2023- 2024学年草桥学校初三年级 12月份月考数学试卷
一、、选择题 (每小题 3分，共 30分)
1.已知在RtΔABC中，∠C= 90°，tanA= 33 ，则∠B的度数是 ( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
2.二次函数 y=-2(x+ 1)2- 4，下列说法正确的是 ( )
A.开口向下 B.对称轴为直线 x= 1
C.顶点坐标为 (1,4) D.当 x<-1时，y随 x的增大而减小
3.已知⊙O的直径为 5，若PO= 3，则点P与⊙O的位置关系是 ( )
A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法判断
4.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡度是 1: 3，堤坝高BC= 50cm，水平宽度AC的长度 ( )
A. 100cm B. 100 3cm C. 150cm D. 50 3cm
（第 4题图）
（第 5题图） （第 6题图）
第 8题图
5.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB=CD，∠AOB= 36°，则∠CED的度数为 ( )
A. 72° B. 36° C. 18° D. 16°
6.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE= 82°，那么∠BOD的度数为 ( )
A. 160° B. 162° C. 164° D. 170°
7.点A(m,y1)，B(n,y2)均在抛物线 y= (x- h)2+ 7上，若 |m- h| > |n- h|，则下列说法正确的是 ( )
A. y1+ y2= 0 B. y1- y2= 0 C. y1- y2< 0 D. y1- y2> 0
8.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角 α为 30°，看这栋楼底部C的俯角 β为 60°，无人机与楼的水平距
离为 120m，则这栋楼的高度为 ( )
A. 140 3m B. 160 3m C. 180 3m D. 200 3m
9.如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD为⊙O的直径，若AD= 10，AC= 8，则 cosB等于 ( )
A. 4 B. 33 4 C.
3
5 D.
4
5
（第 9题图）
初三数学 第 1页 共 5页
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10.如图①，在正方形ABCD中，点 E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC= x，PE+PB= y，图②
是 y关于 x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为 (4 2，3 5 )，则正方形ABCD的边 ( )
A. 6 B. 3 5 C. 4 2 D. 4
( 10 ) （第 11题图） （第 13题图）第 题图 （第 14题图）
二、填空题 (每小题 3分，共 24 分)
11.如图，在RtΔABC中，∠C= 90°，AC= 4，BC= 3，则 cosB= ．
12.二次函数 y= 2x2+ x+m的最小值是 1．则m的值是 ．
13.在一个残缺的圆形工件上量得弦BC= 8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE= 2cm，则这个圆形工件的半径
是 cm．
14.如图，AD是⊙O的直径，ΔABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC= 4，则⊙O的直径AD=
．
15.若二次函数 y= ax2+ bx+ c(a、b、c为常数)的图象如图所示，则关于 x的不等式 a(x+ 2)2+ b(x+ 2) + c< 0
的解集为 ．
16.如图，AD是⊙O的直径，△ABC是的⊙O内接三角形，若∠DAC=∠ABC，AC= 4，则⊙O的直径AD=
C
A Ｏ D
B
（第 15题图） （第 16题图） （第 17题图）
（第 18题图）
17.如图，矩形OABC的顶点A k在反比例函数 y= x (x< 0)的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC x轴，
2
交 y轴于点D．若矩形OABC的面积是 6，cos∠OAC= 3 ，则 k= ．
18.如图，在矩形 ABCD中，点 E为矩形内一点，且 AB = 1，AD = 3，∠BAE = 75°，∠BCE = 60°，则四边形
ABCE的面积是 ．
三、解答题
19. (1)计算：tan60° -2cos30° + 2sin45°； (2) -2023 1 + π0- ( -16 ) + 16
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20.解方程：
(1)x2- 4x- 5= 0； (2) (x- 5)2= (x- 5)．
21.小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目 (A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C :盘丝洞)
中各自随机选择一个项目游玩．
(1)小华选择C项目的概率是 ；
(2)用画树状图或列表法方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
22.如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在MB，MD上，且AB=CD，M是AC的中点．求证：MB=
MD．
23.如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC= 26°．求∠CAB的度数．
初三数学 第 3页 共 5页
{#{QQABQYCAgggoABIAARhCAQX6CkCQkAAAAKoGhBAIoAABgAFABAA=}#}
24.某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石
隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 l1 l2，点A、B分别在 l1、l2上，斜坡AB的长为 18米，过点B作
BC⊥ l1于点C，且线段AC的长为 2 6米．
(1)求该斜坡的坡高BC；(结果用最简根式表示)
(2)为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角 α为 60°，过点M作MN⊥ l1于点
N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
25.我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系．为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往
1 1
需要构造直角三角形．例如，已知 tanα= 3 (0° < α< 90°)，tanβ= 2 (0° < β< 90°)，求 α+ β的度数，我们就
可以在图①的方格纸中构造RtΔABC和RtΔAED来解决．
(1)利用图①可得 α+ β= °；
(2)若 tan2α= 34 (0° < α< 45°)，请在图②的方格纸中构造直角三角形，求 tanα；
(3)在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，设∠CAB= α(0° < α< 45°)，请利用图③探究 sin2α、cosα和 sinα
的数量关系．
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26.小贺在学习垂径定理后对下题进行探究与思考: 如图: ⊙O 的CD垂直弦AB于点E，且CE= 8，DE= 2.
(1) 如图 1，求AB 的长.
(2) 探究拓展:如图 2，连接AC，点G是BC上一动点，连接AG，延长CG交AB的延长线于点F
①当点G是BC的中点时，求证: ∠GAF=∠F.
②设 CG= x，CF= y，请写出 y关于 x的函数关系式，并说明理由
③如图 3，连接 DF，BG，当△CDF为等腰三角形时，请计算BG 的长
C C C
G G
O O O
A E B A E B F A E B F
D D D
图 1 图 2 图 3
27.如图①，抛物线 y=-x2+ (a+ 1)x- a与 x轴交于A，B两点 (点A位于点B的左侧)，与 y轴交于点C．已知
ΔABC的面积是 6．
(1)求 a的值；
(2)求ΔABC外接圆圆心的坐标 ；
(3)如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同
侧的不同两点，若点P到 x轴的距离为 d，ΔQPB的面积为 2d，且∠QPB= 45°，求点Q的坐标．
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参考答案与解析
一、、选择题 (每小题 3分，共 30分)
1. 3已知在RtΔABC中，∠C= 90°，tanA= 3 ，则∠B的度数是 ( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】C
【解析】解：∵ tan30° = 33 ，
∴∠A= 30°，
∴∠B= 90° -∠A= 60°，
故选：C．
2.二次函数 y=-2(x+ 1)2- 4，下列说法正确的是 ( )
A.开口向下 B.对称轴为直线 x= 1
C.顶点坐标为 (1,4) D.当 x<-1时，y随 x的增大而减小
【答案】A
【解析】解：∵二次函数 y=-2(x+ 1)2- 4，
∴ a=-2，该函数的图象开口向下，故选项A正确；
对称轴是直线 x=-1，故选项B错误；
顶点坐标为 (-1, -4)，故选项C错误；
当 x<-1时，y随 x的增大而增大，故选项D错误；
故选：A．
3.已知⊙O的直径为 5，若PO= 3，则点P与⊙O的位置关系是 ( )
A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法判断
【答案】C
1
【解析】解：圆的半径 r= 2 × 5= 2.5，点P到O的距离 d=PO= 3，
∴ d> r，
∴点P在圆外，
故选：C．
4.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡度是 1: 3，堤坝高BC= 50cm，水平宽度AC的长度 ( )
A. 100cm B. 100 3cm C. 150cm D. 50 3cm
【答案】D
【解析】解：∵AB的坡度是 1: 3，
∴ BC = 50 = 1 ，
AC AC 3
解得AC= 50 3．
经检验，AC= 50 3是原方程的解且符合题意，
∴水平宽度AC的长度为 50 3cm．
故选：D．
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5.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB=CD，∠AOB= 36°，则∠CED的度数为 ( )
A. 72° B. 36° C. 18° D. 16°
【答案】C
【解析】解：连接OC、OD、CD，
∵AB=CD，∠AOB= 36°，
∴∠AOB=∠COD= 36°，
∴∠CED= 12 ∠COD= 18°．
故选：C．
6.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE= 82°，那么∠BOD的度数为 ( )
A. 160° B. 162° C. 164° D. 170°
【答案】C
【解析】解：∵∠DCE+∠BCD= 180°，∠A+∠BCD= 180°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠BCD= 82°，
∴∠A= 82°，
∴∠BOD= 164°．
故选：C．
7.点A(m,y1)，B(n,y2)均在抛物线 y= (x- h)2+ 7上，若 |m- h| > |n- h|，则下列说法正确的是 ( )
A. y1+ y2= 0 B. y1- y2= 0 C. y1- y2< 0 D. y1- y2> 0
【答案】D
【解析】解：∵ y= (x- h)2+ 7，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x= h，
若 |m- h| > |n- h|，则点A与对称轴距离大于点B，
∴ y1> y2，即 y1- y2> 0，
故选：D．
8.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角 α为 30°，看这栋楼底部C的俯角 β为 60°，无人机与楼的水平距
离为 120m，则这栋楼的高度为 ( )
A. 140 3m B. 160 3m C. 180 3m D. 200 3m
【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AD= 120m，
在RtΔABD中，∠BAD= 30°，
∴BD=AD tan30° = 120× 33 = 40 3 (m)，
在RtΔACD中，∠CAD= 60°，
∴CD=AD tan60° = 120 3 (m)，
∴BC=BD+CD= 160 3 (m)，
∴这栋楼的高度为 160 3m，
故选：B．
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9.如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD为⊙O的直径，若AD= 10，AC= 8，则 cosB等于 ( )
A. 4 B. 33 4 C.
3 4
5 D. 5
【答案】C
【解析】解：连接CD，
∵∠B与∠D都对AC，
∴∠B=∠D，
∵AD为圆O的直径，
∴∠ACD= 90°，
在RtΔACD中，AD= 10，AC= 8，
根据勾股定理得：CD= 6，
cosB= cosD= CD = 3则
AD 5
，
故选：C．
10.如图①，在正方形ABCD中，点 E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC= x，PE+PB= y，图②
是 y关于 x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为 (4 2，3 5 )，则正方形ABCD的边 ( )
A. 6 B. 3 5 C. 4 2 D. 4
【答案】A
【解析】解：如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，则此时 y取得最小值，
根据点的对称性，PB=PD，则 y=PE+PB=PD+PE=DE为最小，
故ED= 3 5，
1
设正方形的边长为 x，则AE= 2 x，
在RtΔADE中，由勾股定理得：DE 2=AD2+AE 2，
2
即 x2+ 12 x = (3 5 )
2，解得：x= 6(负值已舍去)，
故选：A．
二、填空题 (每小题 3分，共 24 分)
3
11.如图，在RtΔABC中，∠C= 90°，AC= 4，BC= 3，则 cosB= 5 ．
3
【答案】5
【解析】解：∵在RtΔABC中，∠C= 90°，AC= 4，BC= 3，
∴AB= AC2+BC2= 42+ 32= 5，
∴ cosB= BC = 3．
AB 5
3
故答案为：5．
9
12.二次函数 y= 2x2+ x+m的最小值是 1．则m的值是 8 ．
9
【答案】8
4× 2×m- 12
【解析】解：根据题意得 4× 2 = 1，
9
解得m= 8．
9
故答案为：8．
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13.在一个残缺的圆形工件上量得弦BC= 8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE= 2cm，则这个圆形工件的半径
是 5 cm．
【答案】5
【解析】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，
∴圆心在直线DE上，
设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，
则OD⊥BC，OE=R-DE= (R- 2)cm，
∴BE=CE= 12 BC= 4(cm)，
在RtΔOEB中，OB2=BE 2+OE 2，
即R2= 42+ (R- 2)2，
解得：R= 5，
即这个圆形工件的半径是 5cm，
故答案为：5．
14.如图，AD是⊙O的直径，ΔABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC= 4，则⊙O的直径AD=
4 2 ．
【答案】4 2
【解析】解：如图，连接CD、OC．
∵∠DAC=∠ABC，
∴AC =DC，
∴AC=CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD= 90°，
∴ΔACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD= 4，
∴AD= 2AC= 4 2．
故答案为：4 2．
15.若二次函数 y= ax2+ bx+ c(a、b、c为常数)的图象如图所示，则关于 x的不等式 a(x+ 2)2+ b(x+ 2) + c< 0
的解集为 x<-1 或 x> 1 ．
【答案】x<-1或 x> 1
【解析】解：由图象可得 x< 1或 x> 3时 ax2+ bx+ c< 0，
∴当 a(x+ 2)2+ b(x+ 2) + c< 0时，x+ 2< 1或 x+ 2> 3，
解得 x<-1或 x> 1，
故答案为：x<-1或 x> 1．
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16.如图，AD是⊙O的直径，△ABC是的⊙O内接三角形，若∠DAC=∠ABC，AC= 4，则⊙O的直径AD=
C
【答案】4 2
【解析】解：连接CD
由题知∠DAC=∠ABC=∠CDA Ｏ
AC=CD= A4 D
AD= AC2+CD2 = 4 2
B
17.如图，矩形OABC的顶点A k在反比例函数 y= x (x< 0)的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC x轴，
交 y轴于点D．若矩形OABC的面积是 6，cos∠OAC= 2 83 ，则 k= - 3 ．
- 8【答案】 3
【解析】解：作AE⊥ x轴于E，
∵矩形OABC的面积是 6，
∴ΔAOC的面积是 3，
∵∠AOC= 90°，cos∠OAC= 23，
∴ OA = 23，AC
∵对角线AC x轴，
∴∠AOE=∠OAC，
∵∠OEA=∠AOC= 90°，
∴ΔOEA∽ΔAOC，
S
∴ ΔOEA
2
S =
OA ，
ΔAOC AC
S
∴ ΔOEA = 43 9，
∴S 4ΔOEA= 3，
∵S 1ΔOEA= 2 |k|，k< 0，
∴ k=- 83．
8
故答案为：- 3．
18.如图，在矩形 ABCD中，点 E为矩形内一点，且 AB = 1，AD = 3，∠BAE = 75°，∠BCE = 60°，则四边形
1
ABCE的面积是 3- 2 ．
【答案】 3- 12
【解析】解：连接AC，在矩形ABCD中，∠B= 90°，AB= 1，AD= 3，
∴AC= AB2+BC2= 2，
∴AB= 12 AC，
∴∠ACB= 30°，
∴∠BAC= 60°，
∵∠BAE= 75°，
∴∠CAE= 15°，
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过E作EF⊥AC于H，交BC于F，
∵∠BCE= 60°，
∴∠ECA= 30°，
∴∠CEF= 60°，
∴ΔCEF是等边三角形，
∴EH=FH，
∴∠EAH=∠FAH= 15°，
∴∠BAF= 45°，
∴ΔABF是等腰直角三角形，
∴BF=AB= 1，
∵BC= 3，
∴CF=EF= 3- 1，
∴EH= 12 EF=
3- 1
2 ，
∴四边形ABCE的面积=S +S = 1ΔABC ΔAEC 2 × 3 × 1+
1 3- 1 1
2 × 2× 2 = 3- 2，
故答案为： 3- 12，
三、解答题
19. (1)计算：tan60° -2cos30° + 2sin45°；
(2) 1 -2023 + π0- ( )-16 + 16
【答案】(1)1
(2)2022
【解析】解：(1)tan60° -2cos30° + 2sin45°
= 3- 2× 32 + 2 ×
2
2
= 3- 3+ 1
= 1；
(2) -2023 + π0- ( 16 )
-1+ 16
= 2023+ 1- 6+ 4
= 2022
20.解方程：
(1)x2- 4x- 5= 0；
(2) (x- 5)2= (x- 5)．
【答案】(1)x1= 5，x2=-1
(2)x1= 5，x2= 6
【解析】解：(1)x2- 4x- 5= 0，
(x- 5) (x+ 1) = 0，
x- 5= 0或 x+ 1= 0，
所以 x1= 5，x2=-1；
(2) (x- 5)2= (x- 5)，
(x- 5)2- (x- 5) = 0，
(x- 5) (x- 5- 1) = 0，
x- 5= 0或 x- 6= 0，
所以 x1= 5，x2= 6．
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21.小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目 (A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C :盘丝洞)
中各自随机选择一个项目游玩．
1
(1)小华选择C项目的概率是 3 ；
(2)用画树状图或列表法方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
1
【答案】(1) 3
(2) 23
【解析】【解答】解：(1)小华选择C 1项目的概率是 3．
1
故答案为：3．
(2)画树状图如下：
共有 9种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共
6种，
∴ 6 2小华、小玲选择不同游玩项目的概率为 9 = 3．
22.如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在MB，MD上，且AB=CD，M是AC的中点．求证：MB=
MD．
【解析】证明：∵M是AC的中点，
∴AM =CM，
∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB+AM =CD+CM，
即BAM =DCM，
∴MB=MD．
23.如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC= 26°．求∠CAB的度数．
【解析】解：连接BC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB= 90°，
∵∠B=∠D= 26°，
∴∠CAB= 90° -26° = 64°．
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24.某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石
隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 l1 l2，点A、B分别在 l1、l2上，斜坡AB的长为 18米，过点B作
BC⊥ l1于点C，且线段AC的长为 2 6米．
(1)求该斜坡的坡高BC；(结果用最简根式表示)
(2)为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角 α为 60°，过点M作MN⊥ l1于点
N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
【答案】(1)10 3
(2)2
【解析】解：(1)在RtΔABC中，BC= AB2-AC2= 324- 24= 10 3 (米)；
答：该斜坡的坡高BC长为 10 3米；
(2) ∵∠α= 60°，
∴∠AMN= 30°，
∴AM= 2AN，
∵在RtΔAMN中，AN 2+MN 2=AM 2，
∴AN 2+ 300= 4AN 2
∴AN= 10米，
∴AM= 20米，
∴AM-AB= 20- 18= 2(米)．
综上所述，长度增加了 2米．
25.我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系．为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往
需要构造直角三角形．例如，已知 tanα= 13 (0° < α< 90°) tanβ=
1
， 2 (0° < β< 90°)，求 α+ β的度数，我们就
可以在图①的方格纸中构造RtΔABC和RtΔAED来解决．
(1)利用图①可得 α+ β= 45 °；
(2)若 tan2α= 34 (0° < α< 45°)，请在图②的方格纸中构造直角三角形，求 tanα；
(3)在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，设∠CAB= α(0° < α< 45°)，请利用图③探究 sin2α、cosα和 sinα
的数量关系．
【答案】（1）45°
（2 1）3
（3）sin2α= 2cosαsinα
【解析】解：(1)如图①，连接CD，
∵AC2= 12+ 32= 10，CD2= 12+ 22= 5，AD2= 12+ 22= 5，
∴CD2+AD2=AC2，且CD=AD，
∴ΔACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD= 45°，即 α+ β= 45°，
故答案为：45．
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(2)构造如图②所示RtΔABC，AC= 3，CB= 4，AB= 5，
设∠ABC= 2α，
在RtΔABC中，∠C= 90°，
tan2α= tan∠ABC= 34，延长CB到D，使BD=AB，
∵AB=BD= 5，
∴∠BAD=∠D，
∴∠ABC= 2∠D，
∴∠D= α，
在RtΔADC中，∠C= 90°，
∴ tanα= tan∠D= AC = 3 = 19 3；CD
(3)如图③，
过点C作CE⊥BD于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO= 12 AC，BO=DO=
1
2 BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= α，∠COB= 2α，
在RtΔOCE中，∠OEC= 90°，
则 sin2α= CE = 2CE
OC AC
在RtΔACB中，∠ABC= 90°，
则 sinα= CB ，cosα= AB ，
AC AC
∵OC=OB，
∴∠CBE=∠ACB，
∵∠CEB=∠ABC= 90°，
∴ΔCEB∽ΔABC，
∴ CE = BC ，
AB AC
∴CE= AB BC ，
AC
∴ 2CE = 2AB BC2 = 2
CB AB ，即 sin2α= 2sinα cosα．
AC AC AC AC
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26.小贺在学习垂径定理后对下题进行探究与思考: 如图: ⊙O 的CD垂直弦AB于点E，且CE= 8，DE= 2.
(1) 如图 1，求AB 的长.
(2) 探究拓展:如图 2，连接AC，点G是BC上一动点，连接AG，延长CG交AB的延长线于点F
①当点G是BC的中点时，求证: ∠GAF=∠F.
②设 CG= x，CF= y，请写出 y关于 x的函数关系式，并说明理由
③如图 3，连接DF，BG，当△CDF为等腰三角形时，请计算BG 的长
C C
G
O O
A E B A E B F
D D
图 1 图 2
【解析】解（：1）如图 1，连接OB
OB=OD= 12 CD=
1
2 (CE+DE) = 5，OE= 5- 2= 3
AB= 2AE= 2 OB2-OE 2 = 2 52- 32 = 8
(2)①如图 2，连接CB
∵CD垂直弦AB
∴AC =BC
∴∠CAB=∠CBA=∠CGA
∵G是BC的中点
∴CG=BG
∴∠CAG=∠BAG
C
则：∠CGA= 2∠GAF
∵∠CGA=∠GAF+∠F
∴∠GAF=∠F
②在Rt△AEC中，AC= AE 2+CE 2 = 42+ 82 = 4 5 O
G
∵∠F=∠CAG，∠ACG=∠FCA
B
∴△GCA △ACF
A E F
CG = AC CG×CF=AC2
AC CF D
xy= (4 5 )2 y= 80x 图 3.1
③△CDF为等腰三角形
1.(如图 3.1)CD=CF=10
EF= CF 2-CF 2 = 102- 82 = 6,BF=EF-BE= 6- 4= 2
∵∠GBF+∠ABG=180°，,∠ABG+∠ACG=180°
∴∠GBF=∠FCA
在△FBG与△FCA中
∠GBF=∠FCA △GBF △ACF
GB = BF GB = 2 GB= 4 5
∠GFB=∠AFC AC CF 4 5 10 5
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2.(如图 3.2)CD=DF=10
EF= DF 2-DE 2 = 102- 22 = 4 6 ,
C
BF=EF-BE= 4 6- 4
CF= CE 2+EF 2 = 4 10
∵∠GBF+∠ABG=180°，,∠ABG+∠ACG=180° G
∴∠GBF=∠FCA O
在△FBG与△FCA中 B
∠GBF=∠FCA E △GBF △ACF A
F
∠GFB=∠AFC
GB = BF
D
GB = 4 6- 4 GB= 4 3- 2 2
AC CF 4 5 4 10 图 3.2
3.DF=GF（不存在）
4 5
综上所述：GB为 5 或 4 3- 2 2
27.如图①，抛物线 y=-x2+ (a+ 1)x- a与 x轴交于A，B两点 (点A位于点B的左侧)，与 y轴交于点C．已知
ΔABC的面积是 6．
(1)求 a的值；
(2)求ΔABC外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同
侧的不同两点，若点P到 x轴的距离为 d，ΔQPB的面积为 2d，且∠QPB= 45°，求点Q的坐标
【解析】解：(1) ∵ y=-x2+ (a+ 1)x- a令 y= 0，即-x2+ (a+ 1)x- a= 0
解得 x1= a，x2= 1，由图象知：a< 0
∴A(a,0)，B(1,0)
∵SΔABC= 6
∴ 12 (1- a) (-a) = 6 a=-3，a= 4(舍去)
(2) ∵A(-3,0)，C(0,3)，
∴OA=OC，
∴线段AC的垂直平分线过原点，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y=-x，
∵由A(-3,0)，B(1,0)，
∴线段AB的垂直平分线为 x=-1
将 x=-1代入 y=-x， y= 1
∴ΔABC外接圆圆心的坐标 (-1,1)
(3)作PM⊥ x轴交 x轴于M，则SΔBAP=
1
2 AB PM=
1
2 × 4d
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∵SΔPQB=SΔPAB
∴A、Q到PB的距离相等，
∴AQ PB
设直线PB解析式为：y= x+ b
∵直线经过点B(1,0)
所以：直线PB的解析式为 y= x- 1
2
联立 y=-x - 2x+ 3 x=-4 y= x- 1 y=-5
∴点P坐标为 (-4, -5)
又∵∠PAQ=∠AQB，
∴∠BPA=∠PBQ，
∴AP=QB，
AP=QB
在ΔPBQ与ΔBPA中， ∠BPA=∠PBQ，PB=BP
∴ΔPBQ ΔABP(SAS)，
∴PQ=AB= 4
设Q(m,m+ 3)
由PQ= 4得：(m+ 4)2+ (m+ 3+ 5)2= 42
解得：m=-4，m=-8(当m=-8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去)
∴Q坐标为 (-4, -1)
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