2023北京首都师大附中高一12月月考数学（教师版）（PDF版含解析）

2023北京首都师大附中高一 12月月考
数 学
第Ⅰ卷（共 40分）
一、单选题（本大题共 10小题，共 40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
f (x) = x 1. 幂函数 的图象经过点 (2, 2 )，则实数 =（ ）
1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2
2. 若集合 A = 0,m2 , B = 1,2 则“m =1”是“ A B = {0,1,2}”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
ln2 2
3. 已知实数a = e ,b = 2 + 2ln2,c = (ln2) ，则 a,b,c 的大小关系是（ ）
A. c2
4. 函数 y = log1 ( x 2x + 3)的单调递增区间是（ ）
3
A. (1,+ ) B. ( ,1) C. (1,3) D. ( 1,1)
5. 已知甲、乙两名同学在高三的 6 次数学测试的成绩统计如图（图中纵坐标代表该次数学测试成绩），则
下列说法不．正．确．的是（ ）
A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 甲成绩的中位数小于乙成绩的第 75 百分位数
C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
6. 通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为 x的声音对应的等级为
x
f ( x)dB，则有 f (x) =10lg ﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为
1 10 12
200dB，而人类说话时，声音等级约为60dB，则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（ ）
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10
A. 108 B. C. 10 14 D. 1014
3
7. 若x 是函数 f1 (x) = xlogax 2023(a 1)
x
的零点，x 是函数 g (x) = xa 2023(a 1)2 的零点，则
x1x2 的值为（ ）
A. 1 B. 2023 C. 20232 D. 4046
a
8. 若2 + log2 a = 4
b + 2log4 b，则（ ）
A. a 2b B. a 2b C. a b2 D. a b2
2
9. 若 (ax + 2)(x +b) 0对任意 x 0,+ )恒成立，其中 a,b是整数，则 a + b 的可能取值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
a,a b 1
已知a、b R ，定义运算“ ”： a b = ，设函数 f (x) = 2x+110. (2 4
x )， x R . 若
b,a b 1
函数 y = f (x) c 的图象与 x轴恰有两个公共点，则实数 c的取值范围是
A. (0,1) B. (0, 2) (2,3)
C. (0,2) D. (0, 3 1) ( 3 1,2)
第Ⅱ卷（共 60分）
二、填空题（本大题共 5小题，共 20分）
11. 已知函数 f (x) = x3 (a 2x 2 x )是偶函数，则a = ______.
6+ x x2
12. 函数 f (x) = 的定义域为__________．
ln x
13. 已知一组数据9.92,9.96,9.97,9.98,10,10.02,10.03,10.04,10.08的平均数为 X ，方差为 s
2 ，则这组数
据的平均数 X = ______；若新增 3 个均为10的数据，方差记为 s
2 ，那么 s 2 ______ s2 （填写“ ”、“ ”
或“=”）
14. 已知 , 是方程9x 2m 3x +m2 1= 0 的两个根，若 + =1，则m = __， = __.
15. 已知 A、B、C 三个物体同时从同一点出发问同一个方向运动，其路程 y 关于时间 x(x 0)的函数关系
x
式分别为 yA = 2 1, yB = log2 (x +1) , yC = x ，则下列结论中，所有正确结论的序号是__.
①当 x 1时，A总走在最前面；
②当0 x 1时，C 总走在最前面；
③当 x 1时， B 总走在C 的前面
三、解答题（本大题共 4小题，共 40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
m 16
16. 已知函数 f (x) = x ，且m 是满足 f ( 1) 15 的最小正整数.
x2
（1）判定 f ( x)的奇偶性；
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（2）判断 f ( x)在 (0,+ )上的单调性，并用定义证明.
17. 某省实行高考科目“ 3 +1+ 2 ”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；
“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地
理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规
则如下，将考生原始成绩从高到低划分为 A, B ，C, D, E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下
表：
等级 A B C D E
人数比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 86,100 71,85 56,70 41,55 30, 40
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为
Y2 Y T2 T= ，其中Y1,Y2 分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1,T2 分别表示等级赋分区间的最低Y Y1 T T1
分和最高分，Y 表示考生的原始分，T 表示考生的等级分，规定原始分为Y1时，等级分为T1 ，计算结果四
舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为 50，最高分为 98，其频率分布直方图如图：
（1）求实数 a的值（写出解答过程）；
（2）根据频率分布直方图，按分层抽样抽取一个容量为 100 的样本，求其中 D等级中化学成绩原始分不
及格（低于 60 分）的人数（写出解答过程）；
（3）填空：
用估计的结果近似代替原始分区间，估计此次考试化学成绩 A等级的原始分区间为______，按照等级分赋
分规则，估计原始分为 87.5 时对应的等级分数为______.
ax a x
18. 已知 a 0 ，且 a 1，函数 f (x) = +b， (b R)在R 上是单调减函数，且满足下列三个条
ax + a x
3 3
件中的两个：①函数 f (x) 为奇函数；② f (1) = ；③ f ( 1) = ．
5 5
（1）从中选择的两个条件的序号为_______，依所选择的条件求得b = ______，a = _______（不需要过
程，直接将结果写在答题卡上即可）
（2）在（ x1）的情况下，若方程 f (x) = m + 4 在[0,1] 上有且只有一个实根，求实数 m的取值范围．
19. 若函数 f (x) 满足下列条件：
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在定义域内存在 x0 使得 f (x0 +1) = f (x0 )+ f (1) 成立，则称函数 f (x) 具有性质M ；反之若 x0 不存在，则
称函数 f (x) 不具有性质M .
（ x1）证明函数 f (x) = 2 具有性质M ，并求出对应的 x0 的值；
a
（2）已知函数 h(x) = lg ，具有性质M ，求实数 a的取值范围.
x2 +1
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参考答案
第Ⅰ卷（共 40分）
一、单选题（本大题共 10小题，共 40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 【答案】C
【分析】利用点代入即可得解.
【详解】因 f (x) = x 的图象经过点 (2, 2 )，
1 1
所以 2 = 2 = 22 ，则
= .
2
故选：C.
2. 【答案】A
【详解】由题得 A B = {0,1, 2 }所以m = 2 或m = 1，所以“m =1”是“ A B = 0,1,2 ”的
充分不必要条件，选 A.
3. 【答案】A
【分析】利用对数函数 y = ln x 的单调性和不等式的性质即可得到 a,b,c 的大小关系.
【详解】由 y = ln x 在 (0,+ )上单调递增，1 2 e，
可得 ln1 ln 2 ln e ，即0 ln2 1，
2
则0 (ln2) 1， 2+ 2ln2 2，又 a = eln2 = 2 ，
2
则0 (ln2) 1 eln2 = 2 2+ ln2，
则 a,b,c 的大小关系是 c故选：A
4. 【答案】D
【分析】利用二次函数的性质与对数型复合函数的性质即可得解.
【详解】因为 y = log1 ( x
2 2x + 3)，
3
所以 x2 2x + 3 0 ，解得 3 x 1，
又 y = x2 2x + 3开口向下，对称轴为 x= 1，
所以 y = x2 2x + 3在 ( 3, 1)上单调递增，在 ( 1,1)上单调递减，
y = log x
而 1 在其定义域上单调递减，
3
所以 y = log
2
1 ( x 2x + 3)的单调递增区间为 ( 1,1) .
3
故选：D.
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5. 【答案】B
【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.
【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，
则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD 正确；
将甲成绩从小到大进行排序，则第三与第四个成绩的平均数作为甲成绩的中位数，
将乙成绩从小到大进行排序，又6 75% = 4.5 ，
故选择第 5 个成绩成绩作为乙成绩的第 75 百分位数，
即甲的第 4 与第 6 次成绩的平均数为甲成绩的中位数，乙的第 2 或第 3 次成绩作为乙成绩的第 75 百分位
数，
从图中可知甲的第 4 与第 6 次成绩都大于乙的第 2 或第 3 次成绩，
所以甲成绩的中位数大于乙成绩的第 75 百分位数，故 B 错误；
甲成绩均集中在 90 分左右，而乙成绩大多数集中在 60 分左右，故 C 正确.
故选：B
6. 【答案】D
【分析】利用函数表达式以及声音的分贝数求出声音强度，求比值即可.
x
【详解】当声音约为200dB时，则200 =10lg ，解得 x =108 ，
1 10 12
x
当声音约为60dB时，则60 =10lg ，解得 x =10 6，
1 10 12
108
所以抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为 =1014 .
10 6
故选：D.
7. 【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于 y = x 对称，结合反比例函数的图象也关于
y = x 对称，从而数形结合即可得解.
x
【详解】因为x 是函数 f (x) = xlogax 2023(a 1) 的一个零点，x 是函数 g (x) = xa 2023(a 1)1 2
的一个零点，
2023 x 2023x
所以 x1 loga x1 2023 = 0， x2a
2 2023 = 0 2，即 loga x1 = ，a = ，
x1 x2
2023 2023
设函数 y = a x (a 1)与 y = 的交点为A ，则 A( x1, y )， y1 =1 ，
x x1
2023 2023
设函数 y = log x (a 1)与 y = 的交点为 B ，则 B (x , y )， ya 2 2 2 = ，
x x2
因为函数 y = log x (a 1a )
x
与函数 y = a (a 1)互为反函数，
所以它们的图象关于 y = x 对称，
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2023
而 y = 的图象也关于 y = x 对称，
x
所以点 A, B 关于 y = x 对称，即 x1 = y2 ，
2023 2023
所以由 y2 = 得 x1 = ，即 x1x2 = 2023 . x2 x2
故选：B.
8. 【答案】B
【分析】设 f (x) = 2x + log x ，利用作差法结合 f (x)2 的单调性即可得到答案.
a b
【详解】设 f (x) = 2x + log x ，则 f (x)2 为增函数，因为 2 + log2 a = 4 + 2log4 b = 2
2b + log2 b
1
所以 f (a) f (2b) = 2
a + log2 a (2
2b + log2 2b) = 2
2b + log 2b2 b (2 + log2 2b) = log2 = 1 0，
2
所以 f (a) f (2b) ，所以 a 2b .
f (a) f (b2
2 2 2
) = 2a + log2 a (2
b + log2 b
2 ) = 22b + log2 b (2
b + log 2 2b b2 b ) = 2 2 log ， 2 b
当b =1时， f (a) f (b2 ) = 2 0，此时 f (a) f (b2 ) ，有 a b2
当b = 2 时， f (a) f (b2 ) = 1 0 ，此时 f (a) f (b2 ) ，有 a b2 ，所以 C、D 错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中
档题.
9. 【答案】B
2
【分析】根据题意，当b 0时，得到 a不存在；当b 0时，设 f (x) = ax + 2和 g ( x) = x + b，结合函数
的图象，列出关系式，即可求解.
【详解】由题意，不等式 (ax + 2)(x2 +b) 0对任意 x 0,+ )恒成立，
2
当b 0时，由不等式 (ax + 2)(x +b) 0，即 ax + 2 0 在 x 0,+ )上恒成立，此时 a不存在；
当b 0时，由不等式 (ax + 2)(x2 +b) 0，
可设函数 f (x) = ax + 2和 g ( x) = x2 + b，
由函数 g ( x) = x2 + b的大致图象，如图所示，
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要使得不等式 (ax + 2)(x2 +b) 0对任意 x 0,+ )恒成立，
a 0
a = 1 a = 2
则满足 2 ，又因为 a,b是整数，可得 或 ，
= b b = 4 b = 1
a
所以 a + b = 5或 a + b = 3 .
故选：B.
10. 【答案】A
【分析】根据定义得出 f ( x)的解析式，作出函数 f ( x)的图象得出答案．
x 2
【详解】解：若 2x+1 ﹣ (2 4 )≤1，则 (2x ) + 2 2x 3 0，解得 x 0 ，
2
若 2x+1 ﹣ (2 4x )＞1，则 (2x ) + 2 2x 3＞0，则 x＞0，
2x+1，x 0
∴f（x）= ，
2 4
x，x＞0
作出 f（x）的函数图象如图所示：
∵y＝f（x）﹣c有两个零点，
∴f（x）＝c有两解，
∴0＜c＜1．
故选 A．
【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调
性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将
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复杂的问题转化为简单的问题处理．
第Ⅱ卷（共 60分）
二、填空题（本大题共 5小题，共 20分）
11. 【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数 a的值.
3 x x
【详解】因为 f (x) = x (a 2 2 )，故 f ( x) = x3 (a 2 x 2x )，
因为 f ( x)为偶函数，故 f ( x) = f (x)，
x3 (a 2x 2 x ) = x3 (a 2 x 2x ) (a 1)(2x +2 x时 ，整理得到 )=0 ，
故 a =1，
故答案为：1
12. 【答案】 (0,1) (1,3
6+ x x2 0
【分析】根据 ，解出两个不等式，最后求交集即可.
ln x 0
6+ x x2 0

【详解】由题意： ln x 0 x (0,1) （1，3］

x＞0
故答案为： (0,1) (1,3] .
13. 【答案】 ①. 10 ②.
【分析】空 1，利用平均数的计算公式即可得解；空 2，再利用方差的定义判断即可.
【详解】依题意，得
1
X = (9.92+9.96+9.97+9.98+10+10.02+10.03+10.04+10.08) =10；
9
因为新增的 3 个数据均为10，
9 2 9 2 2
所以新的数据组的平均数不变，仍为10，则 (xi X ) = (xi X ) +3 (10 X ) ，
i=1 i=1
1 9 2 1 9 2 22
因为 s = (x 2i X ) ， s = (xi X ) +3 (10 X ) ， 9 i=1 12 i=1
所以 s2 s 2 .
故答案为：10； .
14. 【答案】 ①. 2 ②. 0
【分析】利用一元二次方程根的分布和根与系数的关系列出关于m 的方程，解之即可求得m 的值，求得
, 的值，进而得到 的值.
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【详解】由题意得方程9x 2m 3x +m2 1= 0 有两个根，
则方程 t 2 2mt +m2 1= 0 有二正根，
Δ = 4m2 4(m2 1) 0

则 2m 0 ，解之得m 1，

m
2 1 0
又 , 是方程9x 2m 3x +m2 1= 0 的两个根，
则3 3 = m2 1，又 + =1，则m2 1= 3 + = 3，
解之得m = 2 或m = 2（舍），
则3 + 3 = 2m = 4 ，又 =1 ，
则31 + 3 = 4 ，解之得 = 0 或 = 1
=1 = 0
则 ，或 ，则 = 0
= 0 =1
故答案为：2，0
15. 【答案】①②
【分析】利用指数函数对数函数幂函数的增长变化规律判断①；利用三个函数在 0 x 1上的图像判断②；
举反例否定③.
【详解】对于①，指数函数的变化是先慢后快，当 x =1时， yA = yB = yC =1，
所以当 x 1时，A总走在最前面，判断正确；
x
对于②，同一坐标系内画出 y = 2 1, y = log2 (x +1) , y = x 的简图，
x
由图可得当0 x 1时， 2 1 log2 (x +1) x ，
故0 x 1时，C 总走在最前面.判断正确；
对于③，当 x = 63时， yB = log2 (63+1) = 6, yC = 63 36 = 6，
故 yB yC ，即C 走在 B 的前面.判断错误.
故答案为：①②
三、解答题（本大题共 4小题，共 40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 【答案】（1） f (x) 为偶函数
（2） f (x) 在 (0,+ )上单调递增，证明见解析
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【分析】（1）先由题意求得m = 2 ，再利用函数奇偶性的定义即可得解；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可得证.
【小问 1 详解】
16
因为 f (x) = xm ，
x2
m 16 m
所以由 f ( 1) 15，得 ( 1) 15 ，即 ( 1) 1，
1
因为m 是满足 f ( 1) 15的最小正整数，
m m
当m =1时，不满足 ( 1) 1；当m = 2 ，满足 ( 1) 1；
2 16
所以m = 2 ，则 f (x) = x ，其定义域为 ( ,0) (0,+ )，
x2
2 16 16
又 f ( x) = ( x) = x
2 = f x
2 ( )，所以 f (x) 为偶函数.
( x) x
2
【小问 2 详解】
f (x) 在 (0,+ )上单调递增，证明如下：
任取x ，x (0,+ )，且 x1 x2 ， 1 2
16 16 16
f (x1) f (x2 ) = x
2
1 x
2
2 = (x1 x x + x 1+ ， 2 2 2 )( 1 2 ) 2 2
x1 x2 x1 x2
因为0 x1 x2 ，所以 x1 x2 0, x1 + x2 0, x1x2 0 ，所以 f (x1 ) f (x2 )，
所以 f (x) 在 (0,+ )上单调递增.
17. 【答案】（1）a = 0.005
（2）3
（3） 85,98 ；89
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为 1 求解；
（2）由题意求得所求人数的占比，从而得解；
（3）利用频率分布直方图与百分位数求出此次考试化学成绩 A等级的原始分区间，再利用给定转换公式求
出等级分作答.
【小问 1 详解】
依题意，得10(a + 0.04+ 0.03+ 0.02+ a) =1，解得a = 0.005，
所以 a = 0.005 .
【小问 2 详解】
由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间 50,60)的占比为5%，
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又成绩 E等级占比为 2% ，成绩 D等级占比为13% ，
所以 D等级中化学成绩原始分不及格（低于 60 分）的占比为5% 2% = 3% ，
故其人数估计值为100 3% = 3 .
【小问 3 详解】
由题意，易知此次考试化学成绩 A等级的原始分区间的右端点为98，
其左端点对应的是第85%分位数，
因为原始分成绩位于区间 50,80 的占比为10 (0.005+ 0.04+ 0.03) = 0.75 = 75% ，
位于区间 50,90 的占比为10 (0.005+ 0.04+ 0.03+ 0.02) = 0.95 = 95% ，
则原始成绩分数的85%分位数在区间 80,90 上，不妨设为 x，
则0.75+ (x 80) 0.02 = 0.85，解得 x = 85，
所以此次考试化学成绩 A等级的原始分区间为 85,98 ；
显然原始分为 87.5 时对应的等级为A ，
Y2 Y T2 T
此时 = ，其中Y1 = 85,Y2 = 98，Y = 87.5，T1 = 86,T2 =100 ， Y Y1 T T1
98 87.5 100 T 2306
则 = ，解得T = 88.7 ，
87.5 85 T 86 26
则该学生的等级分为89分.
1
18. 【答案】（1）①②, b = 0,a =
2
23
（2）m , 1
5


1
【分析】（1）g 利用单调性以及函数的奇偶性确定满足的条件，再利用条件求解得到b = 0,a = ；（2）利
2
用函数的单调性求出最值，数形结合求解m 的取值范围.
【小问 1 详解】
ax a x
因为 f (x) = +b， (b R)在R 上是单调减函数，
ax + a x
所以 f (1) f ( 1) ，所以②③条件中，有且仅有 1 个成立，
所以满足①，则有 f (0) = 0，
又因为 f ( 1) f (0) f (1) ，
所以满足条件①②.
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b = 0

1a 1
所以 a 3 解得b = 0,a = .
+ b = 21 5
a +
a
【小问 2 详解】
2 x 2x 1 4x 2
由（1）可知 f (x) = = = 1，
2 x + 2x 1+ 4x 1+ 4x
2 x
f (x) = m + 4x 等价于 1 4 = m，
1+ 4x
2 2
令 g(x) = 1 4
x x
，则 g(x) = 1 4 在[0,1] 单调递减，
1+ 4x 1+ 4x
23
所以 g(x)max = g(0) = 1, g(x)min = g(1) = ，
5
因为 f (x) = m + 4x 在[0,1] 上有且只有一个实根，
23
所以m , 1 .
5


19. 【答案】（1）证明见解析， x0 =1 （2）a [3 5,3+ 5]
【分析】
（1）将 f (x) = 2x 代入 f (x +1) = f (x )+ f (1) ，求出 x0 0 0 即可证明；
a a a
2
（2）由题意，存在 x ，使 lg = lg + lg0 2 2 ，化简得 (a 2)x0 + 2ax0 + 2a 2 = 0 有实(x x +1 20 +1) +1 0
根，分类讨论即可求出答案．
【详解】（1）证明： f (x) = 2x 代入 f (x0 +1) = f (x0 )+ f (1) 得：
2x+1
x
= 2 0 + 2 ，
即 x2 0 = 2，解得 x0 =1
所以函数 f (x) = 2x 具有性质M ；
（2）解：h(x) 的定义域为 R ，且可得 a 0 .
因为 h(x) 具有性质M ，所以存在 x0 ，使 h (x0 +1) = h (x0 )+ h(1) ，
a a a
2 2
代入得： lg = lg + lg2 2 ，化为 2(x +1) = a (x +1) + a，
(x0 +1) +1 x
0 0
0 +1 2
整理得： (a 2)x
2
0 + 2ax0 + 2a 2 = 0 有实根，
1
①若 a = 2，得 x0 = ；
2
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②若 a 2，得 0 ，即 a2 6a + 4 0，解得：a [3 5,3+ 5]，
∴ a [3 5,2) (2,3+ 5]；
综上可得 a [3 5,3+ 5]
【点睛】本题是在新定义下对函数的综合考查，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解
题，属于难题．
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