北京市中关村中学2023-2024学年上学期高一10月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2023北京中关村中学高一 10月月考
数 学
一、选择题，本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项）
已知全集U = R ，集合 A = {1,2,3,4,5}, B = {x R∣x 2}1. ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2}
2
2. 已知集合 P = 1,2a +1,a 1 ，若0 P ，则实数a的取值集合为（ ）
1 1 1
A. , 1 B. 1,1 C. ,1 D. , 1,1
2 2 2
3. 以下选项中，不是集合 A = (x, y) | y = 3x 5 的元素的是（ ）
A. (1, 5) B. (2,1) C. (3,4) D. (4,7)
4. 如果 a b 0，那么下列不等式成立的是（ ）
1 1A. B. ab b2 C. a2 b2 D. a + b 2b
a b
5. 不等式 x2 2x 3 0的解集为（ ）
A. ( 1,3) B. ( 3,1) C. ( , 1) (3,+ ) D. ( , 3) (1,+ )
6. 集合 A = x 1 x 2 ，集合 B = x x a ， A B = ，则实数a的取值范围是（ ）
A. a a 2 B. a a 1 C. a a 1 D. a 1 a 2
7. 已知 ， 是一元二次方程 x2 5x 2 = 0的两个不相等的实数根，则 + + 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 7
2 2
8. “ x + y = 0 ”是“ xy = 0 ”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 命题 p： 1 x 2的一个必要不充分条件是（ ）
A. 1 x 3 B. 1 x 2 C. 0 x 2 D. 0 x 3
10. 已知方程 x2 4x + a = 0 的两根都大于 1，则a的取值范围是（ ）
A. 3 a 4 B. 1 a 4
第1页/共8页
C. a 1 D. a 4
二、填空题：本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分．
11. 已知U = R ，集合 A = 0,+ )则 U A = ______.
12. 已知 a<0， 1 b 0 ，那么 a， ab ， ab2 的大小关系为_____________.
x + 3
13. 不等式 0的解集为______________．
x 1
x +3
14. 函数 f (x) = 的定义域是__________．
x
15. 已知 p ： x R ， x2 = x ，则 p ：________， p 是________命题．（填写“真”或“假”）
16. 已知集合 A = x 1 x 2 ， B = x x a ，若 A B ，则a的取值范围是___________.
17. 设A 、 B 是任意两个集合，请写出一个“ A B = B ”的充分必要条件是________．
18. 已知集合 A ={x | x2 x 6 0}， B ={x | x c}，其中 c R ．
① 集合 R A = ___；
② 若 x R ，都有 x A 或 x B ，则 c的取值范围是___．
三．解答题：本大题共 3小题.需写出文字说明，证明过程或演算步骤
19. 已知 A = x | x2 x 6 0 ， B = x | 3 x 3 ．
（1）求集合A ；
（2）求 A BR (A B)， ( R ) ．
2 2
20. 已知命题 p : x R,x 2mx 3m 0成立；命题 q : x R,x + 4mx +1 0成立．
（1）若命题 p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题 p 真 q 假，求实数m 的取值范围．
21. 已知关于 x的方程 x2 2kx + k 2 k 1= 0 有两个不相等的实数根 x1, x2 ．
2
（1）若 k = 5 ，求 x1x2 + x
2
1 x2 的值；
（2）若 x1 3x2 = 2 ，求实数 k 的值．
第2页/共8页
参考答案
一、选择题，本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项）
1. 【答案】A
【分析】
根据图像判断出阴影部分表示 A ( U B)，由此求得正确选项.
【详解】根据图像可知，阴影部分表示 A ( U B)， UB = x | x 2 ，所以 A ( U B) = 1 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.
2. 【答案】C
【分析】分别令 2a +1= 0 和a2 1= 0，求得 a后，验证是否满足集合元素的互异性即可得到结果.
1 2 3
【详解】当 2a +1= 0 时， a = ，此时 a 1= ，满足题意；
2 4
当a2 1= 0时， a =1或 1；
若 a =1， 2a +1= 3，满足题意；若 a = 1， 2a +1= 1，不满足互异性，不合题意；
1
实数 a的取值集合为 ,1 .
2
故选：C .
【点睛】本题考查根据元素与集合关系求解参数值的问题，易错点是忽略求得参数值后，需验证集合中元
素是否满足互异性.
3. 【答案】A
【分析】根据集合中的元素满足的约束条件，即可代入逐一验证.
【详解】对于 A,当 x =1时， y = 3 5 = 2，故 (1, 5)不是 A = (x, y) | y = 3x 5 的元素，
对于 B，当 x = 2 时， y = 3 2 5 =1，故 (2,1)是 A = (x, y) | y = 3x 5 的元素，
对于 C，当 x = 3时， y = 3 3 5 = 4，故 (3,4)是 A = (x, y) | y = 3x 5 的元素，
对于 D，当 x = 4 时， y = 3 4 5 = 7，故 (4,7)是 A = (x, y) | y = 3x 5 的元素，
故选：A
4. 【答案】D
【分析】利用特殊值以及差比较法求得正确答案.
【详解】不妨设 a = 2,b = 1，则：
1 1
，A 选项错误.
a b
第3页/共8页
ab b2 ，B 选项错误.
a2 b2 ，C 选项错误.
由于 a + b 2b = a b 0，所以 a + b 2b，D 选项正确.
故选：D
5. 【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可．
【详解】 x2 2x 3 0 (x +1)(x 3) 0 1 x 3，
故选：A．
6. 【答案】C
【分析】根据集合的运算可得出实数 a的取值范围.
【详解】因为 A = x 1 x 2 ，集合 B = x x a ， A B = ，则 a 1 .
故选：C.
7. 【答案】C
【分析】根据韦达定理即可求解.
【详解】由于 ， 是一元二次方程 x2 5x 2 = 0的两个不相等的实数根，
Δ = 25 4 ( 2) 0

所以 + = 5 ，故 + + = 5 2 = 3，

= 2
故选：C
8. 【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】 x2 + y2 = 0 x = y = 0 ， xy = 0 x = 0 或 y = 0 ，
所以， x2 + y2“ = 0 ” “ xy = 0 ”，但 2 2“ x + y = 0 ” “ xy = 0 ”，
2 2
所以，“ x + y = 0 ”是“ xy = 0 ”的充分不必要条件.
故选：A.
9. 【答案】A
【分析】由命题 p： 1 x 2的一个必要不充分条件可知， 1 x 2为所求结果的真子集.
【详解】集合 x 1 x 2 是集合 x 1 x 3 的真子集，
故 1 x 3是 p的一个必要不充分条件．
而 1 x 2是 p的充要条件，0 x 2是 p的充分不必要条件，0 x 3是 p的既不充分也不必要条件.
故选：A．
10. 【答案】A
【分析】由已知可得判别式 0，再借助韦达定理及两根都大于 1 的条件列出不等式，求解即得.
第4页/共8页
=16 4a 0

【详解】设方程 x2 4x + a = 0的两根为 x1, x2 ，依题意有： x1 + x2 = 4 ，

x1x2 = a
因 x1, x2 都大于 1，则 x1 + x2 2，且 (x1 1)(x2 1) 0，显然 x1 + x2 2成立，
由 (x1 1)(x2 1) 0得 x1x2 (x1 + x2 ) +1 0，则有 a 4+1 0 ，解得a 3，
由 =16 4a 0解得： a 4 ，于是得3 a 4，
所以 a的取值范围是3 a 4 .
故选：A
二、填空题：本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分．
11. 【答案】 ( , 0)
【分析】根据补集运算直接求解即可.
【详解】因为U = R ，集合 A = 0,+ )，
所以 U A ( ,0) ，
故答案为： ( , 0)
12. 【答案】 a ab2 ab
【分析】
利用不等式的性质以及作差法即可比较大小.
【详解】由 a<0， 1 b 0 ，
则 ab 0， ab2 0 ，0 b2 1，
又 ab
2 a = a (b2 1) 0，
所以 ab2 a，
所以 a ab2 ab .
故答案为： a ab2 ab
13. 【答案】{x x 3或 x 1}
【分析】由题可得 (x 1)(x + 3) 0 ，进而即得.
x + 3
【详解】由 0，得 (x 1)(x + 3) 0 ，
x 1
所以 x 3或 x 1，
故不等式得解集为{x x 3或 x 1}．
故答案为：{x x 3或 x 1}．
14. 【答案】 x x 3且 x 0 ##[ 3,0） （0，+ ）
第5页/共8页
【分析】根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．
x +3 0 x 3
【详解】要使函数有意义，则 ，得 ，
x 0 x 0
即 x 3且 x 0，即函数的定义域为 x x 3且 x 0 ．
故答案为： x x 3且 x 0 ．
15. 【答案】 ①. x R ， x2 x ， ②. 真
【分析】根据全称量词命题、全称量词命题的否定等知识求得正确答案.
【详解】依题意， p ： x R ， x2 = x ，
则 p ： x R ， x2 x ，
2
由于 ( 1) =1 1，所以 p 是真命题.
故答案为： x R ， x2 x ；真
16. 【答案】[2,+ )
【分析】由 A B 列不等式求 a的取值范围，
【详解】∵集合 A = x 1 x 2 ， B = x x a ， A B ，
∴ a 2 .
∴ a的取值范围是[2,+ ) .
故答案为：[2,+ ) .
17. 【答案】 A B （只需与 A B 等价即可）
【分析】分析可知 A B = B A B ，即可得出结果.
【详解】 A B = B A B ，
所以，“ A B = B ”的充分必要条件是“ A B ”.
故答案为： A B （只需与 A B 等价即可）.
18. 【答案】 ①.（ 2,3） ②. ( , 2]
【分析】化简集合 A，直接计算补集，再根据 A B = R 求解即可.
【详解】解：①因为 A = x (x+2)(x 3) 0 = ( , 2 3,+ )，所以 R A =（ 2,3）；
②因为 x R ，都有 x A 或 x B ，所以 A B = R ，
所以 c 2 ，
故答案为：（ 2,3）； ( , 2] .
三．解答题：本大题共 3小题.需写出文字说明，证明过程或演算步骤
19. 【答案】（1） A = x | 2 x 3
第6页/共8页
（2） R (A B) = x | x 2 或 x 3 ， ( R A) B = x | 3 x 2 或 x = 3
【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合A 即可；
（2）由集合的交集与补集的运算求解即可.
【小问 1 详解】
因为 A = x | x2 x 6 0 ，所以解不等式 x2 x 6 0 可得：
2 x 3，故集合 A = x | 2 x 3
【小问 2 详解】
由（1）可知： A = x | 2 x 3 ，又 B = x | 3 x 3 ，
所以 A B = x | 2 x 3 ，所以 R (A B) = x | x 2 或 x 3 .
R A = x | x 2 或 x 3 ， ( R A) B = x | 3 x 2 或 x = 3 .
20. 【答案】（1） ( 3,0)
1
（2） ,0
2
【分析】（1）由命题 p 为真命题转化为不等式 x2 2mx 3m 0 恒成立.
（2）解出“命题 q 假”所对应的实数m 的取值范围并与（1）中m 的取值范围作交集.
【小问 1 详解】
因为命题 p : x R,x2 2mx 3m 0为真命题.
所以 x2
2
2mx 3m 0 在R 上恒成立，则判别式Δ = ( 2m) 4 ( 3m) 0，
即m
2 +3m 0 m (m+3) 0解得 3 m 0 .
所以实数m 的取值范围为 ( 3,0) .
【小问 2 详解】
由（1）知命题 p 为真命题时，m 的取值范围为 ( 3,0) .
当命题 q : x R,x2 + 4mx +1 0为真命题时，不等式 x2 + 4mx +1 0 有解.
2 2 1
则判别式Δ = ( 14m) 4 1 0即4m 1 0 (2m 1)(2m+1) 0解得m 或m .
2 2
q 1 1
1 1
则命题 为假命题时， m 即m ,2 2 2 2
.

1 1 1
故命题 p q

真 假时，m 满足 ( 3,0) , = ,0 .
2 2 2
1
所以实数m 的取值范围为 ,0 .
2
第7页/共8页
21. 【答案】（1）190
（2） k = 3
【分析】（1）由题知 x1 + x2 =10, x1x2 =19，再根据韦达定理求解即可；
k 1 3k +1 2
（2）由题知 = 4k + 4 0， x2 = ， x1 = ，进而得 k 2k 3 = (k 3)(k +1) = 0 ，再解方
2 2
程求解即可得答案.
【小问 1 详解】
解：因为关于 x的方程 x2 2kx + k 2 k 1= 0 有两个不相等的实数根 x1, x2 ， k = 5 ，
2
所以 x1 + x2 = 2k =10, x1x2 = k k 1=19，
x x2 2所以 1 2 + x1 x2 = x1x2 (x1 + x2 ) =10 19 =190
【小问 2 详解】
2 2
解：由题知 x1 + x2 = 2k, x x = k
2
1 2 k 1， = 4k 4(k k 1) = 4k + 4 0
因为 x1 3x2 = 2 ，
k 1 3k +1 3k +1 k 1 2
所以 x2 = ， x1 = ， = k k 1，
2 2 2 2
k 2所以， 2k 3 = (k 3)(k +1) = 0 ，解得 k = 3或 k = 1，
2
因为 = 4k 4(k 2 k 1) = 4k + 4 0，即 k 1，
所以， k = 3 .
第8页/共8页