2023- 2024学年新区实验学校初三年级 12月份月考数学试卷
一、选择题（本大题共有 8小题，每小题 3分，共 24分）
1.下列方程中是关于 x的一元二次方程的是 ( )
A. x+ 1x = 0 B. 2x
2- x= 0 C. 3x2= 1 D. ax2- 4x= 0
2.将抛物线 y= x2向左平移 2个单位，再向下平移 1个单位，所得抛物线为 ( )
A. y= (x- 2)2- 1 B. y= (x- 2)2+ 1 C. y= (x+ 2)2- 1 D. y= (x+ 2)2+ 1
3.某种药品原价为 36元 /盒，经过连续两次降价后售价为 25元 /盒．设平均每次降价的百分率为 x，根据题意所
列方程正确的是 ( )
A. 36(1- x)2=-25 B. 36(1- 2x) = 25 C. 36(1- x)2= 25 D. 36(1- x2) = 25
4.二次函数 y= x2- 2x- 3的图象如图所示．当 y< 0时，自变量 x的取值范围是 ( )
A. - 1< x< 3 B. x<-1 C. x> 3 D. x<-1或 x> 3
( 第 5题图第 4题图) 第 7题图 第 8题图
5.已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB
长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP:AB= ( )
A. 1: 5 B. 1:2 C. 1: 3 D. 1: 2
6.下列说法正确的是 ( )
A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B.长度相等的弧是等弧
C.三角形的外心到三角形三边的距离相等
D. 90°的圆周角所对的弦是圆的直径
7.如图，⊙O的直径为AB，弦AC长为 6，BC长为 8，∠ACB的平分线交⊙O于D，则弦AD的长为 ( )
A. 5 2 B. 7 C. 8 2 D. 9
8.如图是二次函数 y= ax2+ bx+ c的图象，下列结论：① y最大值为 4；② 4a+ 2b+ c> 0；③一元二次方程 ax2
+ bx+ c=-1的两根为m,n(m< n),则-3的个数有 ( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共有 8小题，每小题 3分，共 24分）
9.若 x= 1是方程 x2- 3x+ a= 0的解，则 a的值为 ．
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10.甲、乙两同学最近的 5次数学测验中数学成绩的方差分别是S2甲= 2.17，S2乙= 3.45，则数学成绩比较稳定的同学
是 ．
11.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直
角三角形均全等，两条直角边之比均为 1:2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
． B A
E F
第 11题图 第 12题图 C D第 14题图 第 16题图
12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOC= 110°，则∠ADC= ．
13.一条上山直道的坡度为 1:7，沿这条直道上山，则前进 100米所上升的高度为 米.
14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O是ΔABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，
则 sin∠ACB的值是 ．
15.直角三角形的两条边长分别为 6和 8，那么这个三角形的外接圆半径为
16.如图，在矩形ABCD中，AB= 8，BC= 5，E是矩形ABCD内一点，∠BCE=∠CDE，点F是AD边上的动点，
则BF+EF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有 11小题，共 82分）
17.计算：
(-1)2021+ 8- 4sin45° +| -2|；
18.解方程：-x(4- x) - 3= 0．
2
19. 3 a - 1先化简，再求值： 1- ÷ ．其中，a是方程 a2a+ 2 a+ 2 - 2a- 3= 0．
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20. (1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
(3)直接判断点D（5，-3）与⊙M有何位置关系，点D（5，-3）在⊙M （填内、外、上）.
21.为了响应“全民全运，同心同行”的号召，某学校要求学生积极加强体育锻炼，坚持做跳绳运动，跳绳可以让全身
肌肉匀称有力，同时会让呼吸系统、心脏、心血管系统得到充分锻炼．学校为了了解学生的跳绳情况，在七年级
随机抽取了 10名男生和 10名女生，测试了这些学生一分钟跳绳的个数，测试结果统计如下：
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)所测学生一分钟跳绳个数的众数是 ，中位数是 ；
(2)求这 20名学生一分钟跳绳个数的平均数；
(3)若该校七年级共有学生 960人，若一分钟跳绳个数在 160个以上 (含 160)为优秀，则该校七年级学生跳绳成
绩优秀的大约有多少人？
22.从起点站新区实验金山路校区（记作 J站）开往终点站新区实验马云路校区（记作M站）的某接送车，中途停靠
A站和B站，甲、乙两名互不相识的学生同时从金山路校区上车
（1）甲同学从M站下车的的概率为 .
(2)甲、乙两名同学在同一个车站下车的概率是多少？（要求：列表或画树状图求解）
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23.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为 E，
连接AC，CE．
(1)求证：∠B=∠D；
(2)若AB= 4，BC-AC= 2，求CE的长．
24.如图 1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上．图 2是其侧面结构示意图，量得
托板长AB= 120mm，支撑板长 CD= 80mm，底座长DE= 90mm．托板AB固定在支撑板顶端点 C处，且
CB= 40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
(1)若∠DCB= 80°，∠CDE= 60°，求点A到直线DE距离；
(2)为了观看舒适，在 (1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转 10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在
直线DE上，求 CD旋转的角度． (参考数据，sin40° ≈ 0.64，cos40° ≈ 0.77，tan40° ≈ 0.84，sin26.6° ≈ 0.44，
cos26.6° ≈ 0.89，tan26.6° ≈ 0.50， 3 ≈ 1.73)
25.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业
生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能
灯．已知这种节能灯的成本价为每件 10元，出厂价为每件 12元，每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关
系近似满足一次函数：y=-10x+ 500．
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20元，那么政府这个月为他承担的总差价为 元；
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25元．如果李明想要每月获得的利润不低于 3000元，那
么政府为他承担的总差价最少为多少元？
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26.关于 x的方程 ax2+ 2cx+ b= 0，如果 a、b、c满足 a2+ b2= c2且 c≠ 0，那么我们把这样的方程称为“顾神方
程”．请解决下列问题：
(1)请写出一个“顾神方程”： ；
(2)求证：关于 x的“顾神方程”ax2+ 2cx+ b= 0必有实数根；
(3)如图，已知AB、CD是半径为 6的⊙O的两条平行弦，AB= 2a，CD= 2b，且关于 x的方程 ax2+ 6 2x+ b
= 0是“顾神方程”，求∠BAC的度数．
27.如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c经过点A(-2,0)，B(4,0)，与 y轴正半轴交于点C，且OC= 2OA，抛物线的顶点
为D，对称轴交 x轴于点E．直线BC经过B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点F是线段OC上一个动点，连接EF，当 5EF+CF的值最小时，点F坐标为 ；
(3)连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点
的RtΔPEQ，且满足 tan∠EQP= tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案和解析
一、选择题（本大题共有 8小题，每小题 3分，共 24分）
1.下列方程中是关于 x的一元二次方程的是 ( )
A. x+ 1x = 0 B. 2x
2- x= 0 C. 3x3= 1 D. ax2- 4x= 0
【答案】B
【解析】解：A.是分式方程，故本选项不符合题意；
B.是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元三次方程，故本选项不符合题意；
D.是否是一元二次方程，与 a的值有关，故本选项不符合题意．
故选：B．
2.将抛物线 y= x2向左平移 2个单位，再向下平移 1个单位，所得抛物线为 ( )
A. y= (x- 2)2- 1 B. y= (x- 2)2+ 1 C. y= (x+ 2)2- 1 D. y= (x+ 2)2+ 1
【答案】C
【解析】解：原抛物线的顶点为 (0,0)，向左平移 2个单位，再向下平移 1个单位，
那么新抛物线的顶点为 (-2, -1)．
可设新抛物线的解析式为：y= (x- h)2+ k，代入得：y= (x+ 2)2- 1，
故选：C．
3.某种药品原价为 36元 /盒，经过连续两次降价后售价为 25元 /盒．设平均每次降价的百分率为 x，根据题意所
列方程正确的是 ( )
A. 36(1- x)2=-25 B. 36(1- 2x) = 25 C. 36(1- x)2= 25 D. 36(1- x2) = 25
【答案】C
【解析】解：第一次降价后的价格为 36× (1- x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低 x，
为 36× (1- x) × (1- x)，
则列出的方程是 36× (1- x)2= 25．
故选：C．
4.二次函数 y= x2- 2x- 3的图象如图所示．当 y< 0时，自变量 x的取值范围是 ( )
A. - 1< x< 3 B. x<-1 C. x> 3 D. x<-1或 x> 3
【答案】A
【解析】解：当 y= 0时，x2- 2x- 3= 0，
解得 x1=-1，x2= 3．
结合图象可见，-1< x< 3时，y< 0．
故选：A．
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5.已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB
长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP:AB= ( )
A. 1: 5 B. 1:2 C. 1: 3 D. 1: 2
【答案】D
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB= 90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAB= 12 × 90° = 45°，
∵EP⊥AB，
∴∠APE= 90°，
∴∠EAP=∠AEP= 45°，
∴AP=PE，
∴设AP=PE= x，
故AE=AB= 2x，
∴AP:AB= x: 2x= 1: 2．
故选：D．
6.下列说法正确的是 ( )
A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B.长度相等的弧是等弧
C.三角形的外心到三角形三边的距离相等
D. 90°的圆周角所对的弦是圆的直径
【答案】D
【解析】解：A、平分弦 (不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项说法错误，不符合题意；
B、等弧是在同圆或等圆中，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、90°的圆周角所对的弦是圆的直径，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
7.如图，⊙O的直径为AB，弦AC长为 6，BC长为 8，∠ACB的平分线交⊙O于D，则弦AD的长为 ( )
A. 5 2 B. 7 C. 8 2 D. 9
【答案】A
【解析】解：∵⊙O的直径为AB，
∴∠ACB= 90°．
∵AC= 6，BC= 8 AB= AC2+BC2= 62+ 82= 10．
连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB= 90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD= 12 ∠ACB= 45°，
∴∠ABD=∠ACD= 45°，
∴AD=BD，
∵AB= 10 AD=AB sin45° = 5 2．
故选：A．
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8.如图是二次函数 y= ax2+ bx+ c的图象，下列结论：① y最大值为 4；② 4a+ 2b+ c> 0；③一元二次方程 ax2+
bx+ c=-1的两根为m,n(m< n),则-3个数有 ( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】D
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为 (-1,4)，∴二次三项式 ax2+ bx+ c的最大值为 4，①正确；
∵ x= 2时，y< 0，∴ 4a+ 2b+ c< 0，②错误；
y= ax2+ bx+ c
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程 ax2+ bx+ c=-1的两根m,n是 =- 的两个交y 1
点的横坐标，在-3的左边，或 1的右边。m<-3< 1使 y≤ 3成立的 x的取值范围是 x≥ 0或 x≤-2，④错误，
故选：D
二、填空题（本大题共有 8小题，每小题 3分，共 24分）
9.若 x= 1是方程 x2- 3x+ a= 0的解，则 a的值为 2 ．
【答案】2
【解析】解：∵ x= 1是方程 x2- 3x+ a= 0的解，
∴ 12- 3× 1+ a= 0，
解得，a= 2，
故答案为：2．
10.甲、乙两同学最近的 5次数学测验中数学成绩的方差分别是S2甲= 2.17，S2乙= 3.45，则数学成绩比较稳定的同学
是 甲 ．
【答案】甲
【解析】解：因为S2甲= 2.17所以数学成绩比较稳定的同学是甲．
故答案为：甲．
11.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直
角三角形均全等，两条直角边之比均为 1:2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
1
5 ．
1
【答案】5
【解析】解：设两直角边分别为 x，2x，则斜边即大正方形的边长为 5x，
小正方形边长为 x，所以S 2 2大正方形= 5x ，S小正方形= x ，
x2 1
则针尖落在阴影区域的概率为 2 =5x 5
．
1
故答案为：5．
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12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOC= 110°，则∠ADC= 125° ．
【答案】125°
1
【解析】解：由圆周角定理得，∠B= 2 ∠AOC= 55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC= 180° -∠B= 125°，
故答案为：125°．
13.一条上山直道的坡度为 1:7，沿这条直道上山，则前进 100米所上升的高度为 10 2 米.
【答案】10 2
【解析】解：设上升的高度为 x米，
∵上山直道的坡度为 1:7，
∴水平距离为 7x米，
由勾股定理得：x2+ (7x)2= 1002，
解得：x1= 10 2，x2=-10 2 (舍去)，
故答案为：10 2
14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O是ΔABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，
2 5
则 sin∠ACB的值是 5 ．
2 5
【答案】 5
【解析】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，
由圆周角定理得：∠ACB=∠ADB，
由勾股定理得：AD= 42+ 22= 2 5，
∴ sin∠ACB= sin∠ADB= AB = 4 = 2 5 ，
AD 2 5 5
2 5
故答案为： 5 ．
15.直角三角形的两条边长分别为 6和 8，那么这个三角形的外接圆半径为 4或 5 .
【答案】4或 5
【解析】解：由勾股定理可知：
①直角三角形的斜边长为：8；
②直角三角形的斜边长为： 62+ 82= 10．
因此这个三角形的外接圆半径为 4或 5．
16.如图，在矩形ABCD中，AB= 8，BC= 5，E是矩形ABCD内一点，∠BCE=∠CDE，点F是AD边上的动点，
则BF+EF的最小值为 9 ．
【答案】9 B H A
B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD= 90°，
∴∠BCE+∠DCE= 90°，
∵∠BCE=∠CDE， F
∴∠CDE+∠DCE= 90°， E
∴∠CED= 90°， C Ｏ D
∴点E在以CD为直径的半圆上运动， 第 16题图
设半圆的圆心为O，
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{#{QQABaYAEogAoAAAAARhCAQk6CEOQkAAAAKoGhAAIsAABAQFABAA=}#}
作点B关于直线AD的对称点B′，连接B′O交AD于F，交半圆于E，
则此时BF+EF的值最小，最小值=B′E，
过O作OH⊥AB于H，则AH=OD= 12 AB= 4，OH=BC= 5，
∴OB′ = HB′2+OH 2= 122+ 52= 13，
∴MB+MN的最小值= 13- 4= 9，
故答案为：9．
三、解答题（本大题共有 11小题，共 82分）
17.计算：(-1)2021+ 8- 4sin45° +| -2|；
【答案】1
【解析】解：原式=-1+ 2 2- 4× 22 + 2
=-1+ 2 2- 2 2+ 2
= 1．
18.解方程：-x(4- x) - 3= 0．
【答案】x1= 2+ 7，x2= 2- 7
【解析】解：方程整理得：x2- 4x- 3= 0，
解得：x1= 2+ 7，x2= 2- 7．
2
19.先化简，再求值： 1- 3 a - 1a+ 2 ÷ a+ 2 ．其中，a是方程 a
2- 2a- 3= 0．
1
【答案】4
3 a2- 1
【解析】解： 1- a+ 2 ÷ a+ 2
= a(a+ 2) + 1 ÷ (a- 2) (a+ 2) + 3a+ 2 a+ 2
2
= a + 2- 3 a+ 2a+ 2 (a+ 1) (a- 1)
= (a+ 1)
2
(a+ 1) (a- 1)
= 1a+ 1，
∵ a是方程 a2- 2a- 3= 0，得 a= 3,a=-1(舍)，
∴ 1 1原式= 3+ 1 = 4．
20.如图，在平面直角坐标系 xOy中，A(1,6)、B(5,6)、C(7,4)．
(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
(3)直接判断点D（5，-3）与⊙M有何位置关系，点D（5，-3）在⊙M （填内、外、上）.
【答案】(1)（3,2）
(2)2 5
(3)外
【解析】解：(1)如图，点M为所作，M的坐标为（3,2）
(2)这个圆的半径为 r=MA= 22+ 42= 2 5
（3）原点O在⊙M外．
理由如下：∵MD= 22+ 52= 29，r= 2 5
∴MD> r，∴点O在⊙M外．
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{#{QQABaYAEogAoAAAAARhCAQk6CEOQkAAAAKoGhAAIsAABAQFABAA=}#}
21.为了响应“全民全运，同心同行”的号召，某学校要求学生积极加强体育锻炼，坚持做跳绳运动，跳绳可以让全身
肌肉匀称有力，同时会让呼吸系统、心脏、心血管系统得到充分锻炼．学校为了了解学生的跳绳情况，在七年级
随机抽取了 10名男生和 10名女生，测试了这些学生一分钟跳绳的个数，测试结果统计如下：
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)所测学生一分钟跳绳个数的众数是 160个 ，中位数是 ；
(2)求这 20名学生一分钟跳绳个数的平均数；
(3)若该校七年级共有学生 960人，若一分钟跳绳个数在 160个以上 (含 160)为优秀，则该校七年级学生跳绳成
绩优秀的大约有多少人？
【答案】(1)160个，160个；
（2）155
（3）576
【解析】解：(1)由统计图可知：跳绳个数 100个的有 1人，跳绳个数 120个的有 1人，跳绳个数 140个的有 6人，
跳绳个数 160个的有 8人，跳绳个数 180个的有 2人，跳绳个数 200个的有 2人，
所以众数为 160 160+ 160个，中位数是 2 = 160(个)，
故答案为：160个，160个；
(2)这 20名学生一分钟跳绳个数的平均数是
1× 100+ 1× 120+ 6× 140+ 8× 160+ 2× 180+ 2× 200
20 = 155(个)，
答：这 20名学生一分钟跳绳个数的平均数是 155个；
(3)960× 8+ 2+ 220 = 576(人)，
答：该校七年级学生跳绳成绩优秀的大约 576人．
22.从起点站新区实验金山路校区（记作 J站）开往终点站新区实验马云路校区（记作M站）的某接送车，中途停靠
A站和B站，甲、乙两名互不相识的学生同时从金山路校区上车
（1）甲同学从M站下车的的概率为 .
(2)甲、乙两名同学在同一个车站下车的概率是多少？（要求：列表或画树状图求解）
1
【答案】(1) 3
(2) 13
1
【解析】解（：1）甲同学从A站，B站，M站下车的的概率相同，故甲同学从M站下车的的概率为P= 3
(2)
甲 /乙 A B M
A (A，A) (A，B) (A，M )
B (B，A) (B，B) (B，M )
M (M，A) (M，B) (M，M )
以上各种情况都是等可能的，
∴P( ) = 1两人在同一车站下车 3．
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23.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为 E，
连接AC，CE．
(1)求证：∠B=∠D；
(2)若AB= 4，BC-AC= 2，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)CE= 1+ 7
【解析】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB= 90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；
(2)解：设BC= x，则AC= x- 2，在RtΔABC中，AC2+BC2=AB2，
∴ (x- 2)2+ x2= 42，
解得：x1= 1+ 7，x2= 1- 7 (舍去)，
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB= 1+ 7．
24.如图 1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上．图 2是其侧面结构示意图，量得
托板长AB= 120mm，支撑板长 CD= 80mm，底座长DE= 90mm．托板AB固定在支撑板顶端点 C处，且
CB= 40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
(1)若∠DCB= 80°，∠CDE= 60°，求点A到直线DE距离；
(2)为了观看舒适，在 (1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转 10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在
直线DE上，求 CD旋转的角度． (参考数据，sin40° ≈ 0.64，cos40° ≈ 0.77，tan40° ≈ 0.84，sin26.6° ≈ 0.44，
cos26.6° ≈ 0.89，tan26.6° ≈ 0.50， 3 ≈ 1.73)
【答案】(1)120.7mm
(2)33.4°
【解析】解：(1)如图 2，过A作AM⊥DE，交 ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为 F，过点C作
CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC= 80mm，CD= 80mm，∠DCB= 80°，∠CDE= 60°，
3
在RtΔCDN中，CN=CD sin∠CDE= 80× 2 = 40 3mm=FM，
∠DCN= 90° -60° = 30°，
又∵∠DCB= 80°，
∴∠BCN= 80° -30° = 50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM CN，
∴∠A=∠BCN= 50°，
∴∠ACF= 90° -50° = 40°，
在RtΔAFC中，AF=AC sin40° = 80× 0.643≈ 51.44(mm)，
∴AM=AF+FM= 51.44+ 40 3 ≈ 120.7(mm)；
答：点A到直线DE的距离约为 120.7mm；
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(2)CD旋转后，如图 3所示：
根据题意可知∠DCB= 80° +10° = 90°，
在RtΔBCD中，CD= 80mm，BC= 40mm，
∴ tan∠D= BC = 4080 = 0.500，CD
∴∠D≈ 26.6°，因此旋转的角度约为：60° -26.6° = 33.4°，
答：CD旋转的角度约为 33.4°．
25.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业
生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能
灯．已知这种节能灯的成本价为每件 10元，出厂价为每件 12元，每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关
系近似满足一次函数：y=-10x+ 500．
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20元，那么政府这个月为他承担的总差价为 元；
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25元．如果李明想要每月获得的利润不低于 3000元，那
么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【答案】
【解析】解：(1)当 x= 20时，y=-10x+ 500=-10× 20+ 500= 300，
300× (12- 10) = 300× 2= 600元，
即政府这个月为他承担的总差价为 600元．
(2)由题意得，w= (x- 10) (-10x+ 500)
=-10x2+ 600x- 5000
=-10(x- 30)2+ 4000
∵ a=-10< 0，∴当 x= 30时，w有最大值 4000元．
即当销售单价定为 30元时，每月可获得最大利润 4000元．
(3)由题意得：-10x2+ 600x- 5000= 3000，
解得：x1= 20，x2= 40．
∵ a=-10< 0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当 20≤ x≤ 40时，4000>w≥ 3000．
又∵ x≤ 25，
∴当 20≤ x≤ 25时，w≥ 3000．
设政府每个月为他承担的总差价为 p元，
∴ p= (12- 10) × (-10x+ 500)
=-20x+ 1000．
∵ k=-20< 0．
∴ p随 x的增大而减小，
∴当 x= 25时，p有最小值 500元．
即销售单价定为 25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500元．
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26.关于 x的方程 ax2+ 2cx+ b= 0，如果 a、b、c满足 a2+ b2= c2且 c≠ 0，那么我们把这样的方程称为“顾神方
程”．请解决下列问题：
(1)请写出一个“顾神方程”：6x2+ 10 2x+ 8= 0 (答案不唯一) ；
(2)求证：关于 x的“顾神方程”ax2+ 2cx+ b= 0必有实数根；
(3)如图，已知AB、CD是半径为 6的⊙O的两条平行弦，AB= 2a，CD= 2b，且关于 x的方程 ax2+ 6 2x+ b
= 0是“顾神方程”，求∠BAC的度数
【答案】（1）6x2+ 10 2x+ 8= 0 (答案不唯一)
（2）见解析
（3）45°
【解析】(1)解：写出一个“顾神方程”：6x2+ 10 2x+ 8= 0(答案不唯一)，
故答案为：6x2+ 10 2x+ 8= 0 (答案不唯一)；
(2)证明：∵关于 x的方程 ax2+ 2cx+ b= 0是“顾神方程”，
∴ a2+ b2= c2且 c≠ 0，
①当 a≠ 0时，
△= ( 2c)2- 4ab，
= 2c2- 4ab= 2(a2+ b2) - 4ab，
= 2(a2+ b2- 2ab)，
= 2(a- b)2≥ 0，
∴方程有两个实数根，
②当 a= 0时，方程为 2cx+ b= 0，c≠ 0，
∴该方程有实数根，
∴“顾神方程”必有实数根；
(3)解：∠BAC= 45°，理由如下：
作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，
∵DC AB，
∴EF⊥CD，
∴AE=BE= a，CF=DF= b，
∵BE 2+OE 2=OB2，
∴ a2+OE 2= 62，
∵ ax2+ 6 2x+ b= 0是“顾神方程，
∴ a2+ b2= 62，
∴OE= b=CF，
∵OB=OC，
∴RtΔBOE RtΔOCF(HL)，
∴∠FOC=∠OBE，
∵∠OBE+∠EOB= 90°，
∴∠FOC+EOB= 90°，
∴∠COB= 90°，
∴∠A= 12 ∠BOC= 45°．
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27.如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c经过点A(-2,0)，B(4,0)，与 y轴正半轴交于点C，且OC= 2OA，抛物线的顶点
为D，对称轴交 x轴于点E．直线BC经过B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点F是线段OC上一个动点，连接EF，当 5EF+CF的值最小时，点F坐标为 ；
(3)连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点
的RtΔPEQ，且满足 tan∠EQP= tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
【解析】解：(1)由点A的坐标知，OA= 2，
∵OC= 2OA= 4，故点C的坐标为 (0,4)，
4a- 2b+ c= 0
1
a=- 2
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： 16a+ 4b+ c= 0，解得 b= 1 ，c= 4 c= 4
1
故抛物线的表达式为 y=- 2 x
2+ x+ 4；
(2) 1点F坐标为（0，2）
5EF+CF= 5 (EF+ 55 CF)，过点F作FH AC于点H，
FH = 5 5则有 5 FH= 5 CF,
5
故 5EF+CF= 5 (EF+ 5 CF) = 5 (EF+FH)CF
故过点E作EM AC交 y 1轴于点F，则点F即为所求点，F点坐标为（0，2）
(3)存在，理由：
1
设点P的坐标为 m, - m22 +m+ 4 、点Q的坐标为 (t, -t+ 4)，
①当点Q在点P的左侧时，
如图 2，过点P、Q分别作 x轴的垂线，垂足分别为N、M，
由题意得：∠PEQ= 90°，
∴∠PEN+∠QEM= 90°，
∵∠EQM+∠QEM= 90°，
∴∠PEN=∠EQM，
∴∠QME=∠ENP= 90°，
∴ΔQME∽ΔENP，
∴ PN EN PEME = =QM QE
= tan∠EQP= tan∠OCA= OA = 2 = 1
OC 4 2
，
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PN=- 1则 m22 +m+ 4，ME= 1- t，
EN=m- 1，QM=-t+ 4，
- 1 22m +m+ 4∴ = m- 1 11- t -t+ 4 = 2，
解得m=± 13 (舍去负值)，
m= 13 - 1 m2+m+ 4= 2 13- 5当 时， 2 2 ，
2 13- 5
故点P的坐标为 13， 2 ．
②当点Q在点P的右侧时，
分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，
垂足分别为N、M，
则MQ= t- 1，ME= t- 4，
NE=- 12m
2+m+ 4、PN=m- 1，
同理可得：ΔQME∽ΔENP，
∴ MQ ME EQEN = PN = PE = 2，
t- 1 = t- 4
- 1 m2+m+ 4 m- 1
= 2，
2
解得m=± 7 (舍去负值)，
故m= 7，
2 7+ 1
故点P的坐标为 7， 2 ，
故点P 2 7+ 1 2 13- 5的坐标为 7， 2 或 13， 2 ．
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