北京中国人民大学附属中学2023-2024学年上学期高一10月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京人大附中高一 10月月考
数 学
一 选择题（每题 4分，共 10道题）
a,b = b,a a,b b,a = 0 = 0
1. 下列六个关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
0 0
．其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
2. 若a b 0，则下列不等式错误的是（ ）
1 1
b b +1
A. B.
a b a a +1
1 1 1 1
C. a + b+ D. a + b+
b a a b
3. 已知集合 A = x R x2 3x 4 0 ， B = x R x a ，若 A B = B ，则实数a的取值范围为
A. (4,+ ) B. 4,+ ) C. ( , 4) D. ( , 4
4. 设计如图所示的四个电路图，条件 p：“灯泡 L亮”；条件 q：“开关 S闭合”，则 p是 q的必要不充分条件
的电路图是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列命题不正确的是（ ）
1
A. “ a 1”是“ 1”的充分不必要条件
a
B. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是“ x R, x 0 ”
C. 设 x, y R ，则“ x 2 且 y 2”是“ x2 + y2 8 ”的必要不充分条件
D. 设 a,b R ，则“ a 0”是“ab 0”的必要不充分条件
1
6. 若 x 1，则 4x + 的最小值为（ ）
x 1
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A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7. 已知集合 A = 1,a ， B = x 0 x 2 ，且 A B 有 2 个子集，则实数 a的取值范围为（ ）
A. ( , 0 B. (0,1) (1,2
C. 2,+ ) D. ( ,0 2,+ )
8.如果正数 a，b，c，d 满足 a + b = cd = 4，那么（ ）
A. ab c + d ，且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一
B. ab c + d ，且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一
C. ab c + d ，且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一
D. ab c + d ，且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一
9. “ m 1”是“ x2 mx +1 0在 x (1,+ )上恒成立”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知集合 M = x N 1 x 9 ，集合 A1, A2 , A3 满足：①每个集合都恰有 3 个元素；②
A1 A2 A3 = M ．集合 Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai 的特征数，记为 X i (i = 1,2,3) ，则
X1 + X 2 + X 3的最大值与最小值的和为（ ）
A. 60 B. 63 C. 56 D. 57
二 填空题（每题 4分，共 5道题）
11. 若 a，b同时满足下列两个条件：
1 1
① a + b ab ；② ．
a +b ab
请写出一组 a，b的值____________．
12. 已知集合 A ={1,2,3}，则集合 B ={x y∣x A, y A}的所有子集的个数是________.
13. 设命题 p ：实数 x满足 (x a)(x 3a) 0 ，其中 a 0 ：命题 q ：实数 x满足 2 x 3 .若 p 是 q 的必
要不充分条件，则实数 a的取值范围是__________.
14. 下列说法正确的是__________.
① a Q是 a R 的充分不必要条件；
② x = y 是 x = y 的必要不充分条件
③ x2 1是 x 1的充分不必要条件；
④ a + b 0是 a 0,b 0的必要不充分条件
15. 对非空有限数集 A ={a1,a2 , ,an}定义运算“min”：min A表示集合A 中的最小元素．现给定两个非
空有限数集A ， B ，定义集合M = {x | x = a b ,a A,b B}，我们称min M 为集合A ， B 之间的“距
离”，记为 dAB ．现有如下四个命题：
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①若min A = min B，则 dAB = 0 ；②若min A min B ，则 dAB 0 ；
③若 dAB = 0 ，则 A B ；④对任意有限集合A ， B ，C ，均有 dAB + dBC dAC ．
其中所有真命题的序号为__________．
三 解答题（每题 8分，共 5道大题）
16. 已知集合 A ={x∣ 2 x 2}， B = x∣m 2 x 2m +1 ．
（1）当m =1时，求集合 A B ；
（2）若A ， B 满足：① A B = ，② A B = A ，从①②中任选一个作为条件，求实数m 的取值范
围．
17. 如图所示，将一个矩形花坛 ABCD扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 M在射线 AB上，N在射线
AD上，且对角线 MN过 C点 .已知 AB = 4 米， AD = 3米，设 AN的长为 x ( x 3)米 .
（1）要使矩形 AMPN的面积大于 54 平方米，则 AN的长应在什么范围内？
（2）求当 AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛 AMPN的面积最小，并求出此最小值；
18. 已知命题 p : x R, x2 2x + a +1 0，集合 A为命题 p 为真命题时实数 a的取值集合. 集合
B = x∣x2 + 2(m +1) x +m2 5 = 0 .
（1）求集合 A；
（2）若 A B = 2 ，求实数m 的值；
（3）若 x B 是 x A 的充分条件，求实数m 的取值范围.
19. 已知集合 D = (x1, x2 ) x1 + x2 =1, x1 0, x2 0 ．
（1）设u = x1x2 ，求u 的取值范围；
1 1 9
（2）对任意 (x1, x2 ) D ，证明： x1 x2 ．
x1 x2 4
20. 已知关于 x的不等式 ax2 3x + 2 0的解集为 x | x 1或 x b .
（1）求a，b 的值；
a b
2
（2）当 x 0 ， y 0 且满足 + =1时，有 2x + y k + k + 2 恒成立，求 k 的取值范围.
x y
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参考答案
一 选择题（每题 4分，共 10道题）
1. 【答案】C
【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之间的包含关系可判定②，⑤，利用元素与集
合的关系可判定⑥.
【详解】①正确，集合中元素具有无序性；
②正确，任何集合是自身的子集；
③错误， 表示空集，而 表示的是含 这个元素的集合，所以 = 不成立.
④错误， 表示空集，而 0 表示含有一个元素 0 的集合，并非空集，所以 0 = 不成立；
⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；
⑥正确，由元素与集合的关系知，0 0 ．
故选：C.
2. 【答案】D
【分析】由不等式性质可判断 A，C；利用作差法判断 B；举反例可判断 D，即得答案.
【详解】对于 A，a b 1 1 0，则 ，正确；
a b
对于 B，因为a b 0，则b a 0，
b b +1 b a b b +1
故 = 0，即 ，B 正确；
a a +1 a(a +1) a a +1
1 1 1 1
对于 C，因为a b 0，则 0，故 a + b+ ，C 正确；
b a b a
1 1 1 5
对于 D，取 a =1,b = 满足a b 0，但 a + = 2 b+ = ，D 错误，
2 a b 2
故选：D
3. 【答案】B
【分析】化简集合 A，再利用并集运算求解
2
【详解】对于集合A ， x 3x 4 = (x 4)(x +1) 0，解得 1 x 4 .由于 A B = B 故 a 4 .
故选：B
4. 【答案】A
【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案.
【详解】对于 A，灯泡 L亮，可能是 S1 闭合，不一定是 S闭合，
当 S闭合时，必有灯泡 L亮，故 p是 q的必要不充分条件，A 正确；
对于 B，由于 S和 L是串联关系，故灯泡 L亮，必有 S闭合，
S闭合，灯泡 L亮，即 p是 q的充要条件，B 错误；
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对于 C，灯泡 L亮，则开关 S1 和 S必都闭合，
当开关 S闭合 S1 打开时，灯泡 L不亮，故 p是 q的充分不必要条件，C 错误；
对于 D，灯泡 L亮，与开关 S闭合无关，故 p是 q的既不充分也不必要条件，D 错误，
故选：A
5. 【答案】C
【分析】根据充分不必要条件以及必要不充分条件的概念可判断 A，C，D；根据含有一个量词的命题的否
定判断 B，即可得答案.
1
【详解】对于 A，当 a 1时， 1成立；
a
1
当 1时， a<0适合该式，但推不出 a 1，
a
1
故“ a 1”是“ 1”的充分不必要条件，A 正确；
a
对于 B，命题“有些实数的绝对值是正数”为存在量词命题
它的否定是“ x R, x 0 ”，正确；
对于 C，当 x 2 且 y 2时，可得到 x2 + y2 8 ；
取 x = 3, y =1，满足 x2 + y2 8，但推不出 x 2 且 y 2，
故“ x 2 且 y 2 ”是“ x2 + y2 8 ”的充分不必要条件，C 错误；
对于 D，当 a 0，b = 0时， ab = 0 ，推不出ab 0；
当ab 0时，推出 a 0且b 0 ，
故“ a 0 ”是“ ab 0 ”的必要不充分条件，D 正确，
故选：C
6. 【答案】B
1 1 1
【分析】由4x + = 4x 4+ + 4 = 4(x 1)+ + 4，根据基本不等式，即可求出结果.
x 1 x 1 x 1
1
【详解】因为 x 1，所以 x 1 0， 0，
x 1
1 1 1 1
因此4x + = 4x 4+ + 4 = 4(x 1)+ + 4 2 4(x 1) + 4 = 8，
x 1 x 1 x 1 x 1
1 3
当且仅当 4x 4 = ，即 x = 时，等号成立.
x 1 2
故选：B.
7. 【答案】D
【分析】由 A B 有 2 个子集可得 A B 中元素仅有1个，从而得 a B ，即可求得a的范围.
【详解】解： A B 有 2 个子集，
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A B 中的元素个数为1个，
1 (A B)，
a (A B)，即 a B ，
a 0 或 a 2 ，即实数 a的取值范围为 ( ,0 2,+ )，
故选：D.
8. 【答案】A
【详解】正数 a，b，c，d 满足 a + b = cd = 4，∴ 4= a + b 2 ab ，即 ab 4 ，当且仅当a=b=2时，“=”
c + d 2
成立；又 4= cd ( ) ，∴ c+d≥4，当且仅当 c=d=2 时，“=”成立；综上得 ab c + d ，且等号成立时
2
a，b，c，d 的取值都为 2，选 A．
9. 【答案】A
【分析】先由不等式恒成立求出m 的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】由 x2 mx +1 0在 x (1,+ )上恒成立，得
1
m x + 在 x (1,+ )上恒成立，
x
1
令 f (x) = x + ，由对勾函数的性质可知 f (x) 在 x (1,+ )上单调递增，
x
所以 f (x) f (1) = 2，
所以m 2，
所以“ x2 mx +1 0在 x (1,+ )上恒成立”的充要条件为m 2，
所以“ m 1”是“ x2 mx +1 0在 x (1,+ )上恒成立”的充分不必要条件，
故选：A
10. 【答案】A
【分析】由集合M 中最小值 1 与最大值 9 构成集合 A1中两个元素，若使 X1 + X 2 + X 3取得最大值，则将
2 A1，从而依次确定 X1 、 X 2 、 X 3 ，同理求最小值，从而解得．
【详解】 集合M = {x N |1 x 9}中最小值为 1，最大值为 9，
①若使 X1 + X 2 + X 3取得最大值，
不妨设1 A1 ，9 A1，则 X1 =10，则 A1 = {1，2， 9} ，
则剩余的数中最小值为 3，最大值为 8，
令 A2 = {3，4，8}，则 X 2 =11，
则 A3 = {5，6， 7}， X 3 =12，
则 X1 + X 2 + X 3的最大值为10+11+12 = 33，
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②若使 X1 + X 2 + X 3取得最小值，
则 A = {1，8， 9}1 ，则 X1 =10，
则剩余的数中最小值为 2，最大值为 7，
令 A2 = {2，6， 7}，则 X 2 = 9，
则 A 5}3 = {3，4， ， X 3 = 8，则此时 X1 + X 2 + X 3的最小值为10 + 9 + 8 = 27 ，
故 X1 + X 2 + X 3的最大值与最小值的和为 60，
故选：A ．
二 填空题（每题 4分，共 5道题）
11. 【答案】a = 1,b = 2 或其他任意合理答案
【分析】根据不等式的性质，判断 a和 b的正负及绝对值的大小即可.
【详解】容易发现，若将①式转化为②式，需使 (a + b)ab 0
即 a + b 与 ab 异号，显然应使 a + b 0， ab 0
当 a 0,b 0 时，需使 a + b 0，则 a b ，可取 a = 1,b = 2 ；
当 a 0,b 0 时，需使 a + b 0，则 a b ，可取 a = 2,b = 1.
综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.
故答案为： a = 1,b = 2或其他任意合理答案.
12. 【答案】32
【分析】
根据条件求出集合 B 中的元素即可．
【详解】因为集合 A ={1,2,3}，则集合 B ={x y∣x A, y A}= 2， 1，0，1，2 ，
所以集合 B的所有子集的个数是 25 = 32个，
故答案为：32 .
13. 【答案】[1, 2]
【分析】设命题 p,q 相应的集合为 A, B ，根据 p 是 q 的必要不充分条件可得B A，由此列不等式，即可求
得答案.
【详解】由题意知命题 p ：实数 x满足 (x a)(x 3a) 0 ，其中 a 0 ，
则 a x 3a ，设其对应集合为 A = (a,3a) ；
命题 q ：实数 x满足 2 x 3，设其相应集合为 B = (2,3) ，
因为 p 是 q 的必要不充分条件，故 B A，
则 a 2且3a 3，即1 a 2，
当 a =1时， A = (1,3)，满足 B A，当 a = 2时， A = (2,6) ，满足 B A，
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故实数 a的取值范围是[1, 2]，
故答案为：[1, 2]
14. 【答案】①②④
【分析】根据充分不必要条件以及必要不充分条件的概念一一判断各小题，即可得答案.
【详解】对于①，由Q 是 R 的真子集，故 a Q是 a R 的充分不必要条件，正确；
对于②，取 x =1, y = 1，满足 x = y ，但推不出 x = y ；
当 x = y 时，必有 x = y ，故 x = y 是 x = y 的必要不充分条件，正确；
对于③，取 x = 2满足 x2 1，但推不出 x 1，
当 x 1时，必有 x2 1，故 x2 1是 x 1的必要不充分条件，错误；
对于④，取 a =1,b = 2 满足 a + b 0，但推不出 a 0,b 0，
当 a 0,b 0时，必有 a + b 0，故 a + b 0是a 0,b 0的必要不充分条件，正确，
故答案为：①②④
15. 【答案】①③
【分析】
根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误.
【详解】对于结论①，若min A=min B，则A ， B 中最小的元素相同，故①正确；
对于结论②，取集合 A = 1, 2 ， B = 0,2 ，满足min A min B，但 dAB = 0 ，故②错误；
对于结论③，若 dAB = 0 ，则 A, B 中存在相同的元素，则交集非空，故③正确；
对于结论④，取集合 A = 1, 2 ， B = 2,3 ，C = 3,4 ，可知 dAB = 0 ， dBC = 0 ， dAC =1，
则 dAB + dBC dAC 不成立，故④错误.
故答案为：①③．
三 解答题（每题 8分，共 5道大题）
16. 【答案】（1） A B = x 2 x 3
3 1
（2）选①， , 4,+ )；选②， ( , 3) 0,
2 2
【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.
（2）选择条件后，根据集合 B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.
【小问 1 详解】
当m =1时，求集合 B = x 1 x 3 ，
A B = x 2 x 3 .
【小问 2 详解】
若选择条件①， A B = ，
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当 B = 时，m 2 2m +1，解得m 3 ，
当 B 时，
m 2 2m+1 m 2 2m+1
由 A B = 可得 或 ，
2m+1 2 m 2 2
3
解得 3 m 或m 4，
2
3
综上m 的取值范围是 , 4,+ ) .
2
若选择条件② A B = A ，则集合 B 是集合A 的子集，
当 B = 时，m 2 2m +1，解得m 3 ，
m 2 2m +1

当 B 时，有 2 m 2 ，

2m +1 2
1
解得0 m ，
2
1
综上m 的取值范围是 ( , 3) 0, .
2
9
17. 【答案】（1） (3, ) (9,+ )
2
（2） AN = 6， AM = 8最小面积为 48 平方米
【分析】（1）先表达出 AMPN的面积表达式， SAMPN 54 时解出不等式，即可知 AN的取值范围.
（2）令 t = x 3，将式子化成对勾函数后求最值.
【小问 1 详解】
解：设 AN 的长为 x米（ x 3）
ABCD是矩形
DN DC
=
AN AM
4x
AM =
x 3
4x2
SAMPN = AN AM = (x 3)
x 3
4x2
由 SAMPN 54 ，得 54
x 3
x 3
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9
(2x 9)(x 9) 0，解得3 x 或 x 9
2
9
即 AN 的取值范围为 (3, ) (9,+ )
2
【小问 2 详解】
4x2
令 y = ， t = x 3（ t 0），则 x = t + 3
x 3
4(t +3)2 9
y = = 4(t + + 6) 48
t t
9
当且仅当 t = (t 0) ，即 t = 3时，等号成立，此时 AN = 6， AM = 8最小面积为 48 平方米
t
18. 【答案】（1） ( , 0)；
（2）m = 1；
（3） ( , 3) ( 5,+ )
【分析】（1）命题 p 为真命题时等价于 0，求解即可；
（2）结合（1）的结论，由 A B = 2 得{ 2} B ，即 2为 x
2 + 2(m +1) x +m2 5 = 0 的根，代入解
出m ，再由m 求得方程另一个根，检验 A B = 2 是否依然成立；
（3） x B 是 x A 的充分条件等价于 B A，分别讨论 B = 、 B ，其中 B 由韦达定理列
不等式组求解
【小问 1 详解】
2
命题 p 为真命题时等价于 = ( 2) 4(a +1) = 4a 0，即 a 0 ，故集合 A为 ( , 0)；
【小问 2 详解】
2
由 A B = 2 得{ 2} B ，即 ( 2) + 2(m+1) ( 2)+m2 5 = m2 4m 5 = 0，解得m = 5或
m = 1，
2
设 x + 2(m +1) x +m2 5 = 0 的另一根根为 n，则n 2 = 2(m+1)，即 n = 2m ，
当m = 5时， n = 10 ，则 A B = 2, 10 ，不符合题意；
当m = 1时， n = 2 ，则 A B = 2 ，符合题意；
故实数m 的值为 1；
【小问 3 详解】
由 x B 是 x A 的充分条件得 B A，
2
i. 当 B = 时，即 = 4(m+1) 4(m2 5) = 8m+ 24 0，解得m 3；
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x1 + x2 = 2(m+1) 0
2
ii. 当 B 时，设 x + 2(m +1) x +m2 5 = 0 2的根为 x1, x2 ，则 x1x2 = m 5 0 ，解得

Δ = 8m+ 24 0
m 5 .
故实数m 的取值范围为 ( , 3) ( 5,+ )
1
19. 【答案】（1） 0,
4
（2）证明见解析
【分析】（1）依题意可得u = x 21 + x ，0 x 11 1 ，再根据二次函数的性质计算可得；
1 1
（2）依题意 x1 x2 = x1x2 + 2，再结合（1）即可证明.
x1 x2
【小问 1 详解】
解：若u = x1x2 ，又 x1 x2 =1，
则 u = x1x2 = x (1 x ) = x
2
1 1 1 + x1 ，0 x1 1，
1 1
所以 y = x 21 + x 在 0,1 上单调递增，在 ,1 上单调递减，
2 2
1 1
所以当 x = 时， y = x 21 + x1 1取得最大值 ，
2 4
1
故u 的取值范围为 0, ．
4
【小问 2 详解】
1 1 1 x x
证明： x1 x2 = x x +
1 21 2
x1 x2 x1x2 x2 x1
1 (x 2 + x 21 2 )
2
1 (x1 + x2 ) + 2x1x2
= x1x2 + = x1x 2 +
x1x2 x1x2
9 1
= x1x2 + 2 = u+2 ，当且仅当 x1 = x2 = 时取等号． 4 2
20. 【答案】（1）a =1，b = 2
（2）[ 3, 2]
【分析】（1）由不等式 ax2 3x + 2 0的解集为 x | x 1或 x b ，得到 1 和b 是方程 ax2 3x + 2 = 0
的两个实数根求解.
1 2 1 2 y 4x
（2）根据 + =1，由 2x + y = (2x + y) + = 4+ + ，利用基本不等式求得最小值即可.
x y x y x y
【小问 1 详解】
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解：因为不等式 ax2 3x + 2 0的解集为 x | x 1或 x b ，
所以 1 和b 是方程 ax2 3x + 2 = 0的两个实数根，且 a 0 ，
3
1+b = a a =1
所以 ，解得 ，
2 b = 21 b =
a
即 a =1，b = 2 .
【小问 2 详解】
a =1 1 2
由（1）知 ，于是有 + =1，
b = 2 x y
1 2 y 4x
故 2x + y = (2x + y) + = 4+ + ≥4+ 2 4 = 8，
x y x y
y 4x 1 2 x = 2
当且仅当 = ，结合 + =1，即 时，等号成立，
x y x y y = 4
依题意有 (2x + y) k 2 + k + 2 ，即8 k 2 + k + 2， min
得 k 2 + k 6 0，即 3 k 2 ，
所以 k 的取值范围为 3, 2 .
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