1 2+1，
即 y = 2x2 1，
所以函数的顶点坐标为 (0, 1) .
故答案为： (0, 1)
12. 【答案】1
【解析】
【分析】对已知方程等价变形即可求解.
1 1 1 a + b a +b b a b a
【详解】因为 = ，所以 =1，所以 1+ 1+ =1，所以 =1.
a b a +b a b a b a b
故答案为：1 .
13.【答案】 1
【解析】
【分析】两式作差，利用平方差公式求解．
【详解】∵m n，∴m n 0，
若m2 = n + 2 ， n2 = m + 2 ，
2
两式作差得m n
2 = n + 2 (m+ 2)，即 (m + n)(m n) = n m，
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两边同时除以m n得：m + n = 1．
故答案为： 1．
14. 【答案】 ①. 16； ②. 29
【解析】
【详解】试题分析：①设第一天售出商品的种类集为 A，第二天售出商品的种类集为 B，第三天售出商品
的种类集为 C，
如图，
则第一天售出但第二天未售出的商品有 19﹣3＝16 种；
②由①知，前两天售出的商品种类为 19+13﹣3＝29 种，第三天售出但第二天未售出的商品有 18﹣4＝
14 种，当这 14 种
商品第一天售出但第二天未售出的 16 种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的
商品种类最少为 29 种．
故答案为①16；②29．
【名师点睛】
本题将统计与实际情况相结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的
情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.
第二部分（简答题 共 58 分）
二、解答题共 6 道题，共 58 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 【答案】（1）a 1
（2）a 1
【解析】
【分析】（1）由补集定义可得 U A ，由包含关系可得 a的范围；
（2）根据交集的定义可直接求得结果．
【小问 1 详解】
A = x | x 1 ，则 U A = x | x 1 ，
又 B = x | x a ， U A B ，所以a 1．
【小问 2 详解】
A = x | x 1 ， B = x | x a ，
若 A B ，则a 1．
16. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）结合判别式，根据一元二次方程和二次函数，一元二次不等式的关系求解；
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（2）根据方程的根与不等式解集的关系求解.
【小问 1 详解】
2
令 y = x + ax + 4(a 0)，
令 x2 + ax + 4 = 0，计算 = a2 16，
当Δ 0时，即 20 a 4 时，方程 x2 + ax + 4 = 0不存在实根；画 y = x + ax + 4草图，
不等式的解集为R ．
当Δ = 0时，即 a = 4时，方程 2x2 + ax + 4 = 0的两根为 x1 = x2 = 2．画 y = x + ax + 4草图，
不等式的解集为 x | x 2 ．
a a2 16 a + a2 16
当 0时，即 a 4时，方程 x2 + ax + 4 = 0的两根为 x1 = , x2 = ．
2 2
画 y = x2 + ax + 4草图，
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a a
2 16 a + a2 16
不等式的解集为 x x 或 x ．
2 2
【小问 2 详解】
x (x2令 6x +5) = 0（*），
则方程（*）的三个根从小到大排列分别为 x1 = 0； x2 = 1； x3 = 5．
把三个根分别标在 x轴上，
2
x 0 时， x2 6x + 5 0 ，则 x (x 6x +5) 0，
0 x 1时， x2 6x + 5 0 ，则 x (x2 6x +5) 0，
2
1 x 5时， x2 6x + 5 0，则 x (x 6x +5) 0，
x 5时， x2 6x + 5 0 ，则 x (x2 6x +5) 0，
完成表格，
x的取值范围 x x1 x1 x x2 x2 x x3 x x3
x (x2 6x + 5)的符号 － ＋ － ＋
2
根据表格可得，不等式 x (x 6x +5) 0的解集为{x | x 0 或1 x 5}.
17. 【答案】（1）3 在集合 A中，5 不在集合 A中，理由见解析
（2）6m 2(m Z)在集合 B中，理由见解析
（3） a + b 属于集合 B ，理由见解析
【分析】（1）根据集合 A中元素的特征判断求解；
（2）根据集合 B 中元素的特征判断求解；
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（3）设 a = 3p, p Z，b = 3q +1,q Z ，进而根据集合 B 中元素的特征判断求解.
【小问 1 详解】
∵3 = 3 1，∴3 在集合 A中，
5
令3k = 5，则 k = Z，故 5 不在集合 A中.
3
【小问 2 详解】
6m 2 = 3(2m 1)+1，且 2m 1 Z ，故6m 2(m Z)在集合 B中.
【小问 3 详解】
设 a = 3p, p Z，b = 3q +1,q Z ，
则 a +b = 3( p + q)+1, p + q Z ，
所以 a + b 属于集合 B .
18. 【答案】（1） (2, 1) ，（2）证明见解析
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）由方程组消元得一元二次方程，结合韦达定理证明即可.
x + y =1
【详解】（1）由方程组 ，消元得 2x 4 = 0，解得 x = 2 ，从而 y =1 2 = 1， 2 2
x y = 3
∴方程组的解为 (2, 1) .
2 2
x + 4y = 8 (4k 2（2）由方程组 ，消元得 +1) x2 +32k 2x + 64k 2 8 = 0（*），
y = k (x + 4)
由题意， x1, x2 是此方程（*）的两个不同实根，
2
则 = (32k 2
1 1
) 4(4k 2 +1)(64k 2 8) 0 ，得16k 2 1 0 ，即 k ，
4 4
32k 2 64k 2 8
①由韦达定理得 x1 + x2 = ，2 x x = ； 4k +1 1 2 4k 2 +1
64k 2 8 3( 32k 2 ) 64k 2 8+32k 2 +8 96k 2
② x1x2 +8+3x1 +3x = +8+ = = 0；
2
4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
③∵ (x2 + 4)(x1 + 2)+ (x1 + 4)(x2 + 2) = 2 x1x2 +3(x1 + x2 )+8 = 2 0 = 0，
x2 + 4 x + 4
∵ x + 2 0, x + 2 0，∴ =
1
1 2 ．
x2 + 2 x1 + 2
19. 【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）利用充分条件与必要条件的概念，结合方程的判别式证明；
（2）利用充分条件与必要条件的概念，结合特值法证明.
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【小问 1 详解】
x2 ax + 4 = 0 有两个不相等实数根 = a2 4 4 0 a 4或 a 4 .
“ a 4 ”可以推出“ a 4或 a 4 ”， “ a 4或 a 4 ”不能推出“ a 4 ”，
所以“ a 4 ”是“ x2 ax + 4 = 0 有两个不相等实数根”的充分不必要条件.
【小问 2 详解】
若对集合 A = x | 0 x 1 x 2中的每一个 ，不等式 ax bx 1均成立，
令 x =1得 a b 1，∴ 1 a b 1，∴b 1 a b +1，从而 a b +1成立.
2 2
若 a b +1，取 a = 1,b =1，则 ax bx 1可化为 x + x 1，
2
当 x =1时，满足0 x 1，但 x + x = 2 1 ax bx
2
，即不等式 1不成立.
综上，设集合 A = x | 0 x 1 ，对集合 A中的每一个 x，不等式 ax bx2 1均成立的一个必要不充分
条件为 a b +1．
20. 【答案】（1）B = (0,2,1,4)是5 连续生成数组，不是 6 连续生成数组，理由见解析
（2） a = 3 ，理由见解析
（3）数组 A = (a1,a2 ,a3,a4 )不是10 连续生成数组，理由见解析
【分析】（1）根据m 连续生成数组的定义，结合子集的概念求解；
（2）根据题意，得出 P (C )中元素的可能取值，结合子集的概念求解；
（3）根据题意 P (A) = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，从而 a1,a2 ,a3,a4 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，集合
P (A) , 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 中元素求和可得 4(a1 + a4 ) + 6(a2 + a3) = 55，进而可得出答案.
【小问 1 详解】
B = (0,2,1,4)， P (B) = 0,1,2,3,4,5,7 ，
∵ 1,2,3,4,5 P (B)，∴ B = (0,2,1,4)是5 连续生成数组，
∵ 1,2,3,4,5,6 不是 P (B)的子集，∴ B = (0,2,1,4)不是 6 连续生成数组.
【小问 2 详解】
C = (0,1,a, 2)， P (C )中元素可能取值为0,1,2,a,a +1,a + 2,a +3，
若C = (0,1,a, 2)为 6 连续生成数组，即 1,2,3,4,5,6 P (C )，
则 a = 3 .
【小问 3 详解】
若 A = (a1,a2 ,a3,a4 )为10 连续生成数组，则 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 P (A)，
又 P (A) = a1,a2 ,a3,a4 ,a1 + a2 ,a2 + a3,a3 + a4 ,a1 + a2 + a3,a2 + a3 + a4 ,a1 + a2 + a3 + a4 中最多有 10 个
元素，
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则 P (A) = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，从而a1,a2 ,a3,a4 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，
∴ a1 + a2 + a3 + a4 + (a1 + a2 )+ (a2 + a3)+ (a3 + a4 )+ (a1 + a2 + a3)+ (a2 + a3 + a4 )
+(a1 + a2 + a3 + a4 ) =1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7 +8+9+10 ，
即 4(a1 + a4 ) + 6(a2 + a3) = 55，
∵ a1,a2 ,a3,a4 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，∴ 4(a1 + a4 ) + 6(a2 + a3)为偶数，
而 55 为奇数，4(a1 + a4 ) + 6(a2 + a3) = 55不能成立，
∴数组 A = (a1,a2 ,a3,a4 )不是10 连续生成数组.
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