2023北京一七一中高一12月月考数学（教师版）（PDF版含解析）

2023北京一七一中高一 12月月考
数 学
一、选择题（共 10小题，每小题 3分，共 30分）
1. 设集合U = x N x 6 ，M = 1,2,3,5 ， N = 2,3,4 ，则 ( U M ) N =（ ）
A. 4 B. 0, 2,6 C. 2,3,4,6 D. 0,2,3,4,6
2. 已知函数 f (x) 的图象与函数 y = 2x 的图象关于 x轴对称，则 f (x) =（ ）
A. 2x B. 2 x C. log2 x D. log2 x
3. 已知 a b，ab 0，下列不等式恒成立的是（ ）
A. a2 b2 B. 2a 2b
a b
1 1 1 1
C. D.
a b

3 3
4. 下列函数中是奇函数的是（ ）
x x 3
A. y = x2 B. y = ln x C. y = 2 + 2 D. y = x
5. 已知 A = {第一象限角}， B = {锐角}，C = {小于90 的角}，那么 A、B、C的关系是（ ）
A. B = A C B. B∪C = C C. A C D. A = B = C
x 5
6. 已知函数 f (x) = 2 ，则下列区间中含有 f ( x)的零点的是（ ）
x
A. ( 1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3)
7. 已知指数函数 y = a x 是减函数，若m = a2 ， n = 2a ， p = loga 2 ，则 m，n，p的大小关系是（ ）
A. m n p B. n m p C. n p m D. p n m
(3a 1)x + 4a, x 1
8. 已知 f (x) = 在 ( ,+ )上是减函数，则实数 a的取值范围是（ ）
loga x, x 1
1 1 1 1 1
A. (0,1) B. 0, C. , D. ,
3 7 3 7 3
9. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就
是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一
些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为 π，
则该勒洛三角形的面积为（ ）
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π 3 3 π 3
A. π 3 B. C. π D.
2 2 2 4
x+1 3 1 , x 0
10. 已知函数 f ( x) = 若函数 g ( x) = f (x) a有 3 个零点，则a的取值范围是（ ）
ln x, x 0
A. (0,1) B. (0, 2 C. (2,+ ) D. (1,+ )
二、填空题（共 5小题，每小题 4分，共 20分）
11. 角45 化为弧度制等于________.
12. 函数 f (x) = x + lg (x 1)的定义域为______.
f (1)
13. 已知函数 f (x) 是指数函数，若 = 4，则 f ( 2) ____ f ( 3) .(用“ ”“ ”“= ”填空）
f (3)
1 1 1 b
14. 若 a,b 0，且 + = ，求 = ________.
a b a b a
2
15. 若函数 f (x) = log2 (x ax + 3a)在区间 2,+ )上是增函数，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（共 6小题，16-20每小题 8分，21题 10分，共 50分）
2 x
16. 已知全集U = R ，集合 A = x x 2x 3 0 ， B = x 1 2 16 .
（Ⅰ）求 ( U A) B ；
（Ⅱ）设非空集合 D = x a x 2a + 3,a R ，若 D U A，求实数 a的取值范围.
3 π
17. 已知cos = ， 0, .
5 2
（1）求sin ， tan 的值；
sin2 (2π + ) π
（2）求 + cos tan (π + )的值.
cos (π + ) 2
x 1
18. 已知函数 f (x) = log2 ．
x +1
（1）若 f (a) =1，求 a的值；
（2）判断函数 f ( x)的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若 f ( x) m 对于 x 3,+ )恒成立，求实数 m的范围．
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1
19. 已知函数 f (x) = a 是奇函数.
2x +1
（Ⅰ）求 a的值；
（Ⅱ）判断 f (x) 的单调性；（只需写出结论）
2
（Ⅲ）若不等式 f (x x )+ f (x +m) 0 恒成立，求m 的取值范围．
20. 某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储存温度 x （单位： kx+b℃）满足函数关系 y = e （ e = 2.718
为自然对数的底数， k ，b 为常数）.若该食品在 0℃的保鲜时间为 192 小时，在 33℃的保鲜时间是 24 小
时，
（1）求 k 的值；
（2）求该食品在 22℃的保鲜时间.
21. 若集合 A = B B B B = (1 i j n)1 2 Bn ，其中 B1, B2 , , Bn 为非空集合， i j ，则称集合
B1, B2 , , Bn 为集合 A的一个 n划分．
（1）写出集合 A ={1,2,3}的所有不同的 2 划分；
（2）设 B1, B2 为有理数集 Q的一个 2 划分，且满足对任意 x B1，任意 y B ，都有 x y2 ．则下列
四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理
由；
① B1中的元素存在最大值， B2 中的元素不存在最小值；
② B1中的元素不存在最大值， B2 中的元素存在最小值；
③ B1中的元素不存在最大值， B2 中的元素不存在最小值；
④ B1中的元素存在最大值， B2 中的元素存在最小值．
（3）设集合 A = {1,2,3, ,16}，对于集合 A的任意一个 3 划分 B1, B2 , B3 ，证明：存在 i 1,2,3 ，存
在a,b Bi ，使得b a Bi ．
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参考答案
一、选择题（共 10小题，每小题 3分，共 30分）
1. 【答案】D
【分析】根据集合的运算，即可得到结果.
【详解】因为U = x N x 6 ，M = 1,2,3,5
则 U M = 0,4,6 ，且 N = 2,3,4
所以 ( U M ) N = 0,2,3,4,6 .
故选:D.
2. 【答案】A
【分析】
由点 (x, y) 是函数 f (x) 上任意一点，则点 (x, y)在函数 y = 2x 的图像上，列出方程，即可得到正确答案.
【详解】设点 (x, y) 是函数 f (x) 上任意一点，则点 (x, y)在函数 y = 2x 的图像上
即 y = 2x y = 2x
所以函数 f (x) 的解析式为： f (x) = 2x
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.
3. 【答案】B
【分析】应用特殊值 a =1,b = 2 判断 A、C；由指数函数的单调性判断 B、D.
1 1
【详解】 a =1,b = 2 时 a2 b2 、 ，A、C 错；
a b
B：由 y = 2x 在定义域上递增，则 2a 2b ，对；
a b
1 1 1
D：由 y = ( )
x
在定义域上递减，则
3
，错；
3 3
故选：B
4. 【答案】D
【分析】利用奇偶函数定义即可判断每个选项
2
【详解】对于 A，令 f (x) = x2 ，其定义域为R，且 f ( x) = ( x ) = x2 = f (x) ，
所以 f (x) 为偶函数，故 A 不正确；
对于 B，令 g (x) = ln x，其定义域为 (0,+ )，不关于原点对称，故不是奇函数，故 B 不正确；
x x x x x x
对于 A，令 h ( x) = 2 + 2 ，其定义域为R，且 h ( x ) = 2 + 2 = 2 + 2 = h(x)，
所以 h(x) 为偶函数，故 C 不正确；
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对于 A，令 F ( 3x) = x3，其定义域为R，且 F ( x) = ( x ) = x3 = F (x) ，
所以 F ( x)为奇函数，故 D 正确；
故选：D
5. 【答案】B
【分析】分别判断A ， B ，C 的范围即可求出；
【详解】解： A = {第一象限角} = (k 360 ,90 + k 360 )， k Z； B = {锐角}= (0,90 ) ，
C = {小于90 的角} = ( ,90 )
B C ， B A
B C = C ， B A = B ；
“小于90 的角”里边有“第一象限角”，从而 B A C ．
故选： B ．
6. 【答案】C
【分析】
分析函数 f ( x)的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
5
【详解】由于函数 y = 2x 为增函数，函数 y = 在 ( , 0)和 (0,+ )上均为增函数，
x
x 5
所以，函数 f (x) = 2 在 ( , 0)和 (0,+ )上均为增函数.
x
5
对于 A 选项，当 x ( 1,0)时， 2x 0 ， 0，此时， f (x) 0 ，
x
所以，函数 f ( x)在 ( 1,0)上无零点；
5 3
对于 BCD 选项，当 x 0 时， f (1) = 3 0， f (2) = 4 = 0，
2 2
由零点存在定理可知，函数 f ( x)的零点在区间 (1, 2)内.
故选：C
7. 【答案】B
【分析】
由已知可知 0 a 1，再利用指对幂函数的性质，比较 m，n，p与 0，1 的大小，即可得解.
【详解】由指数函数 y = a x 是减函数，可知 0 a 1，
结合幂函数 y x2 的性质可知0 a2 1，即0 m 1
x
结合指数函数 y = 2 的性质可知1 2a 2，即1 n 2
结合对数函数 y = loga x 的性质可知 loga 2 0 ，即 p 0， n m p
故选：B.
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【点睛】方法点睛：本题考查比较大小，比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间
量；有时也可用数形结合的方法，解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，
如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般
选 0 或 1.
8. 【答案】C
【分析】分段函数是减函数，就要求每一段都是减函数，并且满足 (3a 1) 1+ 4a loga 1= 0，解不等
式组即得解.
1
【详解】当 x 1， f (x) = (3a 1) x + 4a是减函数，所以3a 1 0，即a ① ；
3
当 x 1， f (x) = loga x也是减函数，故 0 a 1 ② ；
在衔接点 x=1，必须要有 (3a 1) 1+ 4a log f xa 1= 0成立，才能保证 ( )在 x ( ,+ )上是减函数，
1
即a ③，
7
1 1
∴由①②③取交集，得 a .
7 3
故选：C.
9. 【答案】B
π π
【分析】设等边三角形 ABC 的边长为 a，由题意可得 a = ，进而求出 a的值，再求出扇形 ABC 的面
3 3
积和等边三角形 ABC 的面积，从而求出该勒洛三角形的面积.
【详解】设等边三角形 ABC 的边长为 a，
π 1
则由题意得： a = π，解得： a =1，
3 3
π 1 π 2 π
所以扇形 ABC 的半径为1，圆心角为 ，则其面积为 1 = ，
3 2 3 6
3 3
又等边三角形 ABC 的面积为 12 = ，
4 4
π 3 3 π 3
则该勒洛三角形的面积为
3+ = ，
6 4 4 2
故选：B.
10. 【答案】A
【分析】要使函数 g ( x) = f (x) a 有三个零点，则 f (x) = a 有三个不相等的实根，即 f ( x)与 y = a 的
图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出.
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【详解】
要使函数 g ( x) = f (x) a有三个零点，则 f (x) = a有三个不相等的实根，即 f ( x)与 y = a 的图象有三
个交点，
x 1
当 x 1时， f x 1 3 在 ( , 1 上单调递减， f (x) 0,1 ；
x+1
当 1 x 0 时， f (x) = 3 1在 ( 1,0 上单调递增， f (x) 0,2 ；
当 x 0 时， f (x) = ln x在 (0,+ )上单调递增， f (x) R ；
由 f ( x)与 y = a 的图象有三个交点，结合函数图象可得 a (0,1)，
故选：A.
二、填空题（共 5小题，每小题 4分，共 20分）
π
11. 【答案】
4
【分析】根据角度制与弧度制的转化公式求解即可.
【详解】因为180 = π，
π π
所以 45 = 45 = .
180 4
π
故答案为： .
4
12. 【答案】 (1,+ )
【分析】
x 0
根据对数型复合函数定义域可得： ，解不等式即可求解.
x 1 0
【详解】由 f (x) = x + lg (x 1)，
x 0
则 ，解得 x 1，
x 1 0
所以函数的定义域为 (1,+ ) .
故答案为： (1,+ )
13. 【答案】
【分析】
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x
根据题意，设 f (x) = a (a 0 且 a 1)，结合题中条件，确定 0 a 1，根据指数函数单调性，即可得出
结果.
x
【详解】因为 f (x) 是指数函数，所以可设 f (x) = a (a 0 且 a 1)，
f (1)
又 = 4 1，所以 a a3 ，则 0 a 1，
f (3)
即函数 f (x) 是减函数，所以 f ( 2) f ( 3) .
故答案为： .
5 1
14. 【答案】
2
b b b 2
【分析】根据已知可得 0 且 = 1 ( ) ，解方程即可得答案.
a a a
a b b
【详解】由题设 a b ，且 =1， 0 ，
b a a
b b a b b 2 b 2 b b 5 1
所以 = ( ) =1 ( ) ，即 ( ) + 1= 0，可得 = .
a a b a a a a a 2
5 1
故答案为：
2
15. 【答案】 ( 4, 4
【分析】令 t = x2 ax + 3a，由题设易知 t 在 2,+ )上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不
等式组求 a的取值范围.
【详解】由题设，令 t = x2 ax + 3a，而 y = log2 t 为增函数，
∴要使 f (x) 在 2,+ )上是增函数，即 t = x2 ax + 3a在 2,+ )上为增函数且恒大于零，
a
2
2 ，可得 4 a 4，

4+ a 0
∴ a的取值范围是 ( 4, 4 .
故答案为： ( 4, 4
三、解答题（共 6小题，16-20每小题 8分，21题 10分，共 50分）
16. 【答案】（Ⅰ） x 3 x 4 ；（Ⅱ） ( 3, 2 3,+ ) .
【分析】
（Ⅰ）分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果；
（Ⅱ）由（Ⅰ），根据集合D 非空，且 D U A，列出不等式求解，即可得出结果.
2 x
【详解】（Ⅰ）因为 A = x x 2x 3 0 = x 1 x 3 ， B = x 1 2 16 = x 0 x 4 ，
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所以 U A = x x 1或 x 3 ，则 ( U A) B = x 3 x 4 ；
（Ⅱ）因为非空集合 D = x a x 2a + 3,a R ，且 D U A，
a 2a +3 a 2a +3
所以 或 ，
a 3 2a +3 1
解得 a 3或 3 a 2，
即实数 a的取值范围是 ( 3, 2 3,+ ) .
4 4
17. 【答案】（1）sin = ， tan = ；
5 3
（2） 0 .
【分析】（1）应用平方关系、商数关系求正弦值和正切值；
（2）应用诱导公式化简求值.
【小问 1 详解】
3 π 4 4
由cos = ， 0, ，则 sin = ， tan = ；
5 2 5 3
【小问 2 详解】
sin2
原式= + sin tan = sin tan + sin tan = 0 .
cos
18. 【答案】（1） 3
（2）奇函数，证明见解析
（3） ( , 1
a 1
【分析】（1）代入 x = a，得到 log2 =1，利用对数的运算即可求解；
a +1
（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算 f (x) , f ( x)的数量关系，由此完成证明；
（3）将已知转化为m f (x) ，求出 f ( x)在 3,+ )的最小值，即可得解. min
【小问 1 详解】
a 1 a 1
f (a) =1， log2 =1，即 = 2，解得 a = 3，
a +1 a +1
所以 a的值为 3
【小问 2 详解】
f ( x)为奇函数，证明如下：
x 1
0
由 x +1 ，解得： x 1或 x 1，所以定义域为 ( , 1) (1,+ )关于原点对称，

x +1 0
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1
x 1 x +1 x 1 x 1
又 f ( x) = log2 = log2 = log2 = log2 = f (x)，
x +1 x 1 x +1 x +1
所以 f ( x)为奇函数；
【小问 3 详解】
x 1 x +1 2 2
因为 f (x) = log2 = log2 = log2 1 ，
x +1 x +1 x +1
2
又外部函数 y = log2 u 为增函数，内部函数 y =1 在 3,+ )上为增函数，
x +1
由复合函数的单调性知函数 f ( x)在 3,+ )上为增函数，
3 1 1
所以 f (x) = f (3) = log2 = log = 1， min 23+1 2
又 f ( x) m 对于 x 3,+ )恒成立，所以m f (x) ，所以m 1， min
所以实数m 的范围是 ( , 1
1
19. 【答案】（Ⅰ） a = ；（Ⅱ）增函数；（Ⅲ） ( , 1) .
2
【分析】
（I）根据题意可知 f (0)=0，即可列出等式求解 a；（Ⅱ） f (x) 的值随着 x的值增大而增大，故函数 f (x) 为
2
增函数；（Ⅲ）根据函数的奇偶性可将不等式转化为 f (x x) f (x +m)，再由函数的单调性可得
x2 2x m 0恒成立，则= 4+ 4m 0，即可得解.
【详解】（I）因为 f (x) 为奇函数，定义域为 R ，
1 1
所以 f (0)=0，即 a = 0，解得 a = ，
2 2
1 1 1 1 1 1 2x
当 a = 时 f (x) = ，此时 f ( x) + f (x) = + = 0即 f ( x) = f (x)，函数
2 2x2 +1 2 2
x +1 2 2x +1
1 1
f (x) = 为奇函数.
2 2x +1
1 1
（Ⅱ） f (x) = 为增函数
2 2x +1
f (x x2（Ⅲ）不等式 )+ f (x +m) 0 2恒成立，即 f (x +m) f (x x )恒成立，
2
因为 f (x) 在定义域 R 上是奇函数，所以 f (x x) f (x +m)，
1 1
又 f (x) = 为增函数，所以 x2 x x +m恒成立，
2 2x +1
由 x2 2x m 0恒成立，有△= 4+ 4m 0，解得m 1，
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所以，m 的取值范围是 ( , 1)．
ln 2
20. 【答案】（1） k = ；
11
（2）48 小时.
b = ln192
【分析】（1）由题设可得 ，即可求参数 k；
33k +b = ln 24
ln 2
（2）由（1）得 x + ln192 = ln y，将 x = 22代入求 y 即可
11
【小问 1 详解】
b = ln192
b = ln192
由题设 kx + b = ln y ，则 ，可得 1 1 ，
33k +b = ln 24 k = ln
11 2
1 1 ln 2
所以 k = ln = ；
11 2 11
【小问 2 详解】
ln 2
由（1）知： x + ln192 = ln y，
11
192
当 x = 22，则 ln y = 2ln 2+ ln192 = ln = ln 48 ，
4
所以 y = 48小时.
21. 【答案】（1） 1,2 , 3 , 1,3 , 2 , 2,3 , 1
（2）①可能成立，例子见解析；②可能成立，例子见解析；③可能成立，例子见解析；④不可能成立，
证明过程见解析；
（3）证明过程见解析.
【分析】（1）根据题意写出含有 3 个元素的 2 划分即可；
（2）①②③可以举出反例，④可以利用反证法进行证明；
（3）用反证法进行证明,
【小问 1 详解】
集合 A ={1,2,3}的所有不同的 2 划分为 1,2 , 3 , 1,3 , 2 , 2,3 , 1
【小问 2 详解】
①可能成立，举例如下： B1 = x Q x 1 ， B2 = x Q x 1 ；
②可能成立，举例如下： B1 = x Q x 1 ， B2 = x Q x 1 ；
③可能成立，举例如下： B1 = x Q x 2 ， B2 = x Q x 2 ；
④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设 B1中元素的最大值为 S，B2 中元素的最小值为 t，由题可
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s + t
知：s2
s + t
因为 s为 B1中元素的最大值，所以 B1 ，
2
s + t
因为 t为 B2 中元素的最小值，所以 B2 ，
2
s + t
因为 B1 B2 =Q，所以 Q，
2
s + t
这与 Q矛盾，
2
所以假设不成立，即④不可能成立；
【小问 3 详解】
由于集合 A中有 16 个元素，所以 B1, B2 , B3 中至少有一个集合至少包含 6 个元素，
不妨设 B1中至少包含 6 个元素，
设b1,b2 ,b3 ,b4 ,b5 ,b6 B1,且b1 b2 b3 b4 b5 b6 ，
假设对任意 i 1,2,3 ，对任意a,b Bi ，都有b a Bi，
那么b6 b1,b6 b2 ,b6 b3 ,b6 b4 ,b6 b5 B1 ，
又因为b6 b1,b6 b2 ,b6 b3 ,b6 b4 ,b6 b5 A，
所以b6 b1,b6 b2 ,b6 b3 ,b6 b4 ,b6 b5 B2 B3，
则 B2 ， B3中必有一个集合至少包含b6 b1,b6 b2 ,b6 b3 ,b6 b4 ,b6 b5中的 3 个元素，
不妨设这 3 个元素为 a1,a2 ,a3 B2 ,a1 a2 a3 ，
由假设可知： a3 a1,a3 a2 ,a2 a1 B2 ，
对任意 i, j (1 j i 3)，存在m,n (1 m n 5)，
都有 ai a j = b6 bm b6 +bn = bn bm B1，
又因为 a3 a1,a3 a2 ,a2 a1 B3，而a3 a1 (a3 a2 ) = a2 a1，与假设矛盾，
所以假设不成立，
所以存在 i 1,2,3 ，存在a,b Bi ，使得b a Bi
【点睛】对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法
是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论.
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