2023北京一零九中高一12月月考数学（教师版）（PDF版含解析）

2023北京一零九中高一 12月月考
数 学
一、单选题（10道共 40分）
A = 1,0,1,2 B = 0,1,2,3
1.已知集合 ， ，则 A B =（ ）
A. 0,1, 2 B. 1, 2,3 C. 1,3 D. 1,0,1,2,3
2. 不等式 x2 x 2 0的解集是（ ）
A. {x∣x 2或 x 1} B. {x∣x 1或 x 2} C. {x∣ 1 x 2} D. {x∣ 2 x 1}
3. 下列函数中，在区间 (0,+ )上单调递减的是（ ）
x
1
A. y = x B. y = ln x
3
C. y = D. y = x
2
x2 1
4. 函数 f (x) = 的图象大致为（ ）
x
A. B. C. D.
1
5. 已知 a 0 ，则 a + +1的最小值为（ ）
a
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1
a = log 3 1 2
6. 已知 1 ，b = ln ， 1 c = ，则（ ）
2 2 3
A. b a c B. a b c
C. a c b D. b c a
x
7. 已知指数函数 f (x) = a ，将函数 f ( x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的 3 倍，
得到函数 g (x)的图象，再将 g (x)的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象恰好与函数 f ( x)的图象重
合，则 a的值是（ ）
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
8. 已知函数 f (x) =| lg(x +1) |，对 a，b满足 1 a b且 f (a) = f (b) ，则下面结论一定正确的是（ ）
A. a + b = 0 B. ab =1 C. ab a b = 0 D. ab + a + b = 0
9. 记地球与太阳的平均距离为 R，地球公转周期为 T，万有引力常量为 G，根据万有引力定律和牛顿运动
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4π2R3 R3
定律知：太阳的质量M = (kg) .已知 lg 2 0.3, lg π 0.5, lg 28.7，由上面的数据可以计算
GT 2 GT 2
出太阳的质量约为（ ）
A. 2 1030 kg B. 2 1029 kg 30 29 C. 3 10 kg D. 3 10 kg
10.已知实数a1,a2 , ,a10 ,b1,b2 , ,b10 互不相同，对 ai (i =1,2, ,10) 满足
(ai +b1 )(ai +b2 ) (ai +b10 ) = 2023，则对 bi (i =1,2, ,10),(a1 +bi )(a2 +bi ) (a10 +bi ) =（ ）
A. 2022 B. 2022 C. 2023 D. 2023
二、填空题（5题共 25分）
11. 函数 f (x) = ln (1 2x)的定义域是__________.
1
12. eln2 +83 + lg20 lg2 =______
13. 已知 f (x +1) = 2x + 4 ，且 f (a) = 8，则a的值是______.
14. 已知函数 y = f (x)图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表
x 1 2 3 4
y 0.24 1.21 3.79 10.28
① f (0) 0；② f ( x)在 (2,3)上存在零点；
③ f ( x)有且仅有 1 个零点；④ g (x) = f (x)+ x可能无零点则正确的序号为________．
x2 2x, x a
15. 已知函数 f (x) = , x
2 2, x a
①当 a =1时， f (x) 在 (0,+ )上的最小值为__________；
②若 f (x) 有 2 个零点，则实数 a的取值范围是__________.
三、解答题（共 6题共 85分）
16. 已知集合 A = x x 4 , B = x 2m 1 x m+1
（1）当m =1时，求出 A B, A B ； R B ；
（2）若 B A，求实数m 的取值范围．
x
17. 已知函数 f (x) = ．
x2 +1
（1）判断函数 f ( x)的奇偶性，并证明；
（2）判断函数 f ( x)在 (1,+ )上的单调性，并用定义证明；
（3）直接写出函数 f ( x)的值域．（无需写出推理过程）
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18. 已知函数 f (x) = log1 (ax
2 2x 4) ， a R
2
（1）当a = 2时，求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若函数在 ( ,3 内为增函数，求实数 a的取值范围.
19. 函数 f (x) 的定义域为 (0,+ )，若对任意的 s, t (0,+ )，均有 f (s + t) f (s) + f (t) .
（1）若 f (1) 0，证明： f (2) 0；
（2）若对 x (0,+ ), f (x) 0，证明： f (x) 在 (0,+ )上为增函数；
（3）若 f (1) = 0，直接写出一个满足已知条件的 f (x) 的解析式.
已知函数 f (x) = 2x + a 2 x20. (a 0) .
（1）若 f (x) 为偶函数，求 a的值；
（2）从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件 a的值构成集合 A，若 A ，求 A.
条件①： f (x) 是增函数；
条件②：对于 x R, f (x) 0恒成立；
条件③： x0 [ 1,1]，使得 f (x0 ) 4 .
21. 对于非空数集 A，若其最大元素为 M，最小元素为 m，则称集合 A的幅值为TA = M m，若集合 A中
只有一个元素，则TA = 0 .
（1）若 A = {2,3,4,5}，求TA；
（2）若 A ={1,2,3, ,9}, Ai = ai ,bi ,ci A, Ai Aj = (i, j =1,2,3, i j) ， A1 A2 A3 = A ，求
TA +TA +TA 的最大值，并写出取最大值时的一组 A1 2 3 1, A2 , A3 ；
（3）若集合 *N 的非空真子集 A1, A2 , A3, , An 两两元素个数均不相同，且TA +T1 A +TA + +T2 3 A = 55，n
求 n的最大值.
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参考答案
一、单选题（10道共 40分）
1. 【答案】A
【分析】由交集的概念求解即可.
【详解】因为集合 A = 1,0,1,2 ， B = 0,1,2,3 ，
所以 A B = 0,1,2 ，
故选：A.
2. 【答案】B
【分析】直接解出不等式即可.
【详解】 x2 x 2 0，解得 x 2 或 x 1，故解集为{x∣x 1或 x 2}，
故选：B.
3. 【答案】C
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.
【详解】根据幂函数图像与性质可知，对 A 选项 y = x 在 (0,+ )单调递增，故 A 错误，
对 选项 y = x3D 在 (0,+ )单调性递增，故 D 错误，
x
1
根据指数函数图像与性质可知 y = 在 (0,+ )单调递减，故 C 正确，
2
根据对数函数图像与性质可知 y = ln x 在 (0,+ )单调性递增.
故选：C.
4. 【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除 BC,根据单调性可判断 A，即可求解.
x2 1 ( x)
2 1 x2 1
【详解】 f (x) = 的定义域是 x x 0 ，关于原点对称， f ( x) = = = f (x)，所
x x x
以 f ( x)是偶函数，排除 B，C；
x2 1 1
当 x 0 时， f (x) = = x ，易知 f ( x)在 (0,+ )上是增函数，排除 A．
x x
故选：D
5. 【答案】B
【分析】用基本不等式求解即可.
【详解】因为 a 0 ，
1 1 1
所以 a 1 2 a 1 3，当且仅当 a = 即 a =1时取等号；
a a a
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故选：B
6. 【答案】B
1
2
【分析】利用对数函数的单调性可得 2 a 1， 1 b 0 ，又 1 c = 0，从而可得.
3
1 2 2 1
1 1 1 1
【详解】因为 2 = 3 = 4，所以 log log 3 log ，即 2 a 1， 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
e 1
1 1 1
因为 1，所以 lne ln ln1，即 1 b 0 ，
2 2
1
1 2而 c = 0，所以 a b c .
3
故选：B.
7. 【答案】D
【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可
【详解】解：将函数 f ( x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的 3 倍，得到函数 g (x)的
图象，则 g(x) = 3a x ，
x 2 3
再将 g (x) x的图象向右平移 2 个单位长度，则得到的函数关系数为 y = 3a = a ，
a2
因为所得图象恰好与函数 f ( x)的图象重合，
3
所以 =1， a2 = 3，解得 a = 3 或 a = 3（舍去），
a2
故选：D
8. 【答案】D
【分析】由对数函数的运算性质可知 lg (a +1) = lg (b +1)移项化简即可得.
【详解】因为函数 f (x) =| lg(x +1) |，对 a，b满足 1 a b且 f (a) = f (b) ，
所以 lg (a +1) = lg (b +1)，
则 lg (a +1)+ lg (b +1) = 0
所以 lg (a +1)(b +1) = 0，
即 (a +1)(b+1) =1，
解得 ab + a + b = 0
故选：D
9. 【答案】A
【分析】利用对数运算性质计算即可.
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R3
【详解】因为 lg 2 0.3, lg π 0.5, lg 28.7，
GT 2
4π2R3
所以由M = 得：
GT 2
4π2R3 R3
lg M = lg = lg 4+ lg π
2 + lg
GT
2
GT
2
R3
= 2lg 2+ 2lg π + lg 2 0.3+ 2 0.5+ 28.7 = 30.3，
GT 2
即 lg M 30.3 M 1030.3 =1030+0.3 =100.3 1030 ，
又 lg 2 0.3 100.3 2 ，
所以M 2 1030 kg .
故选：A.
10. 【答案】D
【分析】根据代数基本定理进行求解即可..
【详解】国为 ai (i =1,2, ,10) 满足 (ai +b1 )(ai +b2 ) (ai +b10 ) = 2023，
所以 ai (i =1,2, ,10) 可以看成方程 (x +b1 )(x +b2 ) (x +b10 ) 2023 = 0的10个不等实根，根据代数基
本定理可知：对于任意实数 x都有以下恒等式，
(x +b1 )(x +b2 ) (x + b10 ) 2023 = (x a1)(x a2 )(x a3) (x a10 ) ，
令 x = b1, b2 , b3, , b10 ，于是有
2023 = ( b1 a1)( b1 a2 )( b1 a3) ( b1 a10 )，
(b1 + a1)(b1 + a2 )(b1 + a3) (b1 + a10 ) = 2023，
2023 = ( b2 a1)( b2 a2 )( b2 a3) ( b2 a10 )，
(b2 + a1)(b2 + a2 )(b2 + a3) (b2 + a10 ) = 2023
2023 = ( b3 a1)( b3 a2 )( b3 a3) ( b3 a10 )
(b3 + a1)(b3 + a2 )(b3 + a3) (b3 + a10 ) = 2023，
2023 = ( b10 a1)( b10 a2 )( b10 a3) ( b10 a10 )，
(b10 + a1)(b10 + a2 )(b10 + a3) (b10 + a10 ) = 2023，
所以 bi (i =1,2, ,10), (a1 + bi )(a2 + bi ) (a10 + bi ) = 2023，
故选：D
【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.
二、填空题（5题共 25分）
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1
11. 【答案】 ,
2
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.
1 1
【详解】由1 2x 0得： x ， f x 的定义域为 , .
2 2
1
故答案为： , .
2
12. 【答案】5
【分析】根据指数和对数的运算公式化简得结果即可.
【详解】根据指数和对数的运算公式得到：原式=2+ 2+ lg10 = 5 .
故答案为 5.
【点睛】这个题目考查了对数和指数的运算公式的应用，属于基础题.
13. 【答案】3
【分析】根据凑配法求出 f ( x)解析式，代入即可得出答案.
【详解】由已知可得， f (x +1) = 2x + 4 = 2(x +1)+ 2 ，
所以， f (x) = 2x + 2 .
又 f (a) = 8，所以有 2a + 2 = 8，
解得 a = 3 .
故答案为：3.
14. 【答案】①③
【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据和利用零点存在性定理判断.
【详解】对于①，因为函数 y = f (x)是R 上的增函数，所以 f (0) f (1) = 0.24 0 ，故①正确；
对于②，因为函数 y = f (x)是R 上的增函数，所以当 2 x 3时， f (x) f (2) 1.21 0，故②错误；
对于③，因为函数 y = f (x)是 R 上的增函数， f (1) 0 且 f (2) 0，即 f (1) f (2) 0 ，所以函数 f (x)
有且仅有一个在区间 (1, 2) 的零点，故③正确；
对于④，因为函数 g(x) = f (x) + x 连续，且 g 0 f 0 0， g (1) = f (1)+1 0 即 g(0)g(1) 0，所
以函数 g(x) = f (x) + x 在区间(0,1)上一定存在零点，故④错误，
故答案为：①③
15. 【答案】 ①. 1； ②. a 0 或1 a 2．
【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；
②结合函数 y = x2 2x 和 y = 2x 2的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．
【详解】① a =1， x 1时， f (x) = x2 2x 是增函数， f (x)min = f (1) = 1，
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0 x 1时， f (x) = 2x 2是增函数，因此 f (x) 20 2 = 1，
所以 x (0,+ ) 时， f (x) 的最小值是 1；
②作出函数 y = x2 2x 和 y = 2x 2的图象，它们与 x轴共有三个交点 (0,0) ， (1,0) ， (2,0) ，
由图象知 f (x) 有 2 个零点，则 a 0 或1 a 2．
故答案为： 1； a 0 或1 a 2．
三、解答题（共 6题共 85分）
16. 【答案】（1）答案见解析.
（2）m 5或m>2 .
【分析】（1）根据集合运算法则计算；
（2）根据集合的包含关系列不等式求解.
【小问 1 详解】
A ={x | x 4}={x | 4 x 4}，m =1时， B ={x |1 x 2}，
A B ={x | 4 x 4}， A B ={x |1 x 2}， R B ={x | x 1或 x 2}；
【小问 2 详解】
B A，
2m 1 m +1，即m>2 时， B = A，
5
m 2时，m +1 4或 2m 1 4 ，解得m 5或m ，所以m 5，
2
综上，m 5或m>2 .
17. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）单调递减，证明见解析
1 1
（3）[ , ]
2 2
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；
（2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）、定号、下结论等步骤进行证明即可；
（3）分 x 0 和 x 0 讨论，运用基本不等式可求得值域.
【小问 1 详解】
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f (x) 为奇函数，理由如下：
x
函数 f (x) = ，定义域为R ，所以 x R ， x R
x2 +1
x x
则 f ( x) = = = f (x2 2 )，
( x) +1 x +1
所以 f (x) 为奇函数.
【小问 2 详解】
f ( x)在 (1,+ )上单调递减，证明如下：
证明：任取 x1, x2 (1,+ ) ，且 x1 x2 ，则
x x x x2 + x x x2 x (x x 1)(x x )
f (x ) f (x 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1
1 2 ) = = =2 ， x1 +1 x
2
2 +1 (x21 +1)(x2 22 +1) (x1 +1)(x22 +1)
因为 x2 x1 1，所以 x2 x1 0, x1x2 1 0
所以 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 )，
故函数 f (x) 在 (1,+ )上是减函数.
【小问 3 详解】
x
因为 f (x) = ，所以 f (0) = 0 .
1+ x2
1 1 1
f (x) = = ,
当 x 0 时， f (x) 0 ， 1 1 2 + x 2 x
x x
1
当且仅当 = x ，即 x =1时，等号成立，
x
1
所以 0 f (x) .
2
1 1 1
f (x) = = ,
当 x 0 时， f (x) 0， 1 2+ ( x) 1 2 ( x)
( x) ( x)
1
当且仅当 = ( x) ，即 x= 1时，等号成立，
x
1
所以 f (x) 0.
2
1 1
所以函数 f (x) 的值域为[ , ] .
2 2
18. 【答案】（1） f (x) 的递增区间是 ( , 1)，递减区间是 (2,+ ) ；
（2） .
【分析】（1）把 a = 2代入，求出函数 f (x) 的定义域，再利用复合函数单调性求出单调区间.
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10
（2）利用给定的递增区间结合对数函数的定义确定 a ，再利用二次函数单调性求出 a的范围.
9
【小问 1 详解】
2
当 a = 2时，函数 f (x) = log1 (2x 2x 4) ，由 2x2 2x 4 0，得 x 1或 x 2 ，
2
即函数 f (x) 的定义域为 ( , 1) (2,+ ) ，令u = 2x2 2x 4 ，
y = log u
显然函数u = 2x2 2x 4 在 ( , 1)上单调递减，在 (2,+ ) 上单调递增，而 1 在 (0,+ )上单
2
调递减，
所以函数 f (x) 的递增区间是 ( , 1)，递减区间是 (2,+ ) .
【小问 2 详解】
10
依题意，函数 f (x) 在 ( ,3 上有意义，必有 a 32 2 3 4 0，解得a ，
9
y = log t
令 t = ax2 2x 4 ，显然函数 1 在 (0,+ )上单调递减，
2
而函数 f (x) 在 ( ,3 内为增函数，则二次函数 t = ax2 2x 4 在 ( ,3 上单调递减，
1 10
且 x ( ,3]， ax2 2x 4 0 恒成立，因此 3，且a ，无解，
a 9
所以实数 a的取值范围是 .
19.【答案】（1）证明过程见解析
x
（2）证明过程见解析 （3） f (x) = e e， x (0,+ )（答案不唯一）
【分析】（1）赋值法得到 f (2) 2 f (1) 0；
（2）赋值法，令 s = x2 (0,+ ) , t = x1 x2 ，且 x1 x2 ，从而得到 f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 ) 0 ，证
明出函数的单调性；
（3）从任意的 s, t (0,+ ) ，均有 f (s + t) f (s) + f (t) ，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数
符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明
【小问 1 详解】
令 s = t =1，则 f (2) f (1) + f (1) = 2 f (1)，
因为 f (1) 0，所以 f (2) 2 f (1) 0；
【小问 2 详解】
令 s = x2 (0,+ ) , t = x1 x2 ，且 x1 x2 ，则 t = x1 x2 (0,+ )，
所以 f (x2 + x1 x2 ) f (x2 ) + f (x1 x2 ) ，
故 f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 )，
因为对 x (0,+ ), f (x) 0，
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所以 f ( x1 x2 ) 0，
故 f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 )，
f (x) 在 (0,+ )上为增函数；
【小问 3 详解】
构造 f (x) = ex e， x (0,+ )，满足 f (1) = 0，
且满足对任意的 s, t (0,+ )， f (s + t) f (s) + f (t) ，理由如下：
f (s + t) f (s) f (t) = es+t e es + e et + e = es+t es et + e = (es 1)(et 1)+ e 1，
s t
因为 s, t (0,+ )，故 es 1 0,et 1 0， f (s + t) f (s) f (t) = (e 1)(e 1)+ e 1 0，
故对任意的 s, t (0,+ )， f (s + t) f (s) + f (t) .
20. 【答案】（1）a =1；
（2）选①②，不存在A ；选①③， A = ( ,0) ；选②③， A = (0,4] ．
【分析】（1）由偶函数的定义求解；
（2）选①②， a 0 时，由复合函数单调性得 f (x) 是增函数， a 0 时，由单调性的定义得函数的单调性，
然后在 a 0 时，由 f (x) = 0 有解，说明不满足② a不存在；选①③，同选①②，由单调性得 a 0 ，然后
则函数的最大值不大于 4 得 a的范围，综合后得结论；选②③，先确定 f (x) 0 恒成立时a的范围，再换
元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．
【小问 1 详解】
x x
f (x) 是偶函数，则 f ( x) = 2 + a 2 = f (x) = 2x + a 2 x ，
(a 1)(2x 2 x）= 0恒成立，∴ a 1= 0，即 a =1；
【小问 2 详解】
x a
若选①②， f (x) = 2 + （ a 0），
2x
a
若 a 0 ，则 f (x) 2
x
是增函数，由 + = 0得 x = log ( a)，因此 f (x) 04 不恒成立，不合题意，
2x
若 a 0 ，设 t = 2x ，则 t 0，
a a a (t1 t2 )(t1t2 a)
f (x) = g(t) = t + 0恒成立，设0 t t ，则 g(t1) g(t2 ) = t1 + t2 =1 2 ，
t t1 t2 t1t2
t1 t2 0 ，
当0 t1 t2 a 时， t t a 0， g(t g(t)1 2 1) g(t2 ) 0 ， g(t1) g(t2 )， 是减函数，
a t t 时， t1t2 a 0， g(t1) g(t2 ) 0， g(t1) g(t ) ， g(t)2 是增函数， 1 2
又 t = 2x 是增函数，因此 f (x) 在定义域内不是增函数，不合题意．
故不存在 a满足题意；
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若选①③，
x a
若 a 0 ，则 f (x) = 2 + 是增函数，
2x
若 a 0 ，设 t = 2x ，则 t 0，
a a a (t1 t2 )(t1t2 a)
f (x) = g(t) = t + 0恒成立，设0 t t ，则 g(t1) g(t2 ) = t1 + t1 2 2 = ，
t t1 t2 t1t2
t1 t2 0 ，
当0 t1 t2 a 时， t g(t)1t2 a 0， g(t1) g(t2 ) 0 ， g(t1) g(t2 )， 是减函数，
a t t 时， t t a 0， g(t ) g(t ) 0， g(t1) g(t1 2 1 2 2 ) ， g(t)是增函数， 1 2
又 t = 2x 是增函数，因此 f (x) 在定义域内不是增函数，不合题意．
故不存在 a满足题意；
要满足①，则 a 0 ，
1 1 7
所以 x [ 1,1]时， f (x)min = f ( 1) = + 2a ，由 + 2a 4 得 a ，
2 2 4
综上， a<0；
所以 A = ( ,0) ．
若选②③，
x a
若 a 0 ，则由 f (x) = 2 + = 0 x = log ( a)， f (x) 04 不恒成立，
2x
a
只有 a 0 时， f (x) = 2
x + 0恒成立，设 t = 2x ，则 t 0，
2x
x 1 a
又 a 0 时， x [ 1,1] t = 2 [ , 2]， f (x) = g(t) = t + ，
2 t
a a a (t t )(t t a)
f (x) = g(t) = t + 0恒成立，设0 t t ，则 g(t1) g(t2 ) = t1 + t =
1 2 1 2
1 2 2 ，
t t1 t2 t1t2
t1 t2 0 ，
当0 t t a 时， t1t2 a 0， g(t ) g(t ) 0 ， g(t ) g(t )， g(t)1 2 1 2 是减函数， 1 2
a t t 时， t1t2 a 0， g(t1) g(t2 ) 0， g(t1) g(t ) ， g(t)是增函数， 1 2 2
1 1 1 1 1
要满足③，若 a 即 a 时， g (x) = g( ) = + 2a 4 ，所以0 a ；
2 4 min 2 2 4
a
若 a 2即 a 4 时， g (x) = g(2) = 2+ 4，所以 a = 4；
min 2
1 1 1
若 a 2 ，即 a 4 时， g (x) = g( a ) = 2 a 4 ，所以 a 4 ；
2 4 min 4
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综上0 a 4 ，
所以 A = (0,4] ．
21. 【答案】（1）TA = 3
（2）TA +TA +TA 的最大值为18， A1 = 1,9,4 , A2 = 2,8,5 , A3 = 3,7,6 1 2 3
（3）n的最大值为 11
【分析】（1）根据新定义即可求出；
（2）由 Ai = ai ,bi ,ci A, Ai Aj = (i, j =1,2,3, i j) ， A1 A2 A3 = A 且要使得TA +T +T 取1 A2 A3
到最大，则只需TA ,TA ,TA 中元素不同且 7,8,9 分布在 3 个集合中，4,5,6,分布在 3 个集合中，1,2,3 分布在1 2 3
3 个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.
（3）要 n的值最大，则集合的幅值最小，且 A1, A
*
2 , A3, , An 是集合N 的两两元素个数均不相同的非空真
子集，故对集合 A1, A2 , A3, , An 中元素分析列出方程解出即可.
【小问 1 详解】
由集合 A = {2,3,4,5}知，M = 5,m = 2，
所以TA = M m = 5 2 = 3 .
【小问 2 详解】
因为 A ={1,2,3, ,9}, Ai = ai ,bi ,ci A, Ai Aj = (i, j =1,2,3, i j) ， A1 A2 A3 = A ，
由此可知集合 A1, A2 , A3 中各有 3 个元素，且完全不相同，
根据定义要让TA +TA +TA 取到最大值， 1 2 3
则只需TA ,TA ,TA 中元素不同且 7,8,9 分布在 3 个集合中， 1 2 3
4,5,6,分布在 3 个集合中，1,2,3 分布在 3 个集合中
这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以TA +T +T 的最大值为7 +8+ 9 1 2 3 =18 ， 1 A2 A3
所以有一组 A1 = 1,9,4 , A2 = 2,8,5 , A3 = 3,7,6 满足题意，
【小问 3 详解】
要 n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从 0 开始，接下来为1, 2， ，
因为 A1, A2 , A3, , An 是集合
*
N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，
不妨设 A1是集合
*
N 中只有一个元素的非空真子集，此时TA = 0 ，例如 A1 = {1} , 1
则 A *2 是集合N 中有两个元素的非空真子集，且TA =1，例如 A2 ={1,2}， 2
同理 A 是集合 *3 N 中有三个元素的非空真子集，且TA = 2 ，例如 A3 ={1,2,3}， 3
A 是集合 *n N 中有n个元素的非空真子集，且TA = n 1，例如 An ={1,2,3, ,n}， n
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n (n 1)
所以TA +TA +TA + +TA = 0+1+ 2+ + (n 1) = = 55， 1 2 3 n
2
解得 n =11或 n = 10 （舍去），
所以 n的最大值为 11.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来
创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实
现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性
质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
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