北京清华大学附属中学朝阳学校2023-2024学年上学期高一10月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京清华附中朝阳学校高一 10 月月考
数 学
（清华附中朝阳学校 望京学校） 2023 年 10 月
一、单选题（只有一个正确答案，每小题 4 分，共 40 分）
1．已知集合 A ={x | 2 x 1}， B = 2, 1,0,1 ，则 A B =（ ）
A． 2, 1,0,1 B． 2, 1,0 C． 1,0 D． 1,0,1
．命题 x 0, x22 “ + x +1 0 ”的否定为（ ）
2
A． x 0, x2 + x +1 0 B． x 0, x + x +1 0
． x 0, x2C + x +1 0 2 D． x 0, x + x +1 0
3．已知实数a,b,c ,若 a b c ,则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A．a b b c B．ac b2 C．a (a c) b (b c) D．
b c a c
4．与函数 f (x) = x 表示同一函数的是（ ）
x2
A． f (x) = 2 B． f (x) = ( x ) C． f (x) = 3 x3 D． f (x) = x2
x
1
5．已知 x 2，则 x + 的最小值是（ ）
x 2
A．3 B．4 C．5 D．2
6．不等式 2 2ax bx + c 0的解集为 x 2 x 1 ，则函数 y = ax bx + c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．设 x R ，则“ 0 x 5 ”是“ x 1 1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设集合M = x∣x = k 2 +1,k * , N = x∣x = m2N 4m+ 5,m *N ，则（ ）
A．M N B．M N
C． N M D．M N =
1 2
9．已知正数 a，b满足a + 2b = 6 ，则 + 的最小值为（ ）
a + 2 b+1
7 10
A． B．
8 9
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9 8
C． D．
10 9
10．已知 a,b (0,+ )，且不等式 a + b m2 2m + 6对任意m 2,3 恒成立，则 a +1+ b +1的最大值为
（ ）
A． 2 B． 2 2 C． 4 D． 4 2
二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）
2
11．已知集合 A = x | 1 2x 1 3 , B = x | x 3x 0 ，则 A B = ．
1
12．函数 f (x) = + 1 x 的定义域是 ．
x
13．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg / L ）随时
20t
间 t （单位： h ）的变化关系为C = ，则经过 后池水中药品的浓度达到最大.
t2
h
+ 4
14．已知集合 A = {0,1}，B ={(x,y) | x A,y A,x y A}，则集合 B的子集共有 个．
15．已知命题 p：“ x 0,2 ， x2 2x a ”，则 p为真命题的一个必要不充分条件是 ．
16．有下列命题：
1
①不等式 (2x 1)(1 x) 0的解集为 x x 或x 1 ；
2
2 1
②若 x R ，函数 y = x + 4 + 的最小值是 2 ；
x2 + 4
③对于 x R ， ax2 + 4x 2x2 1恒成立，则实数 a的取值范围是 6,+ )；
1 2 1
④已知 p： x 3，q： x a + x +1 0（ a 0），若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围
2 a
1
是 0,
3
3,+ ) .

其中真命题的序号为 ．（把所有正确答案的序号填写在横线上,多选、错选不给分）
三、解答题（共 6 个小题，共 80 分）
2
17．（本小题满分 12 分）已知 a，b 为常数，且 a 0， f (x) = ax +bx ， f (2) = 0 ，方程 f (x) = x有两个
相等实根．
(1)求函数 f ( x)的解析式；
(2)当 x ( 1，2 时，求函数 f ( x)的值域．
18．（本小题满分 13 分）已知集合 A ={x | 2 x 6}， B ={x |1 x 5}，C ={x | m x m +1}，U = R ．
(1)求 A B ， ( U A) B ；
(2)若C B，求m 的取值范围．
19．（本小题满分 14分）已知x 、x 21 2是方程 4kx 4kx + k +1= 0的两个实数根.
(1)求 k 的取值范围；
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2
(2)求 x1 + x
2
、 x1 x2 2 .（结果用 k 表示）
3
(3)是否存在实数 k ，使 (2x1 x2 )(x1 2x2 ) = 成立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由.
2
20．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x) = ax2 + bx +1.．
1
(1)若关于 x的不等式 f (x) 0的解集为 ,1 ，求 a，b的值；
2


(2)若 a =1，且 x [ 2, 1]时， f (x) 0恒成立，求实数 b的取值范围；
(3)若b = a 1且 a 0，解关于 x的不等式 f (x) 0 ．
21．（本小题满分 13 分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y（千辆/小
920v
时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为： y = v 0 ．
v2
( )
+3v +1600
(1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
(2)若要求在该时段内车流量超过 10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
22．（本小题满分 14 分）对非空数集A ， B ，定义 A B = x y x A, y B ，记有限集T 的元素个数为
T .
（1）若 A = 1,3,5 ，B = 1,2,4 ，求 A A ， B B ， A B ；
（2）若 A = 4， A *N ，B = 1,2,3,4 ，当 A B 最大时，求A 中最大元素的最小值；
（3）若 A = B = 5， A A = B B = 21，求 A B 的最小值.
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参考答案
1．B
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为 A = x 2 x 1 ，B = 2, 1,0,1 ，
所以 A B = 2, 1,0 ，
故选：B
2．A
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.
【详解】由于特称命题的否定为全称命题，
故命题 x 0, x2“ + x +1 0 ”的否定为 2“ x 0, x + x +1 0”
故选：A．
3．D
【分析】由 a b c不妨取特殊值将选项 A,B,C 排除,关于 D,由 a b c ,即有 a c b c 0 ,取倒数即可证明
选项正误.
【详解】解:由题知 a b c ,
不妨取 a = 3,b = 2,c = 1,
则有 a b =1 b c = 3 ,
ac = 3 b2 = 4 ,
故选项 A,B 错误;
关于选项 C,
不妨取 a = 1,b = 2,c = 3,
a (a c) = 2 = b(b c) = 2 ,
故选项 C 错误;
关于选项 D,
a b c, a c b c 0 ,
1 1
0 ,
b c a c
故选项 D 正确.
故选:D
4．D
【分析】根据函数与函数之间的相等的定义，逐个选项进行判断求解即可.
【详解】 f (x) = x 的定义域为 x R ，
x2
对于 A， f (x) = 的定义域为 x R x 0 ，定义域不一致，A 错误；
x
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2
对于 B， f (x) = ( x ) 的定义域为 x R x 0 ，定义域不一致，B 错误；
对于 C， f (x) = 3 x3 = x，其解析式不一致，C 错误；
对于 D， f (x) = x2 = x ，其定义域和解析式与 f (x) = x 一致，故 D 正确；
故选：D
5．B
【分析】根据基本不等式即可求解最值.
1 1 1
【详解】由于 x 2，故 x 2 0，所以 x + = x 2+ + 2 2 (x 2) + 2 = 4，当且仅当
x 2 x 2 x 2
1 1
x 2 = ，即 x = 3时等号成立，故 x + 最小值为 4，
x 2 x 2
故选：B
6．A
【分析】根据题意，可得方程 ax2 bx + c = 0的两个根为 x = 2和 x=1，且 a<0，结合二次方程根与系数的
关系得到 a、b 、 c的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】因为 ax2 bx + c 0的解集为 x 2 x 1 ，
所以方程 ax2 bx + c = 0的两根分别为 2和 1，且 a<0，
b
2+1= ,
a b = a,
则 变形可得
c c = 2a,( 2) 1= ,
a
2 2
故函数 y = ax bx + c = ax + ax 2a = a (x + 2)(x 1)的图象开口向下，
且与 x轴的交点坐标为 (1,0)和 ( 2,0)，故 A 选项的图象符合.
故选：A
7．B
【分析】求出 x 1 1的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】 x 1 1等价于0 x 2，故0 x 5推不出 x 1 1；
由 x 1 1能推出0 x 5．
故“ 0 x 5 ”是“ | x 1| 1”的必要不充分条件．
故选 B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据 p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由 p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个
方法特别适合以否定形式给出的问题．
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8．B
【分析】列出集合M 、 N ，可判断两者之间的关系.
2 *
【详解】∵集合M = x∣x = k +1,k N = 2,5,10,17,26, ，
N = 2x∣x = (m 2) +1,m *N = 1,2,5,10,17,26, ，
∴M N .
故选：B.
9．C
【分析】由 a + 2b = 6 ，得到 a + 2+ 2b + 2 =10 ，再利用“1”的代换求解.
【详解】解：因为 a + 2b = 6 ，
所以 a + 2+ 2b + 2 =10 ，
1 2 1 1 4 1 2b + 2 4(a + 2) 9
所以 + = + (a + 2+ 2b+ 2) 5+ 2 = ，
a + 2 b +1 10 a + 2 2b + 2 10 a + 2 2b + 2
10

4 7
当且仅当 2b + 2 = 2(a + 2)，即 a = ，b = 时，等号成立．
3 3
故选：C
10．C
【分析】利用二次函数配方得m2 2m + 6 的最小值，再由基本不等式得到关于 ab的范围，将所求平方即
可代入求解
【详解】由题意不等式 a + b m2 2m + 6对任意m 2,3 恒成立
2
2 a +b
又m2 2m+ 6= (m 1) + 5 6,9 ∴a+b≤6 则ab 9 当且仅当 a = b = 3 成立
2
2
( a +1+ b+1) =a +b+ 2+ 2 a +1 b+1 = a +b+ 2+ 2 ab+ a + b+1 6+2+8=16 故 a +1+ b +1 4
故选：C
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，综合考查基本不等式与不等式的解法，恒成立的问题一般与最
值有关．
11． x | 0 x 3
【分析】分别解出 A，B 集合，由并集运算求解.
【详解】 A = x | 0 x 2 , B = x | 0 x 3 ,则 A B = x | 0 x 3 .
故答案为： x | 0 x 3 .
12． ( ,0) (0,1
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
1 1 x 0
【详解】解：因为 f (x) = + 1 x ，所以 ，解得 x 1且 x 0，
x x 0
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故函数的定义域为 ( ,0) (0,1 ；
故答案为： ( ,0) (0,1
13．2
20t 20 20
=
【详解】C＝ t 2 + 4 4 4 ＝5
t +
t
4
当且仅当 t = 且 t＞0，即 t＝2 时取等号
t
考点：基本不等式，实际应用
14．8
【分析】利用集合的定义及子集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，当 x = 0 时， y = 0 ； x y = 0 A ,
当 x =1时， y = 0 或 y =1； x y =1 0 =1 A或 x y =1 1= 0 A，
所以 B ={(0,0),(1,0) ,(1,1)}，
所以集合 B的子集共有 23 = 8个.
故答案为：8 .
15．a 1（答案不唯一）
【分析】根据已知命题为真求对应参数 a的范围，再结合充分、必要性定义写出一个必要不充分条件.
【详解】由0 x 2得： 1 x2 2x 0，所以 p为真命题的充要条件是 a 0 ，
故一个必要不充分条件是a 1．
故答案为：a 1（答案不唯一）
16.①③④
1
17．(1) f (x) = x2 + x ；
2
3 1
(2) ,
2 2


2
【分析】（1）根据题意得到 = (b 1) = 0， f (2) = 4a + 2b = 0，再分别解方程即可得到答案.
1 2 1
（2）首先根据题意得到 f (x) = (x 1) + ，再结合单调性求解值域即可.
2 2
【详解】（1）因为方程 f (x) = x有两个相等实根，
2 2
所以 ax + (b 1) x = 0， = (b 1) = 0，即b =1.
1
又因为 f (2) = 4a + 2b = 0，解得 a = .
2
1 2
所以 f (x) = x + x .
2
1 2 1 1 2 1
（2）因为 x ( 1,2 ， f (x) = (x 2x +1)+ = (x 1) +
2 2 2 2
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所以 函数 f ( x)是开口向下的抛物线，对称轴是 x =1，
1
所以当 x =1时， f ( x)取得最大值 f (x) = ；
max 2
3
当 x= 1时， f ( 1) = ，
2
3 1
所以 f ( x)的值域是 , .
2 2


18．(1) A B ={x |1 x 6}， ( U A) B ={x |1 x 2}
(2)[1, 4]
【分析】（1）利用集合的交、并、补运算即可求解.
m 1
（2）利用集合的包含关系列不等式组 ，解不等式组即可求解.
m +1 5
【详解】（1）因为集合 A ={x | 2 x 6}，B ={x |1 x 5}，
所以 U A ={x | x 2或 x 6}，
故 A B ={x |1 x 6}， ( U A) B ={x |1 x 2}；
（2）因为C ={x | m x m +1}，且C B，
m 1
则 ，解得1 m 4，
m +1 5
所以 m的取值范围为[1, 4]．
19．17．(1) k k 0
2 2 k 1 1
(2) x1 + x2 = ， x x =
2k 1 2 k
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得出 0且 k 0，可求出实数 k 的取值范围；
2 2
（2）根据韦达定理可得出 x1 + x 、 x1 x2 2 关于 k 的表达式；
3
（3）根据 (2x1 x2 )(x1 2x2 ) = 结合韦达定理定理可得出关于 k 的等式，求出 k 的值，结合 k 0 可得出
2
结论.
【详解】（1）解：因为x 、x1 2是方程 4kx
2 4kx + k +1= 0的两个实数根，
则 =16k
2 4 4k (k +1) = 16k 0，且 4k 0，解得 k 0 .
所以，实数 k 的取值范围是 k k 0 .
（2）解：因为x 、x1 2是方程 4kx
2 4kx + k +1= 0的两个实数根，
k +1
由韦达定理可得 x1 x2 =1， x1x2 = ，
4k
2 2 k +1 k 1
所以， x1 + x
2
2 = (x1 + x2 ) 2x1x2 =1 = ，
2k 2k
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2 k +1 1
x1 x = (x . 2 1 + x2 ) 4x1x2 = 1 =
k k
3
（3）解：若存在实数 k ，使 (2x1 x2 )(x1 2x2 ) = ，
2
5 k +1
2 2 k 1 ( ) k +9 3 9即 2x1 + 2x2 5x1x = 2 = = ，解得 k = ，不合乎题意，舍去. 2
2k 4k 4k 2 5
3
因此，不存在实数 k 的值，使得 (2x1 x2 )(x1 2x2 ) = .
2
b = 3
20．(1) ;
a = 2
5
(2) ,+ ;
2
1
(3)当 a =1时，不等式 f (x) 0的解集为 x x 1 ；当 0 a 1时，不等式 f (x) 0 的解集为 x x 或
a
1
x 1 ；当 a 1时，不等式 f (x) 0的解集为 x x 或 x 1 .
a

a 0

1 b
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得到 +1= ，解之即可得到结果；
2 a
1 1
1=
2 a
x2 x2+1 +1
（2）原题等价于 x [ 2, 1]时， b恒成立，进而求出 在 x [ 2, 1]上的最小值即可得出结
x x
果；
（3）首先求出方程 (ax 1)(x 1) = 0 的两根，进而根据两根的大小进行分类讨论即可求出结果.

a 0

1 1 b
【详解】（1）由题意可得 a 0，且 和 1 是关于 x的方程ax2 + bx +1= 0的根，即 +1= ，解得
2
2 a
1 1
1= 2 a
b = 3
，
a = 2
2
（2）由题意可得 ax + ( a 1) x +1 0,a 0，即 (ax 1)(x 1) 0,a 0
1
方程 (ax 1)(x 1) = 0 的两根为 x , x 1，
a
1 2
当 =1时，即 a =1，不等式 ax + ( a 1) x +1 0的解集为 x x 1 ，
a
1 2 1
当 1时，即 0 a 1，不等式 ax + ( a 1) x +1 0的解集为 x x 或 x 1 ，
a a
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1 2 1
当 1时，即 a 1，不等式 ax + ( a 1) x +1 0的解集为 x x 或 x 1 ，
a a
1
综上：当 a =1时，不等式 f (x) 0 的解集为 x x 1 ；当 0 a 1时，不等式 f (x) 0 的解集为 x x 或
a
1
x 1 ；当 a 1时，不等式 f (x) 0的解集为 x x 或 x 1 .
a
920
21．(1)当v = 40km / h时，车流量最大，最大车流量约为 千辆/时；
83
(2)大于 25km / h 且小于64km / h ．
【分析】（1）根据基本不等式即可求得 y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．
（2）在该时间段内车流量超过 10 千辆/小时时，解不等式即可求出 v的范围．
【详解】（1）依题意，由于 v 0 ,
920v 920 920 920
y = = =
所以 v
2 + 3v +1600 1600
v + + 3 1600
83
2 v + 3
v v
1600
当且仅当 v = ，即 v = 40时，上式等号成立，
v
920
∴ ymax = （千辆/时）．
83
920
当 v = 40km/h时，车流量最大，最大车流量约为 千辆/时；
83
920v
（2）由条件得 10 ,
v2 +3v +1600
整理得 v2 89v +1600 0，即 (v 25)(v 64) 0，解得 25 v 64，
所以，如果要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时，则汽车的平均速度应大于 25km/h 且小于64km/h ．
22．（1） A A = 5, B B = 7, A B = 7；（2）13；（3）15
【解析】（1）根据新定义求出 A A, B B, A B，进而可得答案；

（2）设 A = a,b,c,d N ， a b c d ，当 A中元素与 B中元素的差均不相同时， A B 可取到最大
值，进而可求出最大值，再通过b a 4,c b 4,d c 4得到d a 12，可得A 中最大元素的最小值；

（3）对非空数集 T，定义运算T = x y | x, y T , x y ，首先确定 A中不同的元素的差均不相同，B中不
1
同的元素的差均不相同，由 A B A B A
B 可得 A B 的最小值，然后验证最小值可以取到即可.
2
【详解】解：（1） A = 1,3,5 ，B = 1,2,4 ，
A A = 4, 2,0,2,4 , B B = 3, 2, 1,0,1,2,3 , A B = 3, 1,0,1,2,3,4 ，
A A = 5, B B = 7, A B = 7 ;
（2）设 A = a,b,c,d N ， a b c d ，
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① A = B = 4，
A B 42 =16，当 A中元素与 B中元素的差均不相同时等号成立，
所以 A B 最大值为 16；
②当 A B =16时，A中元素与 B中元素的差均不相同，
(A A) (B B) = 0 ，
又因为 B B = 3, 2, 1,0,1,2,3 ，
b a 4,c b 4,d c 4，
d a 12，
则 d 13，
综上， A B 最大值为 16，A中最大元素的最小值为 13；

（3）对非空数集 T，定义运算T = x y | x, y T , x y ，
① A = 5 ,
A A 5 (5 1)+1= 21 ，当且仅当 A = 5 (5 1) = 20时取等号，
又因为 A A = 21，
所以 A中不同的元素的差均不相同，
同理，B中不同的元素的差均不相同，
若 a,a A,b,b B
因为 a b = a b a a = b b a a = b b ，
1 1
A B A B A B 5 5 20 =15，
2 2
②令 A = 1,2,4,8,16 ，B = 1, 2, 4, 8, 16 ，
所以 A = B = 5，A中不同元素的差均不相同，B中不同元素的差均不相同，
所以 A A = B B = 21，
经检验， A B =15符合题意，
综上 A B 的最小值为 15.
【点睛】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力，
是一道难度较大的题目.
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