北京日坛中学2023-2024学年上学期高一12月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京日坛中学高一 12月月考
数 学
一、单项选择题：共 10小题，每小题 5分，共 50分.
1. 命题“ x A , 2x B ”的否定为（ ）
A. x A , 2x B B. x A , 2x B C. x A , 2x B D. x A , 2x B
2. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. y = x B. y = lnx C. y = ex D. y = x3
3. 已知函数 y = sinx 在区间M 上单调递增，那么区间M 可以是（ ）
3
A. 0,2 B. (0, ) C. 0, D. 0,
2 2
4. 已知集合 A ={x | log2x 1}， B = x | y = 2x 4 ，则图中阴影部分所表示的集合为 （ ）
A. ( , 2) B. ( , 2 C. (0, 2) D. 0, 2
5. 若 a b，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A. a2 b2
1 1
B. 2a 2b C. 2 a b 2 D. a b
x
1
6. 设 x0是函数 f (x) = log x的零点，若0 a x0 ，则 f (a) 的值满足（ ） 2
3
A. f (a) = 0 B. f (a) 0
C. f (a) 0 D. f (a) 的符号不确定
y x
7. “ x 0 ， y 0 ”是“ + 2 ”的（ ）．
x y
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件
f (x ) f (x )
8. 已知函数 f (x) = ax2 x，若对任意 x , x ) 1 22,+ ，且 x1 x1 2 2 ，不等式 0恒成立，
x1 x2
则实数 a的取值范围是（ ）
1 1
A. ,+ B.
2
,+
2
1 1
C. ,+ D. ,+
4

4
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9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 3000 英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的
1 O
游速 v（单位：m/s）可以表示为 v＝ log3 ，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为
2 100
2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）
A. 8100 B. 900 C. 81 D. 9
x 2
10. 已知函数 f (x) = 4 + x + a，下列命题正确个数有（ ）
①对于任意实数 a， f ( x)为偶函数
②对于任意实数 a， f (x) 0
③存在实数 a， f ( x)在 ( , 1)上单调递减
④存在实数 a，使得关于 x的不等式 f ( x) 5的解集为 ( , 1 1,+ )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：共 6小题，每小题 5分，共 30分.
2
11. 函数 f x = ln 1 x 的定义域是_____．
11
12. sin 的值为______
6
13. 函数 f ( x)的值域为 0, ，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数 f ( x)可以为_____．（写出
符合条件的一个函数即可）
14. 学校举办运动会，高一（1）班共有 28 名同学参加比赛，有 15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有
14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人，没
有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是______，只参加田径一项比赛的人数是______.
1
, x 1
15. 已知函数 f (x) = x ，则 f ( 2) = _____；若 f (t ) =1，则实数 t = _____．
x
2 , x 1
16. 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积 y （平方米）与时间 t （月）之间的函数关系式是
y at﹣1(a 0 且 a 1)，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第
8 个月浮草的面积超过60 平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20 平方
米，30平方米所经过的时间分别为 t1，t2，t3 ，则 2t2 t1 t3 ．其中正确命题的序号有_____．（注：请写出
所有正确结论的序号）
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三、解答题：共 5小题，共 70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知全集U 为实数集，集合 A = x 1 x 6 ， B = x a +1 x 3a 1 .
（1）若a = 4，求图中阴影部分的集合M ；
（2）若 B A，求实数 a的取值范围.
π
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 ， 0 π 的顶点与坐标原点O 重合，始边为 x轴的
2
4 5
非负半轴，终边分别与单位圆交于 A, B 两点， A, B 两点的纵坐标分别为 ， .
5 13
（1）求 tan 的值；
sin ( + π)+ cos (π )
（2）求 π π 的值.
sin + cos +
2 2
π
19. 已知函数 f (x) = 2sin 2 x + （0 2）.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问
6
题：
π
条件①：在 f ( x)图象上相邻的两个对称中心的距离为 ；
2
π
条件②： f ( x)的一条对称轴为 x = .
6
（1）求 和对称中心；
π π
（2）将 f ( x)的图象向右平移 个单位（纵坐标不变），得到函数 g (x)的图象，求函数 g (x)在 0, 上
6 2
的值域.
3x 3 x
20. 已知函数 f (x) =
2
（1）判断 f ( x)的奇偶性并证明；
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（2）判断 f ( x)的单调性并说明理由；
（3）若 f ax 1 f 2 x 0对任意a ( , 2 恒成立,求 x的取值范围．
1, x A
21. 对于集合A ，定义函数 fA (x)=
1, x A
对于两个集合A ， B ，定义运算 A B {x | fA x fB x 1}．
（1）若 A ={1,2,3}， B {2，3，4，5}，写出 fA 1 与 fB 1 的值，并求出 A*B；
（2）证明： fA*B x = fA x fB x ；
（3）证明：* 运算具有交换律和结合律，即 A*B B* A， A* B *C A* B *C ．
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参考答案
一、单项选择题：共 10小题，每小题 5分，共 50分.
1. 【答案】A
【分析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【详解】解：命题为全称命题,则命题“ x A , 2x B ”的否定为：
“ x A , 2x B ”,
故选：A
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础．
2. 【答案】A
【分析】
根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案．
【详解】解：根据题意,依次分析选项：
对于 A, y = x ,是偶函数,符合题意；
对于 B, y = lnx ,是对数函数,不是偶函数,不符合题意；
对于 C, y = ex ,是指数函数,不是偶函数,不符合题意；
3
对于 D, y = x ,是幂函数,不是偶函数,不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性,属于基础题．
3. 【答案】D
【分析】
结合正弦函数的单调性即可得出区间M .
【详解】解：由正弦函数的性质得
函数 y = sinx 的单调增区间为：
x | 2k x 2k ,
2 2

所以区间M 可以是 0, .
2
故选： D
【点睛】本题考查正弦函数的单调性,是基础题.
4. 【答案】C
【分析】根据题意，由图像可知阴影部分面积对应的集合为 A∩( U B)，再由集合的运算，即可得到结果.
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x
【详解】因为 A ={x | log2x 1}= (0,2)， B = x | y = 2 4 = 2,+ )，则 U B = ( , 2)，
由图像可知阴影部分面积对应的集合为 A ( U B) = (0,2) .
故选：C
5. 【答案】B
【分析】
直接利用不等式性质的应用和函数的单调性的应用求出结果．
【详解】解：由于 a b ,且 a和b 的正负号不确定,所以选项 ACD都不正确．
对于选项 xB，由于函数 y = 2 为单调递增函数,且 a b ,故正确
故选：B
【点睛】函数的单调性的应用,不等式的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于
基础题型．
6. 【答案】C
【分析】先判断函数 f (x) 是单调减函数，进而可得当0 a x0 时 f (a) 0．
x x
1
0
1
【详解】∵x0是函数 f (x) = log2 x的零点，∴ f (x0 ) = log2 x0 = 0，
3 3
x
1
因为 y = 是单调递减函数， y = log2 x 是单调递增函数，
3
x
1
所以函数 f (x) = log x是单调减函数， 2
3
故当 0 a x0 时，则 f (a) f (x0 ) = 0，
故选：C．
7. 【答案】A
y x y x
【详解】当 x 0, y 0 时，由均值不等式 + 2 成立．但 + 2 时，只需要 xy 0 ,不能推出
x y x y
x 0, y 0．所以是充分而不必要条件．选 A.
8. 【答案】D
【分析】先由题意得到函数 f ( x)在给定区间单调递增，再由二次函数的性质，即可求出结果.
f (x1 ) f (x2 )
【详解】由题意对任意 x x x f x1, x2 2,+ )，且 1 2 ，有 0，所以函数 ( )在 2,+ )
x1 x2
单调递增，
当 a = 0 时， f (x) = x 显然单调递减，不满足题意，
当 a 0时，函数 f ( x)为二次函数，
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故其开口向上，且对称轴在区间 2,+ )的左侧，
a 0
1
即 1 ，解得 a .
2 4
2a
故选：D.
9. 【答案】C
【分析】
利用鲑鱼游速为 2m/s时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可.
【详解】解：当鲑鱼游速为 2m/s时的耗氧量：
1 O
2 = log 13 ,解得O1 = 8100 ；
2 100
当鲑鱼游静止时的耗氧量：
1 O
0 = log 23 ,解得O2 =100；
2 100
O1 8100
所以 = = 81 .
O2 100
故选：C
【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.
10. 【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性、单调性一一判定命题即可.
x 2
【详解】易知 f ( x) = 4 + ( x) + a = f (x) , x R ，所以 f ( x)为偶函数，即①正确；
x 2
显然当 x 0 时， f (x) = 4 + x + a，
由指数函数和二次函数的单调性可知此时 f ( x)单调递增，
又 f ( x)为偶函数，所以 f ( x)在 ( , 0)上单调递减，在 (0,+ )上单调递增，
则 f (x) f (0) =1+ a ，
当 a 1时， f (0) 0，故②错误；
因为 f ( x)在 ( , 0)上单调递减，所以③正确；
易知 f (x) 5 = f ( 1) a ，
当 a = 0 时，根据函数的单调性可知 x ( , 1 1,+ )，故④正确.
综上正确的命题有 3 个.
故选：C
二、填空题：共 6小题，每小题 5分，共 30分.
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11. 【答案】 ﹣1,1
【分析】
根据对数的真数大于 0 ,解不等式1 x2 0即可．
【详解】解：令1 x2 0 ,解得 1 x 1 ,即函数的定义域为 ﹣1,1 ．
故答案为： ﹣1,1
【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解,属于基础题．
1
12. 【答案】
2
【分析】利用诱导公式直接求解.
11 1
【详解】 sin =sin 2 = sin = .
6 6 6 2
1
故答案为：
2
x
1
13. 【答案】 f (x) =
2
【分析】
x
1
由函数 f (x) = 的值域为 0, ,且在定义域 R 内单调递减,即是符合要求的一个函数．
2
x
1
【详解】解：∵函数 f (x) = 的值域为 0, ,且在定义域 R 内单调递减,
2
x
1
∴函数 f (x) = 即是符合要求的一个函数,
2
x
1
故答案为： f (x) =
2
【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题．
14. 【答案】 ①. 9 ②. 2
【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.
【详解】如图所示：
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设 U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学
生}，
依题意， n (U ) = 28,n (A) =15,n (B) = 8,n (C ) =14 ， n (A B) = 3,n (A C ) = 3,n (A B C ) = 0，
于是 28 =15 + 8 +14 3 3 n (B C )，解得 n (B C ) = 3，
所以只参加游泳比赛的人数为 n (A) n (A B) n (A C ) =15 3 3 = 9 ，
只参加田径比赛的人数 n (B) n(A B) (B C) = 8 3 3 = 2 .
故答案为：9，2
1
15. 【答案】 ①. ②. 0 或1
4
【分析】
结合已知函数解析式,把 x = 2代入即可求解 f ( 2) ,结合已知函数解析式及 f (t ) =1 ,对 t 进行分类讨论分
别求解．
1
, x 1
【详解】 f (x) = x ,
2x , x 1
1 1
则 f ( 2) = 2 2 = = ；
22 4
f t 1 ,
1
①当 t 1 时,可得 =1 ,即 t =1 ,
t
②当 t 1时,可得 2t 1 ,即 t = 0 ,
综上可得 t = 0或 t =1．
1
故答案为： ； 0 或1
4
【点睛】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题．
16. 【答案】①②④
【分析】
直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．
【详解】解：浮草蔓延后的面积 y （平方米）与时间 t （月）之间的函数关系式是 y at﹣1(a 0 且 a 1) ,函
数的图象经过 (2, 2)
所以 2 a2﹣1 ,解得a = 2．
1
①当 x = 0 时 y = ,故选项 A正确．
2
②当第8 个月时 8﹣1 7, y 2 2 128 60 ,故②正确．
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③当 t =1时, y =1,增加0.5 ,当 t = 2时, y = 2 ,增加1 ,故每月的增加不相等,故③错误．
④根据函数的解析式 t1 12 =10 ,解得 t1 log210 1 ,
同理 t2 log2 20 1 , t3 log2 30 1 ,
所以 2t2 2log2 20 2 log2 400 2 t1 t2 log2 300 2 ,
所以则 2t2 t1 t3 ．故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能
力及思维能力,属于基础题型．
三、解答题：共 5小题，共 70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 【答案】（1）M = x 6 x 11
7
（2） ,
3
【分析】（1）由图可知阴影部分表示的是 B ( U A)，从而可求得结果，
（2）分 B = 和 B 两种情况求解即可
【小问 1 详解】
当 a = 4时， B = 5 x 11 ，
因为全集U 为实数集，集合 A = x 1 x 6 ，
所以 U A = x x 1或 x 6 ，
由图可知阴影部分表示的是 B ( U A)，
所以M = B ( U A) = x 6 x 11 ，
【小问 2 详解】
当 B = 时， B A成立，此时 a +1 3a 1，解得a 1，
当 B 时，因为 B A，
a +1 3a 1
7
所以 a +1 1 ，解得1 a ，
3
3a 1 6
7 7
综上， a ，即实数 a的取值范围为 ,
3 3
5
18. 【答案】（1） ；
12
4
（2） .
7
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【分析】（1）根据三角函数的定义结合同角三角函数的关系计算即可；
（2）根据诱导公式计算即可.
【小问 1 详解】
5
根据题意可知 sin = ，
13
π 12 sin 52
又 π，所以 cos = 1 sin = ，则 tan = = ；
2 13 cos 12
【小问 2 详解】
4
根据题意可知 sin ，
5
π 3
又0 ，所以cos = ，
2 5
4 12
sin ( + π)+ cos (π ) + sin cos
= = 5 13
4
根据诱导公式可知 = .
π π cos sin 3 5 7
sin + cos +
2 2 5 13
π kπ
19. 【答案】（1） =1； + ,0 (k Z)
12 2
（2） 1, 2
【分析】（1）选①，利用对称中心与周期的关系可求 ，从而结合三角函数的对称中心公式计算即可，选
②，直接代入计算可求 ，从而结合三角函数的对称中心公式计算即可；
（2）利用三角函数的图像变换结合三角函数的性质计算即可.
【小问 1 详解】
2π π
若选①，则可知 f ( x)的最小正周期T = = 2 =1，
2 2
π
即 f (x) = 2sin 2x + ，
6
π π kπ π kπ
令 2x + = kπ x = + (k Z)，即 f ( x)的对称中心为 + ,0 (k Z)；
6 12 2 12 2
π π 2 π + π π
若选②，将 x = 代入可得 2 x + = = + kπ = 3k +1(k Z)，
6 6 6 2
因为0 2，所以 k = 0 ， =1，
π
即 f (x) = 2sin 2x + ，
6
π π kπ π kπ
令 2x + = kπ x = + (k Z)，即 f ( x)的对称中心为 + ,0 (k Z)；
6 12 2 12 2
【小问 2 详解】
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π
将 f ( x)的图象向右平移 个单位（纵坐标不变），
6
π π π
得到函数 g (x) = 2sin 2 x + = 2sin 2x ，
6 6 6
π π π 5π
由 x 0, 2x , ，
2

6

6 6
π π π
根据三角函数的性质可知 g (x) = 2sin = 1，此时2x = x = 0， min
6 6 6
π π π π
g (x) = 2sin = 2，此时2x = x = ， max
2 6 2 3
π
故 g (x)在 0, 上的值域为 1, 2 .
2
20. 【答案】（1）奇函数,证明见解析；（2）增函数,理由见解析；（3） ( 1,0
【分析】
（1）求出 f ( x)的定义域,再计算 f ( x)与 f ( x)比较,即可判断奇偶性；
（2）对函数求导，判断导函数大于 0 ，即可的 f ( x)的单调性；
（3）利用函数的奇偶性和单调性和将 f ax 1 f 2 x 0转化为 ax x 1，再分情况讨论即可得出 x
的取值范围．
【详解】解（1）判断： f ( x)是奇函数.
3x 3 x
证明：因为 f (x) = ,定义域为 R ,
2
3 x 3x 3x 3 x
f ( x) = = = f (x)
2 2
所以 f ( x)是奇函数；
（2）判断： f ( x)在 R 上是增函数.
3x 3 x
证明：因为 f (x) = (x R)
2
'
(3x 3 x ) 2 (3x 3 x ) 2'所以 f ' (x) =
22
x x
3x
1 1 1
ln 3
x

ln 2 3 ln 3+ ln3 2
3 3 3
= = 0
4 4
所以 f ( x)在 R 上是增函数.
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（3）若 f ax 1 f 2 x 0对任意a ( , 2 恒成立,求 x的取值范围．
因为 f ax 1 f 2 x 0所以 f ax 1 f 2 x ,
由（1）知 f ( x)是奇函数,则 f ax 1 f x 2
又由（2）知 f ( x)在 R 上是增函数,则 ax 1 x 2
ax x 1，对任意 a ( , 2 恒成立,
①当 x = 0 时, 0 1,符合题意；
x 1 1
②当 x 0 时, a 1 ,
x x
因为 a ( , 2 ，无最小值,所以不合题意；
x 1 1
③当 x 0 时, a 1 ,
x x
1
则1 2 ,解得 1 x ,所以 1 x 0 ，符合题意；
x
综上所述： x ( 1,0 .
故若 f ax 1 f 2 x 0对任意 a ( , 2 恒成立， x的取值范围为 ( 1,0 ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明,以及利用函数的奇偶性、单调性解不等式,是基础
题.
21. 【答案】（1） fA 1 1， fB 1 1， A* B {1，4，5}；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）由新定义的元素即可求出 fA 1 与 fB 1 的值,再分情况求出 A*B；
（2）对 x是否属于集合A , B 分情况讨论,即可证明出 fA*B x = fA x fB x ；
（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．
【详解】解：（1） A {1，2，3} , B {2，3，4，5} ,
fA 1 1 , fB 1 1 ,
A* B {1，4，5}；
（2）①当 x A 且 x B 时, fA x = fB x = - 1 ,
所以 x A* B ．所以 fA*B x = 1 ,
所以 fA*B x ＝fA x fB x ,
②当 x A 且 x B时, fA x 1 , fB x 1 ,
所以 x A* B．所以 fA*B x 1 ,
所以 fA*B x ＝fA x fB x ,
③当 x A且 x B 时, fA x 1 , fB x 1．
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所以 x A* B．所以 fA*B x 1．
所以 fA*B x ＝fA x fB x ．
综上, fA*B x ＝fA x fB x ；
④当 x A且 x B时, fA x fB x 1 ．
所以 x A* B．所以 fA*B x = 1．
所以 fA*B x ＝fA x fB x ．
（3）因为 A* B {x | fA x fB x 1} , B * A {x | fB x fA x = - 1} {x | fA x fB x 1} ,
所以 A*B B* A．
因为 A* B *C {x | fA*B x fC x 1} {x | fA x fB x fC x 1} ,
A* B *C {x | fA x fB*C x 1} {x | fA x fB x fC x 1} ,
所以 A* B *C A* B *C ．
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是难题．
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