北京一零一中 2022-2023 学年度第二学期高一数学统练二（PDF版无答案）

试卷编号：8385　北京一零一中题库管理系统 Q2059
北京一零一中 2022-2023学年度第二学期高一数学统练二
班级：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿＿
一、选择题共 10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. sin 300 · tan 660 的值为 (　　　)
(A) 32 (B)
3 (C) 1 (D) 12 2 2
2. 设 a = sin 33 , b = cos 55 , c = tan 35 ,则 (　　　)
(A) a > b > c (B) b > c > a (C) c > b > a (D) c > a > b
3. 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y = 2x 上, 则
cos 2θ = (　　　)
(A) 45 (B)
3 3 4
5 (C) 5 (D) 5
√
4. 在 △ABC 中, a, b, c 所对的角分别为 A, B, C, C = π4 , c = 2, b = 6, 则 cos B 的值
为 (　　　) √ √
(A) 1 (B) 3 (C) 12 2 2 或
3 1
2 (D) 2 或
1
2
△ # – # – # –5. 在 ABC中, ∠C = 90 , ∠B = 30 , ∠BAC的平分线交 BC于点D.若 AD = λAB+ AC (λ, ∈
R),则 λ = (　　　)

(A) 1 13 (B) 2 (C) 2 (D) 3
6. 函数 f (x) = sin 2x · tan x是 (　　　)
(A)奇函数,且最小值为 0 (B)奇函数,且最大值为 2
(C)偶函数,且最小值为 0 (D)偶函数,且最大值为 2
7. 将函数 f (x) = sin(2x π3 ) (x ∈ R) 的图象分别向右平移
π
3 个单位长度与向左平移
n (n > 0)个单位长度,若所得到的两个图象重合,则 n的最小值为 (　　　)
(A) π3 (B)
2π π
3 (C) 2 (D) π
√
8. 若 sin(α + β) + cos(α + β) = 2 2 cos(α + π4 ) · sin β,则 (　　　)
(A) tan(α β) = 1 (B) tan(α + β) = 1 (C) tan(α β) = 1 (D) tan(α + β) = 1
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9. 已知 a, b均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题:
p1 : |a + b| > 1 θ ∈ [0, 2π3 ); p2 : |a + b| > 1 θ ∈ (
2π
3 ,π];
p3 : |a b| > 1 θ ∈ [0, π3 ); p4 : |a b| > 1 θ ∈ (
π
3 ,π].
其中的真命题是 (　　　)
(A) p1, p4 (B) p1, p3 (C) p2, p3 (D) p2, p4
10. 已知函数 f (x) = sin(ωx + π
√
) 3 cos(ωx + π ) (ω > 0)在区间 [ π3 3 4 ,
π
8 ]上单调且在区间
[0, 2π]内恰好取到两个最大值 2,则 ω的取值范围是 (　　　)
(A) (0, 54 ] (B) [
5
4 , 2] (C) (0,
3
4 ) (D) [
3 , 54 4 ]
二、填空题共 5小题。
11. 已知 k ∈ R,向量 a = (1, 1+k), b = (k, 2),若向量 2a b与 b平行,则 k的值为＿＿＿＿＿ ;
若向量 2a b与 b的夹角为钝角,则 k的取值范围是＿＿＿＿＿ .
12. 已知函数 f (x) = sin(x + φ) (0 6 φ < 2π). 若 f (x)在区间 [ π3 ,π]上单调递减,则 φ的一个
取值可以为＿＿＿＿＿ .
√
13. 若 △ABC的面积为 34 (a
2 + c2 b2),且 ∠C为钝角,则 ∠B =＿＿＿＿＿ ; ca 的取值范围
是＿＿＿＿＿ .
14. 如图,以正方形的各边为底可向外作四个腰长为 1的等
腰三角形,则阴影部分面积的最大值是＿＿＿＿＿ .
15. 在 △ABC中,给出下列四个结论:
①若 sin 2A = sin 2B,则 △ABC是等腰三角形;
②若 sin A = cos B,则 △ABC是直角三角形;
③若 cos A cos B cos C < 0,则 △ABC是钝角三角形;
④若 cos(A B) · cos(B C) · cos(C A) = 1,则 △ABC是等边三角形.
其中,正确结论的序号是＿＿＿＿＿ .
三、解答题共 4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 设函数 f (x) = sin x + cos x (x ∈ R).
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(1)求函数 y = [ f (x + π2 )]
2 的最小正周期;
(2)求函数 y = f (x) f (x π π4 )在 [0, 2 ]上的最大值.
√
17. 在 △ABC中, b sin 2A = 3a sin B.
(1)求 ∠A;
√
(2)若 △ABC的面积为 3 3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知,使 △ABC存在且√唯一确定,求 a的值√. √
条件①: sin C = 2 77 ;条件②:
b = 3 3c 4 ;条件③: cos C =
21
7 .
# –
18. 定义向量 OM = (a, b)的 “伴随函数”为 f (x) = a sin x + b cos x;函数 f (x) = a sin x + b cos x
# –
的 “伴随向量”为 OM = (a, b).
# –
(1)写出 OM = (3, 4)的 “伴随函数” f (x),并直接写出 f (x)的最大值;
# – # –
(2)写出函数 f (x) = cos(x + π3 ) + 2 cos x的 “伴随向量”为 ON,并求 |ON |;
| # –| | # –| # – # –(3) 已知 OM = ON = 1, OM 的 “伴随函数” 为 f (x), ON 的 “伴随函数” 为 g(x), 设
# – # – # – # –
OP = λOM + ON (λ > 0, > 0),且 OP的伴随函数为 h(x),其最大值为 p,
| # – # –
√
①若 OM + ON | = 3, λ = = 1,求 p的值;
# – # –
②求证: 向量 OM = ON 的充要条件是 p = λ + .
19. 已知集合 S n = {X | X = (x1, x2, · · · xn), xi ∈ N , i = 1, 2, · · · n} (n > 2). 对于 A =
# –
(a1, a2, · · · , an), B = (b1, b2, · · · , bn) ∈ S n,给出如下定义:① AB = (b1 a1, b2 a2, · · · , bn an);
②∑ λ(a1, a2, · · · , an) = (λa1, λa2, · · · , λan) (λ ∈ R); ③ A 与 B 之间的距离为 d(A, B) =n |ai bi|. 说明: (a1, a2, · · · , an) = (b1, b2, · · · , bn)的充要条件是 ai = bi (i = 1, 2, · · · , n).
i=1
(1)当 n = 5时,设 A = (1, 2, 1, 2, 5), B = (2, 4, 2, 1, 3),求 d(A, B);
(2)若 A, B,C ∈ # – # –S n,且存在 λ > 0,使得 AB = λBC,求证: d(A, B) + d(B,C) = d(A,C);
(3)记 I = (1, 1, · · · , 1) ∈ S 20. 若 A, B ∈ S 20,且 d(I, A) = d(I, B) = 13,求 d(A, B)的最大值.
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