1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，属于基础题．
直接利用椭圆方程求出，再利用椭圆定义求解即可．
【解答】
解：椭圆的焦点坐标在轴，，
是椭圆上的动点，
由椭圆的定义可知，到该椭圆的两个焦点的距离之和为．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了线面角的计算公式、向量夹角公式、数量积运算性质，属于基础题．
直线与平面所成的角的正弦值，通过直线与平面的数量积求解即可得出．
【解答】
解：直线与平面所成的角的正弦值：
．
则直线与平面所成角为．
故选A．
3. 【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：根据渐近线方程为的双曲线，可得，所以，
则该双曲线的离心率为．
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．
根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．
【解答】
解：由题意可得，
解得或舍去
故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目．
根据空间向量的线性表示，用、、表示即可．
【解答】
解：根据题意，得
，
又，
，，
故选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查将递推式转化为通项公式，本题属中档题．
本题可将递推式倒过来通过计算可发现数列是以为首项，为公差的等差数列则可求出数列的通项公式，再求出数列的通项公式，即可得到结果．
【解答】
解：由题意，可将递推式倒过来，得：
，，，
数列是以为首项，为公差的等差数列．．
，
故选C．
7. 【答案】A
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，，即圆与相交，直线AB方程为：，
圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，
所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.故选：A
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的离心率的求解，考查直线与双曲线的位置关系，属于较难题．
【解答】
解：如图，设左焦点为，设，则，即，故双曲线的离心率，但另一方面，直线，与双曲线有两个交点，因此， 从而，故，从而故选D．
9. 【答案】ACD
【解析】：因为，对于A：当时，，则、，所以，所以，故A正确；
对于B：若，则，解得或，当时，满足题意，当时，与重合，故舍去，所以，故B错误；
对于C：当时，，则，解得，即两直线的交点为，故C正确；
对于D：，即，令，即，即直线过定点，故D正确；故选：ACD
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查事件的互斥与对立，属于基础题．
根据，互斥知，事件，不可能同时发生，所以，A正确，B错误；由互斥事件的概率加法公式知C正确，由可得，由于事件，故D正确；
【解答】
解：根据，互斥知，事件，不可能同时发生，即事件，所以，A正确；
而，，故，B错误；
由，为两个互斥事件，则，C正确．
根据对立事件的概率知，由于事件，
所以，D正确
故选ACD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了球的切接问题，直线与直线所成角的向量求法，截面问题，属于较难题．
【解答】
解：对于，因为，，所以为棱、上点直接距离最小值，所以线段长度的最小值为，故选项A正确；
对于，当与点重合时，三棱锥的外接球体积的最大，此时外接线直径，所以，，故选项B正确；
对于，分别以，，为，，轴建系如图，
设，，所以，，所以直线与直线所成角的余弦值为，令，，当是时，，当时，，此时，因为，综上，所以，即直线与直线所成角的余弦值的范围为，故选项C正确；
对于，取中点，连接，，，，
因为，所以四边形为所求截面，此时，，，，四边形为等腰梯形，，故选项D错误；
故答案选ABC．
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查椭圆的相关知识，包括概念、方程、性质、几何意义、直线与椭圆的位置关系．
A.考虑与斜率的所有情况，然后设出点及过点的切线方程，然后与椭圆方程相联立，可得与相关式子，进行化简从而得到蒙日圆方程．
B.由题意知直线过的定点在蒙日圆上，过做椭圆的两条切线，切点为，，由蒙日圆的定义可知的关系．
C.因为点在椭圆上，通过椭圆定义可得到的最小值为到到的距离，并可表示出到的距离，则就可求出的最小值．
D.由条件知矩形为的素日圆的内接矩形，设长为，宽为，蒙日圆半径为，则可列出，利用不等式解出矩形面积最大值．
【解答】
解：当与一个斜率为，另一个斜率不存在时，易知交点，
当与的斜率均不为时，可设且，
因为过点的切线方程为，
所以联立得
，
因为与椭圆相切，所以，
整理得，
而与即为式的两根，
，
，
所以蒙日圆的方程为，
，
所以蒙日圆的方程为，故A正确
B.直线过定点，
而刚好在蒙日圆上，过做椭圆的两条切线，切点为，，
由蒙日圆的定义知，故 B错误；
C.点在椭圆上，，
的最小值为到到的距离，
而到的距离为，
，
的最小值为，故 C错误．
D.因为矩形的四条边均与相切，所以矩形为的素日圆的内接矩形，
设长为，宽为，蒙日圆半径为，，则，
，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选AD．
二．填空题
13. 【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式和等差中项的定义，属于中档题．
由等差中项的定义结合等差数列的性质可得，，进而可得数列的首项和公差，可得通项公式．
【解答】
解：由题意可得，，
由等差数列的性质可得，，
可解得，，进而可得数列的公差，
所以，
故．
故答案为．
14.【答案】或
【解析】，，
，
解得或．
故答案为：或．
15.【解析】：直线过定点，最小时，，
圆心到直线的距离，，
因为，所以此时，所以直线的倾斜角为，
过点作交于点，则，
在中，所以.
16.【答案】
【解析】
如图所示，不妨设直线与圆相切于点，
，由于
代入进入，可得
，渐近线方程为
故答案为：，
三．解答题
17. 【答案】解：由题意可知圆心在的中垂线上，也在的中垂线上，
圆心，半径，
圆的方程为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
由题意得，
解得．
直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时弦长为，符合题意．
直线的方程为或．
18.【答案】【解答】
解：，，
，
．
，，
，
，
，
19.【答案】解：设甲发球甲赢为事件，乙发球甲赢为事件，该局打个球甲赢为事件，
由题知，，，，
，
该局打个球甲赢的概率为．
设该局打个球结束时甲贏为事件，乙赢为事件，打个球结束为事件，
易知，为互斥事件，
，，，
，
，
，
该局打个球结束的概率为．
20．在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，则
(2)：依题意可得，则，
设平面的法向量为，所以，令，则，
则，显然二面角的锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
21．【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意得到，得出，再由C的一条渐近线经过点，求得，联立方程组，求得，即可求解；
（2）设直线的斜率为，且，代入曲线方程得到，由，求得，得出直线的方程为，联立方程组，结合方程没有实根，即可得到答案.
【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，
又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，
联立方程组，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，
设直线的斜率为，且，
则，两式相减得，所以，
因为的中点为，所以，所以，解得，
直线的方程为，即，
把直线代入，整理得，
可得，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.
22．已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)过，.
【解析】(1)设圆E的圆心为，半径为r，
则，，所以．
由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，
所以动圆的圆心E的轨迹方程为，；
(2)设，，直线l的方程为．
由得，且，
故又，所以．
又，，
所以
，
即．又故或．
若，则直线l的方程为，
过点，与题意矛盾，所以，故，
所以直线l的方程为，过点．黄梅县育才高级中学高二数学12月月考试卷
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角为( )
A. B. C. D.
3.渐近线方程为的双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
4.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则( )
A. B.
C. D.
6.已知数列满足递推关系：，，则( )
A. B. C. D.
7．已知圆与圆相交于A B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点为双曲线：的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．若，则或
C．当时，与相交于点 D．直线过定点
10．设，为两个互斥事件，且，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11．已知、分别为棱长为的正方体棱、上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 线段长度的最小值为
B. 三棱锥的外接球体积的最大值为
C. 直线与直线所成角的余弦值的范围为
D. 当、为中点时，平面截正方体所形成的图形的面积为
12．画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点．直线的方程为下列说法正确的是( )
A. 的蒙日圆的方程为
B. 对直线上任意点，
C. 记点到直线的距离为，则的最小值为
D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．等差数列中与的等差中项为，与的等差中项为，则 ．
14．已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____．
15．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，____．
16．已知双曲线，（，）的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是___________，双曲线的渐近线方程为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知圆经过，，三点．
求圆的方程；
过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程．
18.已知数列满足，，设的前项和为，
求数列的通项公式；
求；
求．
19.第届夏季奥林匹克运动会于年月日至月日在法国巴黎举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
求该局打个球甲赢的概率；
求该局打个球结束的概率．
20.在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．
21．已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
22．已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
