北京中国人民大学附属中学2023-2024学年上学期高一（上）统练一数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京人大附中高一（上）统练一
数 学
一、选择题（每小题 5分，共 50分）
x 0, x2 x 0
1. 命题：“ ”的否定是（ ）
x 0, x2A. x 0 B. x 0, x2 x 0
C. x 0, x2 x 0 2 D. x 0, x x 0
2.设全集U = 0,1,2,3,4,5 ， A = 1,3 ， B = 2,4 ，则 ( AU ) ( B =U ) （ ）
A. 0,5 B. 1, 2,3, 4 C. 0,1,2,3,4,5 D. 0,1,2,5
3. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不
一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ）
A. ( U A) ( U B) B. ( U A) ( U B)
C. ( U B) A D. ( U A) B
2
5. 设集合 A = 1，4，x ， B = 1，x ，且 A B = 1，4，x ，则满足条件的实数 x的个数是
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个.
6. 命题甲： x 2或 y 3；命题乙： x + y 5，则甲是乙的
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D.既不充分又不必要条件
7. 设 p : a 1 b,q : ab +1 a + b，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 若命题“ x 0,3 ， x2 2x a 0”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（ ）
A. 1 B. 0 C. 1 D. 3
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9. 对于集合 A，B，我们把集合 x x A且x B 且叫做集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B．现已知集
合 A ={1, 2,3, 4,5}， B ={2,3,4,6,7}，则下列说法不正确的是（ ）
A. A B ={1,5} B. B A ={6,7}
C. A (A B) = B D. A (A B) = A B
1, i A
10. 设集合A 是集合 N *的子集，对于 i N *，定义 i (A) = ，给出下列三个结论：①存在 N *
0, i A
的两个不同子集 A, B ，使得任意 i N *都满足 i (A B) = 0 且 i (A B) =1；②任取 N *的两个不同子
集 A, B ，对任意 i N *都有 A, Bi (A B) = i (A) i (B)；③任取 N *的两个不同子集 ，对任意
i N *都有 i (A B) = i (A)+ i (B)；其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
二、填空题（每小题 5分，共 25分）
11. 已知集合 A = x x a ， B = x 1 x 2 ，若 B A，则实数 a的取值范围是______．
1 1
12. 能说明“若 a﹥b，则 ”为假命题的一组 a，b的值依次为_________.
a b
13. 若存在性命题: x∈R，使得mx2 +1 0是假命题，且全称命题: x R, x2 2mx +1 0是真命题，则实
数 m的取值范围是_____.
14. 已知 x 表示不大于 x的最大整数， A = y | y = x [x] ， B = y | 0≤ y≤m ，若 y A是 y B 的
充分不必要条件，则m 的取值范围是______.
15.设非空集合 S = x m≤ x≤ l 满足：当 x S 时，有 x2 S ，给出如下四个命题：
1 1 1 2
①若m =1，则 S = 1 ；②若m = ，则 ≤ l≤1；③若 l = ，则 ≤m≤0；④若 l =1，则
2 4 2 2
1 m 0 或m =1；
其中正确命题的序号为____________
三、解答题（共 35分）
16. 设集合U = R ， A = x 0 x 3 ， B = x m 1 x 2m .
（1）m = 3，求 A∩( U B)；
（2）若 B A ，求m 的取值范围.
17. 设命题 p ：关于 x的方程 x2 +mx +1= 0有两个不相等的实数根， q ：关于 x的方程
4x2 + (4m 2) x +1= 0 无实数根．
（1）若 q 为真，求实数m 的取值范围；
（2）若 p 且 q 为假， p 或 q 为真，求实数m 的取值范围．
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18. 给定整数 i ，如果非空集合T 满足：
一：T N *，T 1 ，
二： x， y N *，若 x + y T ，则 xy i T ，那么称集合T 为“减 i 集”.
（1） P = 1, 2 是否为“减 0 集”？是否为“减 1 集”？
（2）是否存在“减 2 集”？如存在，求出所有“减 2 集”；如不存在，请证明.
（3）是否存在“减 1 集”？如存在，求出所有“减 1 集”；如不存在，请证明.
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参考答案
一、选择题（每小题 5分，共 50分）
1. 【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论即得.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题： x 0, x2“ x 0 ”的否定是“ x 0, x2 x 0 ”.
故选：C.
2. 【答案】C
【分析】根据补集的概念，即可求出 U A, U B ，再根据并集运算，即可求出结果.
【详解】由题意可知 A = 0,2,4,5 , B = 0,1,3,5U U ，
所以 ( A) ( B) = 0,1,2,3,4,5U U .
故选：C.
3. 【答案】B
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.
故选：B
4. 【答案】C
【分析】图中阴影部分是集合 A与集合 B的补集的交集.
【详解】图中阴影部分是集合 A与集合 B的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用 ( U B) A 表示.
【点睛】本题考查了用韦恩图表示集合间的关系，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于基础题.
5. 【答案】C
【分析】根据集合元素的互异性，得 x≠±1 且 x≠4．再由 A∪B={1，4，x}，得 x2=x或 x2=4，可解出符合题
意的 x 有 0，2，-2 共 3 个．
【详解】 A = 1，4，x ， B = 1，x2 ，
所以由集合的互异性可得 x = 1且 x 4，
A B = 1，4，x ，则 x2 = x或 x2 = 4
解之得 x = 0 或 x = 2
满足条件的实数 x有0，2， 2 共 3 个，
故选 C.
【点睛】本题给出含有未知数 x 的集合 A、B，在已知它们并集的情况下求实数 x 值，着重考查了集合元
素的基本性质和集合的运算等知识，属于基础题．
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6. 【答案】B
【详解】试题分析：若 x 2 或 y 3则 x + y 5的逆否命题为：若 x + y = 5则 x = 2 且 y = 3 为假命题，
则原命题不成立，即充分条件不成立；若 x + y 5 则 x 2 或 y 3 的逆否命题为：若 x = 2 且 y = 3 则
x + y = 5为真命题，则原命题为真命题.即必要条件成立.所以甲成立是乙成立的必要不充分条件.故选 B.
考点：四种命题.
7. 【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义结合题意求解即可.
【详解】若 a 1 b ，则 a 1 0,b 1 0，所以 (a 1)(b 1) 0 ，
所以 ab +1 a + b，所以 p 是 q 的充分条件；
1
若 ab +1 a + b，不妨取 a = ,b = 5，不满足 a 1 b ，
2
所以 p 不是 q 的必要条件，故 p 是 q 的充分不必要条件．
故选：A.
8. 【答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“ x 0,3 ， x2 2x a 0”
为真命题，分离参数转化为 a x2 2x 在 x 0,3 上有解，构造函数求解最小值即可.
【详解】因为命题“ x 0,3 ， x2 2x a 0”为假命题，
所以命题“ x 0,3 ， x2 2x a 0”为真命题，即 x2 2x a 0在 x 0,3 上有解，
即 a x2 2x 在 x 0,3 上有解，记 f (x) = x2 2x ， x 0,3 ，则 a f (x)min ，
因为 f (x) = x2 2x在 0,1 上单调递减，在 (1,3 上单调递增，所以 f (x)min = f (1) = 1，
所以 a 1，所以实数 a可取的最小整数值是 1 .
故选：A
9. 【答案】C
【分析】由差集的定义对比选项判断即可得出答案.
【详解】因为 A ={1, 2,3, 4,5}， B ={2,3,4,6,7}，
则 A B ={1,5}，故 A 正确；
B A ={6,7}，故 B 正确；
A (A B) 2,3,4 B ,故 C 不正确；
A B = 2,3,4 ，故 A (A B) = A B ，故 D 正确.
故选：C
10. 【答案】A
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【分析】根据题目中给的新定义，对于 i N*, （i A）= 0或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在
性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．
1, i A
【详解】∵对于 i N *，定义 i (A) = ，
0, i A
∴对于①，例如集合A 是正奇数集合， B 是正偶数集合， A B = , A B = N *，
i (A B) = 0; i (A B) =1，故①正确；
对于②，若 i (A B) = 0，则 i (A B)，则 i A 且 i B ，或 i B 且 i A ，或 i A 且 i B ；
i (A) i (B) = 0；
若 i (A B) =1，则 i (A B)，则 i A 且 i B ； i (A) i (B) =1；
∴任取 N *的两个不同子集 A, B ，对任意 i N *都有 i (A B) = （i A） （i B）；正确，故②正确；
对于③，例如： A = 1,2,3 ,B = 2,3,4 ,A B = 1,2,3,4 ，当 i = 2时， （i A B）=1；
i (A) =1, i (B) =1； i (A B) i (A)+ i (B)； 故③错误；
∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A．
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题 5分，共 25分）
11. 【答案】 a 2
【分析】根据子集的定义求解．
【详解】因为 A = x x a ， B = x 1 x 2 ， B A，所以 a 2 ．
故答案为： a 2．
【点睛】本题考查集合的包含关系，掌握子集定义是解题基础．
12. 【答案】1 , 1（答案不唯一）
【详解】分析：举出一个反例即可．
详解：当 a =1 b = 1时，
1 1
=1 = 1不成立，
a b
即可填1, 1．
点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．
13. 【答案】0 m 1
【分析】
由全称、特称命题的真假结合一元二次不等式恒成立即可得解.
【详解】若 x R ，使得mx2 +1 0是假命题，则mx2 +1 0在 R上恒成立，
当m = 0时，1 0恒成立，符合题意；
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m 0
当m 0 时，则 ，解得m 0；
= 4m 0
所以若该命题是假命题，则m 0 ；
若 x , x2R 2mx +1 0是真命题，则 = 4m2 4 0 ，解得 1 m 1；
所以实数 m的取值范围是0 m 1 .
故答案为：0 m 1 .
14. 【答案】 1,+ )
【分析】先求出集合A ，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解.
【详解】对于集合 A = y | y = x [x] ，不失一般性我们不妨设 k x k +1,(k Z)，
此时由 x 的定义可知，有0 y = x x = x k 1，
所以 A = y | y = x [x] = y | 0 y 1 ，
若 y A是 y B 的充分不必要条件，则A B ，
所以m 的取值范围是 1,+ ) .
故答案为： 1,+ ) .
15. 【答案】①②③④
2
【分析】由题分析： 1 m≤ l ≤1，若 x S 则 x x l ，对每个选项列不等式组分析.
【详解】非空集合 S = x m≤ x≤ l 满足：当 x S 时，有 x2 S ，
若 l 1，则 l 2 l ， l 2 S ，所以 l 1，
2
若m 1，则m m 1，m2 S ，所以m 1，
所以 1 m≤ l ≤1，
且当 x S 时，有 1 x 1,x
2 x l 1，
非空集合 S = x m≤ x≤ l 满足：当 x S 时，有 x2 S ，
①若m =1，根据 1 m≤ l ≤1，则 l =1，所以 S = 1 ；
1 2 1 1
②若m = ，m = S ，则 ≤ l≤1；
2 4 4
1
m
2
1 2
③若 l = ， 1 ，解得： ；
2 {m
2 ≤m≤0
2 2
m2 m
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m 1
2
④若 l =1， m 1 ，解得： 1 m 0 或m =1；
2
m m
故答案为：①②③④
【点睛】此题考查集合中元素特征的辨析，其中涉及解不等式及相关知识辨析.
三、解答题（共 35分）
16. 【答案】（1） 0, 2)
3
（2） x | m 1或1 m
2
【分析】（1）先利用补集运算求出 U B ，再利用集合的交集求解即可；
（2）由 B A ，分类讨论 B = 和 B 两种情况，列出不等式组，求解即可．
【小问 1 详解】
当m = 3时， B = x 2 x 6 ，故 U B = x | x 2或 x 6 ，
又 A = x 0 x 3 ，故 A ( U B) = 0,2)
【小问 2 详解】
当 B = 时，m 1 2m ，∴m 1，符合题意；
0 m 1 0 m 1
3
当 B 时，需满足 2m 3 或 2m 3 ，解得1 m ，
2
m 1 2m

m 1 2m
3
综上所述，m 的取值范围为 x | m 1或1 m
2
1 3 1 3
17. 【答案】(1) m , ；(2) m ( , 2) , (2,+ )
2 2 2 2
2
【分析】(1)根据题意，若 q 为真，即 = (4m 2) 16 0即可求解；
(2) 因 p 且 q 为假， p 或 q 为真，所以 p 、 q 一真一假，分别讨论两种情况即可.
2
【详解】(1)对于命题 q ，因关于 x的方程4x + (4m 2) x +1= 0 无实数根，
2 1 3
所以 = (4m 2) 16 0，即 m .
2 2
q 1 3
1 3
因 为真，故 m ，即m , .
2 2 2 2
(2) 对于命题 p ，因关于 x的方程 x2 +mx +1= 0有两个不相等的实数根，
所以 = m2 4 0 ，即m 2或m>2 .
因 p 且 q 为假， p 或 q 为真，所以 p 、 q 一真一假，
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m 2或m 2

当 p 真 q 假时， 1 3 ，即m 2或m>2 ；
m 或m
2 2
2 m 2
q 1 3当 p 假 真时， 1 3 ，即 m .
m 2 2
2 2
1 3
综上所述：m ( , 2) , (2,+ ) .
2 2
18. 【答案】（1） P = 1, 2 是“减 0 集”，不是“减 1 集”
（2）不存在“减 2 集”，证明见解析
*
（3）存在“减 1 集”： 1,3 , 1,3,5 , x | x = 2k 1, k N
【分析】（1）已知 P N *， P 1 ，1+1 P,1 1 0 P，由此即可判断 P = 1, 2 是 “减 0 集”，同理
可判断 P = 1, 2 不是 “减 1 集”.
（2）假设存在“减 2 集” A ，根据“减 2 集”的性质可以推出矛盾，从而求解.
（3）假设存在“减 1 集” A ，根据“减 1 集”的性质可以一个个判断前面几个正整数是否在“减 1 集” A 中，由
此即可发现规律.
【小问 1 详解】
因为 P N *， P 1 ，1+1= 2 P,1 1 0 =1 P，
所以 P = 1, 2 是“减 0 集”，
同理因为 P N *， P 1 ，1+1= 2 P,1 1 1= 0 P，
所以 P = 1, 2 不是“减 1 集”.
【小问 2 详解】
假设存在“减 2 集” A ，
则 x + y A，那么 xy 2 A，
分以下两种情形来讨论：
情形一：当 x + y = xy 2 1时，有 (x 1)( y 1) = 3，
注意到 x, y N*，所以 x, y 中有一个是 2，有一个是 4，
所以集合A 中除 1 以外的最小元素为 6，
但是3+ 3 = 6 A，3 3 2 = 7 A ，
而这与集合A 是“减 2 集”矛盾.
情形二：当 x + y xy 2时，则 x + y = xy 1或 x + y = xy m,(m 2)，
（因为若m 为负整数，则 (x 1)( y 1) m 0，即此时 x + y xy m +1），
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若 x + y = xy 1 1，有 (x 1)( y 1) = 2，
注意到 x, y N*，所以 x, y 中有一个是 2，有一个是 3，
所以集合A 中除 1 以外的最小元素为 5，
但是 2+ 3 = 5 A， 2 3 2 = 4 A，
而这与集合A 是“减 2 集”矛盾；
若 x + y = xy m,(m 2)，有 (x 1)( y 1) = m +1，
不妨设 x = a, y = b (a 2,b 2)， (a 1)(b 1) = m +1，
且此时集合A 中除 1 以外的最小元素为 x + y = a +b A，
但是1 xy 2 = a + b 2 a + b，所以 xy 2 A ,
而这与集合A 是“减 2 集”矛盾.
综上所述：不存在集合A 是“减 2 集”.
【小问 3 详解】
假设存在A 是“减 1 集”， A 1 .
假设1 A ，则A 中除了元素 1 以外，必然还含有其他元素.
假设2 A，则1+1 A，但1 1 1 A，因此 2 A，
假设3 A，则1+ 2 A，且1 2 1 A，因此3 A，
因此可以有 A = 1,3 ,
假设 4 A，则1+ 3 A，但1 3 1 A，因此 4 A，
假设5 A，则 2 + 3 A，且3 2 1 A，因此5 A，
因此可以有 A = 1,3,5 ,
依次类推有： x | x = 2k 1,k N* .
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减 2 集”的性质分两种情况
x + y = xy 2 1和 x + y xy 2证出矛盾
（至于为什么结果是矛盾的可以首先举出几个特例然后猜想，最后演绎推理），
第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减 1 集”的性质即可求解.
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