2023北京顺义一中高一12月月考数学（教师版）（PDF版含解析）

2023北京顺义一中高一 12月月考
数 学
一 选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）
已知集合M ={x | 2 x 1}, N ={x | 1 x 2}1. ，则M N =（ ）
A. {x∣ 1 x 1} B. x∣ 2 x 2
C. x∣ 1 x 1 D. {x∣ 1 x 1}
2. 命题“ x 1， x2 x 0 ”的否定是（ ）
A. x 1， x2 x 0 B. x 1， x
2 x 0
C. x 1， x2 x 0 D. x 1， x2 x 0
3. 当 0 a 1时，在同一坐标系中，函数 y = a x 与它反函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知a = log30.3，b = 3
0.3 ， c = 0.33，则（ ）
A. a b c B. a c b
C. cπ 1
5. “ = ”是“ sin = ”的（ ）
6 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A. sin 0 B. cos 0
C. sin tan 0 D. sin 2 tan 0
7. 函数 f (x) = ln x + x 3的零点所在的一个区间为 （ ）
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A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)
8. 单位圆O 圆周上的点 P 以A 为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈， 24 分
钟之后OP 从起始位置OA转过的角是（ ）
24 12
A. B.
5 5
14 24
C. D.
5 5
9. 中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的
教室内每立方米空气中的含药量 y（单位：毫克）随时间 x
（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与
x成正比；药物释放完毕后，y与 x的函数关系式为
x a
1
y = （a为常数），据测定，当空气中每立方米的含药
9
1
量降低到 毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信
3
息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（ ）
A. 0.4h B. 0.5h C. 0.7h D. 1h
log3x , x 0,
10. 已知函数 f (x) = 关于 x的方程 f (x) = m,(m R) .有四个不同的实数解
x2 2x, x 0.
x1, x2 , x3 , x4 ，则 x1 + x2 + x3 + x4的取值范围为（ ）
4
A. (0,+ ) B. 0,
3
1 10 10
C. , D. ,+
3 3 3
二 填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
π
11. 已知角 的终边经过点 P ( 3, 4)，则 cos + = __________.
2
1
12. 函数 f (x) = ln (x 1)+ 的定义域是__________.
x 3
13. 已知某扇形的圆心角是 2 ，圆心角所对的弧长也是 2 ，则该扇形的半径为___ ；面积为_____.
3x +1, x 0
14. 设函数 f (x) = ，则 f ( f (0)) = ___________，若方程 f (x) = a有两个不相等的实数根，
log2 x, x 0
则实数 a的取值范围为___________.
x2 +1
15. 关于函数 f (x) = lg (x 0 )，有下列命题，其中所有正确结论的序号是__________.
x
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①其图象关于 y 轴对称；
② f ( x)在区间 ( , 1) ,(0,1)上是减函数；
③ f ( x)无最大值，也无最小值；
④ k R ，使得 x ( ,0) (0,+ )都有 f (x) kx +1成立
三 解答题（本大题共 6小题，共 85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写
在答题纸上的相应位置.）
16. 已知集合 A = x∣ 2 x 5 , B = x∣m 1 x 2m+1
（1）若m = 3时，求 A B ；
（2）若 A B = A ，求m 的取值范围.
17.计算 求值：
2
5 11 25 19
（1） loglg + 2lg2+3 3
2
lg0.01+ lne3 + 273 ；（2）sin + cos + tan .
2 6 3 4
18. 完成下列两个小题
4
（1）已知 是第三象限角，且 cos = ，求 sin 的值；
5
1
（2）若 tan = ，求cos 的值.
2
2
19. 已知函数 f (x) = m+ (m R)
3x +1
（1）若函数 f ( x)为奇函数，求实数m 的值；
（2）判断函数 f ( x)在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；
2
（3）若函数 f ( x)为奇函数，求满足不等式 f (2t 1)+ f (t 2) 0 的实数 t 的取值范围.
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20. 计划建造一个室内面积为 1500 平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的
矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留 1.5 米宽的通道，两个养殖池之间保留 2 米宽的
通道.设温室的一边长度为 x米，两个养殖池的总面积为 y 平方米，如图所示：
（1）将 y 表示为 x的函数，并写出定义域；
（2）当 x取何值时， y 取最大值？最大值是多少？
（3）若养殖池的面积不小于 1015 平方米，求温室一边长度 x的取值范围.
21. 对于正整数集合 A = a1,a2 , ,an (n *N ,n 3)，如果去掉其中任意一个元素ai (i =1,2, ,n)之
后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就
称集合A 为“和谐集”.
（1）判断集合 1,2,3,4,5 与 1,3,5,7,9 是否为“和谐集”（不必写过程）；
（2）求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；
（3）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.
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参考答案
一 选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）
1. 【答案】A
【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合M ={x∣ 2 x 1}, N ={x∣ 1 x 2}，
根据集合交集的概念与运算，可得M N ={x | 1 x 1} .
故选：A.
2. 【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ x 1， x2
2
x 0 ”的否定是 x 1， x x 0 .
故选：C.
3. 【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，结合选项，即可求解.
【详解】根据指数函数与对数函数的性质，可得函数 y = a x 的反函数为 y = loga x ，
因为 x0 a 1，可得函数 y = a 和 y = loga x 在其定义域上为单调递减函数，
结合选项，可得选项 D，符合题意.
故选：D.
4. 【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 a,b,c 的取值范围，从而可得结果
【详解】因为 log30.3 log31= 0 ，3
0.3 30 =1，0 0.33 1，
a c b ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问
题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ( ,0) ,(0,1) , (1,+ ) ）；二是
利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
5. 【答案】A
【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
π 1
【详解】由 = ，可得 sin = 成立，即充分性成立；
6 2
1 π 5π
反正：若 sin = ，可得 = + 2kπ或 = + 2kπ,k Z ，即必要性不成立，
2 6 6
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π 1
所以 = 是 sin = 的充分不必要条件.
6 2
故选：A.
6. 【答案】D
【分析】
根据 为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.
【详解】 是第三象限角， sin 0， cos 0 ， tan 0，故 AB 不正确；
sin tan 0 ，故 C 不正确；
sin 2 tan = 2sin cos tan 0 ，故 D 正确.
故选：D
7. 【答案】B
【分析】利用零点存在性定理结合 f (2) f (3) 0 可得解.
【详解】函数 f (x) = ln x + x 3为增函数，且 f (2) = ln 2 1 0, f (3) = ln 3 0， f (2) f (3) 0
由零点存在性定理可知函数 f (x) = ln x + x 3的零点所在的一个区间为(2,3).
故选：B.
【点睛】本题主要考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.
8. 【答案】D
【分析】
根据题意可出关于 的等式，即可求得结果.
2 24
【详解】设 24 分钟之后OP 从起始位置OA转过的角 ，由题意可得 = ，解得 = .
24 10 5
故选：D.
9. 【答案】C
【分析】根据函数图象经过点 (0.2,1)，求出 a的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得.
x a
【详解】由题意知，点 (0.2,1) 1 在函数 y = 的图象上，
9
0.2 a
1
所以1= ，
9
解得 a = 0.2，
x 0.2
1
所以 y = ，
9
x 0.2 2x 0.4
1 1 1 1
由 ，可得 ，
9 3 3 3
所以 2x 0.4 1，
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解得 x 0.7 ，
所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的0.7 小时.
故选：C.
10. 【答案】B
1
【分析】作出函数 y = f (x)和直线 y = m的图形，由图可知 x1 1 x2 0 x3 1 x 且 x1 + x2 = 24 ，
3
1 1 1
log x =3 x3 = log3 x4 ，则 x3x4 =1，进而 4 ，有 x1 + x2 + x3 + x4 = 2+ x3 + （ x3 1），利用定义x3 x3 3
1 1 1 10
法证明函数 g(x) = x + 在 ( ,1)上单调递减，可得 2 x3 + ，即可求解.
x 3 x3 3
【详解】作出函数 y = f (x)和直线 y = m的图形，如图，
1
由图可知， x1 1 x2 0 x3 1 x ，且 x log x = log x4 1 + x2 = 2 ， 3 3 3 4 ，
3
则 log x + log x = 0 ，即 log3 (x3x4 ) = 03 3 3 4 ，解得 x3x4 =1，
1
所以 x4 = ，
x3
1 1
所以 x1 + x2 + x3 + x4 = 2+ x3 + ， x3 1， x3 3
1 1 1 1
令 g(x) = x + ，则 g(x1) g(x2 ) = x1 + x2 = (x1x2 1)(x1 x2 ) ，
x x1 x2 x1x2
1 1
当 x x 1时， 0, x1x2 1, x x1 2 1 2 0 ，
3 x1x2
1
所以 g(x1) g(x2 ) = (x1x2 1)(x1 x2 ) 0 ，即 g(x1) g(xx x 2
) ，
1 2
1 1 1 10
故函数 g(x) = x + 在 ( ,1)上单调递减，所以 2 x + ，
x 3 x 3
1 10 4
所以 2 x3 + ，得 0 x1 + x2 + x3 + xx 3 4
，
3 3
4
即 x1 + x2 + x3 + x4的取值范围为 (0, ) .
3
故选：B
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二 填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
4
11. 【答案】
5
【分析】根据三角函数的定义，结合诱导公式即可求解.
4 4
【详解】由题意可得 sin = =2 ，
( 3) + 42 5
π 4
故 cos + = sin = ，
2 5
4
故答案为：
5
12. 【答案】 (1,3) (3,+ )
【分析】根据对数以及分式的性质即可列不等式求解.
1 x 1 0
【详解】 f (x) = ln (x 1)+ 的定义域需要满足 ，解得 x 1且 x 3，
x 3 x 3 0
故答案为： (1,3) (3,+ )
13. 【答案】 ①. 1 ②. 1
【分析】
利用扇形的弧长公式可求得扇形的半径，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为 R ，则该扇形的弧长为 2R = 2，可得 R =1，
1
该扇形的面积为 S = 2 1=1.
2
故答案为：1；1 .
14. 【答案】 ①. 1 ②. 1 a 2
【分析】(1)先求出 f (0)的值，再求 f ( f (0))即得解；
(2) 作出函数 f (x) 的图像，再作出直线 y = a ，数形结合分析即得解.
【详解】（1）由题得 f (0) = 30 +1= 2，所以 f ( f (0)) = f (2) = log2 2 =1. 所以 f ( f (0)) = 1.
（2）作出函数 f (x) 的图像，再作出直线 y = a ，方程 f (x) = a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范
围为1 a 2 .
故答案为：1；1 a 2 .
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15. 【答案】①②
【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性、对钩函数的单调性，结合数形结合思想逐一判断即可.
x2 +1
【详解】因为 f ( x) = lg = f x x
( )，

所以函数 f ( x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称，故①对；
x2 +1 1
当 x 0 时， f (x) = lg = lg x + ，
x x
1
函数 y = x + 在(0,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，
x
所以函数 f ( x)在(0,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，
因为函数 f ( x)是偶函数，
所以函数在 ( ,1) 上单调递减，在 ( 1,0) 上单调递增，故②正确；
x2 +1 1 1 1
当 x 0 时， f (x) = lg = lg x + lg 2 x = lg 2 ，当且仅当 x = 取等号，即 x =1时
x x
x x
取等号，故此时 f (x) = lg 2 ，
min
而函数 f ( x)的图象关于 y 轴对称，
所以当 x 0时， f (x) = lg 2 ，故③不正确；
min
由上可得函数 f ( x)的图象如下图所示：
直线 y = kx +1恒过点 (0,1)，
由数形结合思想可知：无论 k 0 、 k = 0 、 k 0 ， x ( ,0) (0,+ )都有 f (x) kx +1成立，是
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不可能的，故④不正确，
故答案为：①②
【点睛】关键点睛：利用复合函数的单调性的性质、偶函数单调性的性质、数形结合思想是解题的关键.
三 解答题（本大题共 6小题，共 85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写
在答题纸上的相应位置.）
16. 【答案】（1） x∣ 2 x 7
（2） 1 m 2 或m 2
【分析】（1）根据集合的交运算即可求解，
（2）根据并集的结果转化为子集关系，即可分类求解.
【小问 1 详解】
m = 3时， B = x∣2 x 7 ，又 A = x∣ 2 x 5 ,
所以 A B = x∣ 2 x 7 ,
【小问 2 详解】
由 A B = A 可得 B A，
当m 1 2m +1时，即m 2，此时 B = ，显然符合题意，
2 m 1,

当 B 时， 2m +1 5 ，解得 1 m 2 ，

m 1 2m +1
综上可得 1 m 2 或m 2
17. 【答案】（1）17 （2）2
【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.
（2）运用诱导公式直接化简求值即可
【小问 1 详解】
5
原式= lg + lg 4+ 2+ 2+3+9 = lg10+ 2+ 2+12 =17；
2
【小问 2 详解】
π π 3 1 1 3
原式= sin + cos + tan π = + tan π = 2 .
6 3 4 2 2 4
3
18. 【答案】（1）
5
2 5 2 5
（2） 是第一象限角时， cos = ， 是第三象限角时， cos = ，
5 5
【分析】（1）根据同角平方和关系即可求解，
（2）根据弦切互化结合同角平方关系即可求解.
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【小问 1 详解】
4 9
由 cos = sin2可得 =1 cos2 = ，
5 25
3
由于 是第三象限角，所以 sin 0，故 sin =
5
【小问 2 详解】
1
由 tan = 0可知： 是第一象限或者第三象限角，
2
1 sin 1
tan = = cos = 2sin 2，又cos + sin2 =1 sin2 = ，
2 cos 5
2 5
当 是第一象限角时， cos =2sin = ，
5
当
2 5
是第三象限角时， cos =2sin = ，
5
19. 【答案】（1）m = 1
（2）函数 f ( x)在 R 上单调递减，证明见解析
（3） ( , 3) (1,+ )
【分析】（1）利用奇函数的定义可得m 的值；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）根据 f ( x)的奇偶性和单调性可得 t 的取值范围.
【小问 1 详解】
函数 f ( x)的定义域为 R ，
因为 f ( x)为奇函数，所以 f ( x) = f (x) ，
2 2
所以m+ = m ，
3 x +1 3x +1
2 3x 2
所以 2m = = 2，
3x +1 3x +1
所以m = 1 .
【小问 2 详解】
函数 f ( x)在 R 上单调递减.
下面用单调性定义证明：
任取 x1, x2 R，且 x1 x2 ，则
2 2 2(3x2 3x1 )
f (x1) f (x2 ) = m+ m = x1 x3 +1 3 2 +1 (3x1 +1)(3x2 +1)
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因为 y = 3x 在 R 上单调递增，且 x1 x2 ，所以
x x
3 2 3 1 0 ，
又 (3x1 +1)(3x2 +1) 0，所以 f (x1) f (x2 )，
所以函数 f ( x)在 R 上单调递减.
【小问 3 详解】
因为 f ( x)为奇函数，所以 f ( x) = f (x) ，
由 f (2t 1)+ f (t 2 2) 0 得
f (2t 1) f (t 2 2)，
即 f (2t 1) f (2 t 2 )，
由（2）可知,函数 f ( x)在 R 上单调递减，
所以 2t 1 2 t 2 ，
即 t 2 + 2t 3 0 ，解得 t 3或 t 1，
所以 t 的取值范围为 ( , 3) (1,+ ) .
1500
20. 【答案】（1） y = (x 3) 5 ，{x | 3 x 300}.
x
（2）x为 30 时，y取最大值为 1215
（3） x 10 x 90
【分析】（1）按题意给出另一边长，再表示面积即可，由边长为正得定义域；
（2）整理面积的表达式，利用不等式即可给出最大值；
（3）解不等式即可由面积范围求边长范围.
1500 1500
【详解】（1）依题意得：温室的另一边长为 米，则养殖池的总面积 y = (x 3) 5 ，
x x
x 3 0

因为 1500 ，解得3 x 300.
5 0
x
∴定义域为{x | 3 x 300}.
1500 4500
（2）由（1）， y = (x 3) 5 =1515 +5x ，又3 x 300，
x x
4500 4500
所以 + 5x≥ 2 5x = 300，
x x
4500
当且仅当 = 5x，即 x = 30 时上式等号成立，
x
4500
所以 y =1515 +5x 1515 300 .
x
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当 x = 30 时， ymax =1215 .
当 x为 30 时， y 取最大值为 1215.
4500
（3）养殖池的面积不小于 1015 平方米即 y =1515 +5x 1015
x
4500
所以 +5x 500 ，解得10 x 90
x
故 x的取值范围为 x |10 x 90 .
21. 【答案】（1） 1,2,3,4,5 不是“和谐集”， 1,3,5,7,9 不是“和谐集”
（2）证明见解析 （3）7
【分析】（1）由“和谐集”的定义判断
（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明
（3）由（2）知 n为奇数，根据 n的取值讨论后求解
【小问 1 详解】
对于 1,2,3,4,5 ，去掉 2 后，{1,3,4,5}不满足题中条件，故 1,2,3,4,5 不是“和谐集”，
对于 1,3,5,7,9 ，去掉 3 后，{1,5,7,9}不满足题中条件， 1,3,5,7,9 不是“和谐集”
【小问 2 详解】
设 A = a1,a2 , ,an 中所有元素之和为M ，由题意得M ai 均为偶数，
故 ai (i =1,2, ,n)的奇偶性相同
①若 ai 为奇数，则M 为奇数，易得 n为奇数，
a
②若 ai 为偶数，此时取b =
i ，可得 B = b1,b2 , ,bi n 仍满足题中条件，集合 B 也是“和谐集”，
2
若bi 仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知n为奇数
综上，集合A 中元素个数为奇数
【小问 3 详解】
由（2）知集合A 中元素个数为奇数，显然 n = 3时，集合不是“和谐集”，
当 n = 5时，不妨设 a1 a2 a3 a4 a5 ，若 A 为“和谐集”，
去掉 a1后，得 a2 + a5 = a3 + a4，去掉 a2 后，得 a1 + a5 = a3 + a4 ，两式矛盾，故 n = 5时，集合不是“和
谐集”
当 n = 7 ，设 A {1,3,5,7,9,11,13}，
去掉 1 后，3+ 5+ 7 + 9 =11+13，
去掉 3 后，1+ 9+13 = 5+ 7 +11，
去掉 5 后，9+13 =1+ 3+ 7 +11，
去掉 7 后，1+ 9+11= 3+ 5+13，
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去掉 9 后，1+ 3+ 5+11= 7 +13，
去掉 11 后，3+ 7 + 9 =1+ 5+13，
去掉 13 后，1+ 3+ 5+ 9 = 7 +11，
故 A {1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”，元素个数的最小值为 7
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