北京市第十二中学2023-2024学年上学期高一12月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京十二中高一 12月月考
数 学
一 选择题（每题 5分）
1. 设集合 A = x N∣x 1 , B ={x∣ 1 x 2}，则 A B =（ ）
A. 1 B. x∣x 1 C. {x∣ 1 x 1} D. {x∣1 x 2}
3x + 6
2. 函数 f (x) = 的定义域为（ ）
1 x
A. 2,1) B. ( , 2 1,+ ) C. 2,1 D. ( , 2 (1,+ )
3. 若 sin 0且 tan 0，则 的终边所在象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2 5
4. 已知 p ：角 的终边过点 P (1,2) ,q : sin = ，则 p 是 q 的（ ）
5
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 将函数 f ( x)的图象向右平移 1 个单位长度后，再向上平移 x4 个单位长度，所得函数图象与曲线 y = 4
关于 y 轴对称，则 f ( 2) =（ ）
A. -4 B. -2 C. 0 D. 4
2
6. 函数 f (x) = ax (2a 1) x + 3在区间 0,1 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A. 0, B. 0, C. , D. ,
2 2 2 2
7. 今年8 月 24 日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造
成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有 21种半衰期在10年以上；有8 种半衰期在
1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度 c (Bq / L)与时间 t （年）近似满足关系式
1 1
c = k at (k ,a 为大于 0 的常数且 a 1) .若 c = 时， t =10；若 c = 时， t = 20 .则据此估计，这种有机
6 12
1
体体液内该放射性元素浓度 c为 时，大约需要（ ）（参考数据: log23 1.58, log25 2.32 ）
120
A. 43年 B. 53年 C. 73年 D. 120年
x +1 , 7 x 0
8. 已知函数 f (x) = ， g(x) = x
2 2x，设 a为实数，若存在实数m ，使
ln x, e
2 x e
f (m) 2g(a) = 0，则实数 a的取值范围为（ ）
A. [ 1,+ ) B. [ 1,3] C. ( , 1 ] [3,+ ) D. ( ,3]
第1页/共10页
二 填空题（每题 5分）
2 3 2
9. 0 3 __________， lg6 lg3 +8 =
+ lne = __________.
5
5π 25π 15π
10. 将 rad转化为角度为__________，sin + tan = __________.
12 3 4
sin cos
11. 若 tan = 2，则 =______ .
sin + cos
a
12. 已知函数 f (x) = x + .
x
（1）若 a = 1，则 f ( x)在 1,4 上的最小值为__________.
（2）若函数 f ( x)在区间 (1, 4)上存在最小值，则给出一个 a的可能值为__________.
13. 已知函数 f (x) = x2 | x + a |，下列命题中：
① a R, f (x) 都不是 R 上的单调函数；
② a R ，使得 f (x) 是 R 上偶函数；
5
③若 f (x) 的最小值是 ，则 a = 1；
4
④ a 0，使得 f (x) 有三个零点．
则所有正确的命题的序号是 _____．
三 解答题
2
14. 已知关于 x的不等式 ax (a +1) x + b 0 .
（1）若a =1,b = 3，求此不等式的解集；
（2）若不等式的解集是{x∣1 x 5}，求 a + b 的值；
（3）若a 0,b =1，求此不等式的解集.
a 1
15. 已知函数 f (x) =1 (a 0 且 a 1）为定义在 R 上的奇函数
ax +1
（1）利用单调性的定义证明：函数 f (x) 在 R 上单调递增；
（2）若关于 x的不等式 f (mx2 1) + f (2 mx) 0恒成立，求实数 m的取值范围；
（3）若函数 g(x) = kf (x) 3x 有且仅有两个零点，求实数 k的取值范围．
第2页/共10页
参考答案
一 选择题（每题 5分）
1. 【答案】A
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为 A = x N∣x 1 , B ={x∣ 1 x 2}，
所以 A B = 1 .
故选：A.
2. 【答案】A
【分析】利用给定函数有意义，列出不等式求解即得.
3x + 6 3x + 6 3x + 6
【详解】函数 f (x) = 有意义，则 0，即 0，
1 x 1 x x 1
(3x + 6)(x 1) 0
整理得 ，解得 2 x 1，
x 1 0
3x + 6
所以函数 f (x) = 的定义域为 2,1) .
1 x
故选：A
3. 【答案】C
【分析】根据角的终边的位置与三角函数值符号的关系可出结论.
【详解】因为 sin 0，则 的终边在第三、四象限或 y 轴负半轴上，
因为 tan 0，则 的终边在第一、三象限，
因此， 的终边所在象限为第三象限.
故选：C.
4. 【答案】A
2 5
【分析】由 sin = ，则 终边可能落在第一或三象限，则由两个方向的是否推出关系可得.
5
【详解】若角 的终边经过点 P(1, 2)，
2 2 5
则 sin = = ，故充分性成立，
12 + 22 5
2 5
若 sin = ，设 a的终边上一点为 P(x, y) ，
5
y 2 5 2
则 = = ，
x2 + y2 5 5
不妨设 y = 2t 0 2 2 2，则 y = 5t , x + y = 5t ，
第3页/共10页
x = t x = t
解得 ，或 ，
y = 2t y = 2t
x = t
显然当 时， 的终边不过点 P(1, 2)，故必要性不成立.
y = 2t
综上， p 是 q 的充分不必要条件.
故选：A.
5. 【答案】C
(x+1)
【分析】先根据对称变换和平移变换得到 f (x) = 4 4，再代入求值即可.
【详解】因为函数 f ( x)的图象向右平移 1 个单位长度后，
再向上平移 4 个单位长度，设所得函数图象为 g (x)，
x
因为 g (x)与曲线 y = 4x 关于 y 轴对称，所以 g (x) = 4 ，
则 g (x)向下平移 4 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度后可得 f ( x)，
( ) (x+1) 1则 f x = 4 4，所以 f ( 2) = 4 4 = 0 .
故选：C.
6. 【答案】D
【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可.
【详解】当 a = 0 时， f (x) = x +3在区间 0,1 上单调递增，符合题意；
2 2a 1
当 a 0时，因为函数 f (x) = ax (2a 1) x + 3的对称轴为 x = ，
2a
若函数 f (x) = ax2 (2a 1) x + 3在区间 0,1 上是增函数，
a 0 a 0
1
则 2a 1 或 2a 1 ，所以0 a 或 a<0；
0 1 2
2a 2a
1 1
综上， a ，故实数 a的取值范围是 , .
2 2
故选：D
7. 【答案】B
1
= k a
10
6 1
【分析】根据已知条件得 ，解方程组求出 a,k 的值，当 c = 时，在等式两边取对数即可
1 120= k a20
12
求解.
第4页/共10页
1
1 10
= k a
10 1 a =
6
【详解】由题意得: ，解得
2 ，
1 = k a20 1
12 k = 3
t
1 1 10所以 c = ，
3 2
t t
1 10 10
当 c = 时，得 1 1 1 1 1= ，即 = ，
120 120 3 2 2 40
t 1
两边取对数得 = log1 = log2 40 = 3+ log2 5 3+ 2.32 = 5.32，
10 40
2
所以 t = 5.32 10 = 53.2 ，
1
即这种有机体体液内该放射性元素浓度 c为 时，大约需要53年.
120
故选：B.
8. 【答案】B
【分析】先根据已知条件求解出 f ( x)的值域以及 g (x)的最小值，然后根据题意得到 2a2 4a与 f ( x)值
域的端点的大小关系，由此求解出 a的取值范围.
【详解】因为 g(x) = x2 2x， a为实数，所以 2g(a) = 2a2 4a ，
因为 y = 2a2 4a，所以当 a =1时， y 的最小值为 2，
x +1 , 7 x 0
因为函数 f (x) = 的图象如下图，且 f ( 7) = 6, f (e
2 ) = 2, f (e) =1，
ln x,e 2 x e
所以结合图象可知 f ( x)值域为[ 2,6]，
因为存在实数m ，使 f (m) 2g(a) = 0，所以 2 2a2 4a 6，即 1 a 3 ，
故选： B ．
【点睛】结论点睛：若 x f x1 a,b ， x2 c,d ，有 f (x1 ) = g (x2 )，则 ( )的值域是 g (x)值域的子
第5页/共10页
集．
二 填空题（每题 5分）
9. 【答案】 ①. 5 ②. 3
【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得.
2 2
【详解】30 +83 =1+ (23 )3 =1+ 4 = 5，
3 2 5 5 lg6 lg + lne = lg 6+ lg + 2 = lg 6 + 2 = 3 .
5 3 3
故答案为：5；3.
3
10. 【答案】 ①. 75 ②. +1
2
180
【分析】弧度数乘以 即为角度数；应用诱导公式化简求值即可.
π
180 5π 5π 180
【详解】因为1rad = ，所以 = = 75 ；
π 12 12 π
25π 15π π π
sin + tan = sin 8π + + tan 4π +
3 4 3 4
π π 3
= sin + tan = +1.
3 4 2
3
故答案为： 75 ； +1 .
2
1
11. 【答案】
3
sin
【分析】本题首先可对分式的分子分母同时除 cos ，然后借助公式 = tan 以及 tan = 2即可得出
cos
结果．
sin
1
sin cos cos tan 1 1 1
【详解】 = ，故答案为 ．
sin cos sin tan 1 3 3
1
cos
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查利用同角三角函数公式进行化简求值，考查的公式有
sin
= tan ，考查化归与转化思想，是简单题．
cos
12. 【答案】 ①. 0 ②. 2 （答案不唯一）
【分析】（1）由题意可得 f ( x)在 1,4 上单调递增，即可得出答案；
（2）由双勾函数的性质求解即可.
第6页/共10页
1
【详解】（1）若 a = 1，则 f (x) = x ，
x
因为 f ( x)在 1,4 上单调递增，则 f (x) = f (1) =1 1= 0；
min
（2）当 a 0 时，由双勾函数的性质知，
a
当 x 0 时， f (x) = x + 在 (0, a 上单调递减，在 a ,+ )上单调递增， x
当 x 0 时，则函数 f ( x)在 x = a 上取得最小值，
所以当1 a 4 ，即1 a 16时，函数 f ( x)在区间 (1, 4)上存在最小值，
所以 a的可能值为 2 .
故答案为： 0 ； 2 （答案不唯一）
13.【答案】①②④
【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特
殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出 a 的值，即可判断；对
于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.
2
【详解】对于①，当 x a时， f (x) = x x a ，其图象为开口向上的抛物线，
1
对称轴为 x = ，
2
2
当 x a时， f (x) = x + x + a ，其图象为开口向上的抛物线，
1
对称轴为 x = ，
2
x2 x a, x a 2 2
即 f (x) = ，且2 ( a) ( a) a = a
2 ， ( a) + ( a)+ a = a2 ，
x + x + a, x a
即在 x = a处的函数值相等，
由于 f (x) = x2 + x + a 2的对称轴在 f (x) = x x a 的对称轴的左侧，
2
则存在区间 (m,+ ) ( a,+ ) ，使 f (x) = x x a 在 (m,+ ) 上递增，
存在区间 ( ,n) ( , a) ，使 f (x) = x2 + x + a 在 ( ,n) 上递减，
故 a R, f (x) 都不是 R 上的单调函数，①正确；
对于②，当 a = 0 时， f (x) = x2 | x |，定义域为 R，
此时 f (x) = ( x)2 | x |= x2 | x |= f (x)，即 f (x) 为偶函数，②正确；
1 1
对于③，由①的分析可知 f (x) 的最小值在 x = 或 x = 时取到，
2 2
x2 x a, x a 1 1 1 1 1 1
f (x) = ， f = | + a |， f ( ) = | a |，
x
2 + x + a, x a 2 4 2 2 4 2
第7页/共10页
1 1 1 1 1 5
当 a 时，函数最小值在 x = 处取到，由 f = | + a |= ，
2 2 2 4 2 4
解得 a =1或 a = 2 （舍去）；
1 1 1 1 1 5
当 a 时，函数最小值在 x = 处取到，由 f = | + a |= ，
2 2 2 4 2 4
解得 a = 1或 a = 2（舍去）；
1 1 1 1 5 1 1 5
当 a 时，由于 f = a ， f = + a 恒成立，
2 2 2 4 4 2 4 4
不合题意，舍去；
5
故 f (x) 的最小值是 ，则 a = 1或 a =1，③错误；
4
x2 x a, x a
对于④，当 a 0 时， f (x) = ， 2
x + x + a, x a
2
1 1 1 1 1 1 1
当 a = 0 ，即 a =
2
时，当 x 时，令 x x + = 0 ，解得 x = ；
2 2 4 4 4 2 4
1 2 1 1 2 1
当 x 时，令 x + x = 0，解得 x = ；
4 4 2 4
即此时 f (x) 有三个零点，④正确，
故答案为：①②④
【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二
次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.
三 解答题
14. 【答案】（1） x 1 x 3
6
（2）
5
（3）见解析
【分析】（1）解一元二次方程即可得出答案；
（2）利用根与系数关系列式，求得 a,b的值，进而求得 a + b 的值.
1
（3）将原不等式转化为 a x (x 1) 0，对 a分 a 1,a =1,0 a 1三种情况，讨论不等式的解集.
a
【小问 1 详解】
若 a =1,b = 3，则 x2 2x 3 0，即 (x 3)(x +1) 0
解得： 1 x 3 .
所以，此不等式的解集为 x 1 x 3 .
第8页/共10页
【小问 2 详解】
2
由题意知 a 0 ，且 1 和 5 是方程 ax (a +1) x + b = 0的两根，
(a +1) b
∴1+ 5 = ，且1 5 = ，
a a
1 6
解得 a = ，b =1，∴a + b = ．
5 5
【小问 3 详解】
2
若 a 0 ，b =1，原不等式为ax (a +1) x +1 0 ，
1
∴ (ax 1)(x 1) 0 ，∴a x (x 1) 0．
a
1 1
当 a 1时， 1，原不等式解集为 x x 1 ，
a a
1
当 a =1时， =1，原不等式解集为 ，
a
1 1
当 0 a 1时， 1，原不等式解集为 x 1 x ，
a a
1
综上所述：当 a 1时，原不等式解集为 x x 1 ，
a
当 a =1时，原不等式解集为 ．
1
当 0 a 1时，原不等式解集为 x 1 x ．
a
15. 【答案】（1）证明见解析
（2） 0, 4)
（3） (3+ 2 2,+ )
【分析】（1）先根据奇函数满足 f (0) = 0可得 a = 3 ，再设 x2 x1 ，证明 f (x2 ) f (x1 ) 0即可；
（2）化简可得mx2 mx +1 0恒成立，再讨论m 为 0 和大于 0 时两种情况，结合判别式分析即可；
2
（3）将题意转化为方程 x + (1 k ) x + k = 0有两个不相等的正根，
【小问 1 详解】
a 1
证明：由函数 f ( x)为奇函数，有 f (0) =1 = 0，解得 a = 3 ，
2
x
2 2 2 3
x 2 (3 +1) 2 2
当 a = 3 时， f (x) =1 ， f ( x) =1 =1 =1 = 1+ =1 x x
3x +1 3 +1 3 +1 3
x +1
+1
3x
第9页/共10页
f ( x)，符合函数 f ( x)为奇函数，可知 a = 3 符合题意．
2 2
设 x2 x1 ，有 f (x2 ) f (x1 ) = 1 1
3x2 +1 3x

1 +1
x2 x1
2 2 2(3 3 )
= =
x x ，
3 1 +1 3 2 +1 ( x1 x3 +1)(3 2 +1)
由 x x x2 x12 1 ，有3 3 ，有 f (x f x2 ) f (x1 )，故函数 ( )在R上单调递增；
【小问 2 详解】
由 f (mx2 1)+ f (2 mx) 0 f (mx2 1) f (2 mx)
f (mx2 1) f (mx 2)
mx2 1 mx 2 mx2 mx +1 0．
（1）当m = 0时，不等式为1 0恒成立，符合题意；
（2）当m 0时，有Δ = m2 4m 0 ，解得0 m 4 ，
由上知实数m 的取值范围为 0, 4)；
【小问 3 详解】
2
由 g (x) = k 1 3
x
，方程 g ( x) = 0 2x x可化为3 + (1 k )3 + k = 0， x
3 +1
若函数 g (x) 2有且仅有两个零点，相当于方程 x + (1 k ) x + k = 0有两个不相等的正根，
x + x = k 1 0

1 2
k 1
故有 x1x2 = k 0 ，即 2 解得 k 3+ 2 2 ．
k 6k +1 02
Δ = (1 k ) 4k 0
故实数 k 的取值范围为 (3+ 2 2,+ )．
第10页/共10页