河南省信阳市重点实验中学2023-2024学年高二上学期12月数学教学测评（四）（含答案）

宋基信阳实验中学2025届高二年级数学教学测评卷（四）
一 单选题
1. 在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
2 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 设是定义在上的奇函数，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
5. 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
6. 若椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二 多选题
9. 树人中学为了解高二年级学生每天的体育活动时间，随机抽取200名学生统计每天体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成六组，对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 这200名学生每天体育活动时间众数是55
C. 这200名学生每天体育活动时间的中位数小于60
D. 这200名学生中有60人每天体育活动时间低于50分钟
10. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
12. 如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角是
B. 三棱锥体积为
C. 存在点，使得
D. 点到平面距离的最小值为
三 填空题
13. 抛物线的焦点到准线的距离是______.
14. 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2，点都在同一球面上，则此球的体积为___________.
15. 已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
16. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________
四 解答题
17. 已知函数的最小正周期为.
（1）求值；
（2）若方程在区间上有两个不等的实根，求的取值范围.
18. 在中，角，，对应的边分别为，，，已知的外接圆半径为，且.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
19. 甲、乙两人组成“梦之队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．若“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为．
（1）求p的值；
（2）求“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．
20. 如图，四边形ABCD为等腰梯形（如图①），，，点E，F为垂足，满足，将和分别沿BE，CF折起，使A，D两点重合于点P（如图②）
（1）证明：平面平面BCFE；
（2）求二面角的余弦值.
21. 如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）过点与垂直的平面交直线于点，求的长度．
22. 已知平面上的动点到定点的距离比到直线的距离小1．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交于两点，在轴上是否存在定点，使得变化时，直线与的斜率之和是0，若存在，求出定点的坐标，若不存在，写出理由．
宋基信阳实验中学2025届高二年级数学教学测评卷（四）
简要答案
一 单选题
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二 多选题
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】BD
【12题答案】
【答案】BCD
三 填空题
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
四 解答题
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）1
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【20题答案】
【答案】（1）证明略
（2）.
【21题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
（3）
【22题答案】
【答案】（1）
（2）存，定点