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2023-2024学年第一学期浙江省金华市九年级期末数学考前练习卷 解析
一、精心选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1 .若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例的性质，设，则，代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，设，则，
∴，
故选：D．
2 .抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线顶点式，直接求解即可．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：A
3 .将抛物线先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，
所得的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可求得平移后的顶点式，从而求得得到坐标．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为，
∴其顶点坐标为，
故选：D．
4．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．35° D．55°
【答案】A
【分析】连接AC，由圆周角定理可求得∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABD，则可求得答案．
【详解】如图，连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°，
故选A．
5．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，
移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（ ）
A．7 m B．8 m C．6m D．9m
【答案】D
【详解】试题解析：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，
即，
解得AB=9．
故选D．
如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2，根据阴影部分的面积=S⊙O-S正方形ABCD列式计算可得．
【详解】解：连接OA、OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴OA=ABcos45°=4×=2，
所以阴影部分的面积=S⊙O-S正方形ABCD=π×（2）2-4×4=8π-16．
故选B．
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
【答案】B
【分析】由求出的值，由求出的值，对计算求解即可．
【详解】解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
9 . 如图，在中，，高，正方形一边在上，
点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，
根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形的边长，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：
①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
二、用心填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）
12. 二次函数y=+2的顶点坐标为_________．
【答案】（1，2）.
【解析】
【详解】试题分析：由二次函数的解析式可求得答案．
∵y=（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2）.
故答案为（1，2）．
在一个不透明的装子中有若干个除颜色外完全相同的小球，如果其中有6个红球，
且摸出红球的概率是，则袋子中小球的总个数是____________
【答案】30
【分析】根据有6个红球，且摸出红球的概率是，用6除以出红球的概率即可．
【详解】解：由题意可得，
袋子中大概有球的个数是：6÷＝30（个），
故答案为：30
14. 如图，，，是上的三个点，，则的度数是 ．
【答案】65°
【分析】根据圆周角定理先求出，再利用三角形内角和为和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．
且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米．
【答案】8
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求解即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案为：8．
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，
将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
三、细心答一答（本题有8小题，共66分）
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解；
（2）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球
（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．
若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，
摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，
求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
【答案】
【分析】根据题意作图树状图，可知共有6种可能情况，而满足条件的有2种情况，进而求概率即可．
【详解】解：根据题意，可作树状图如下，
由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况，
所以，得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为．
如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，
在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，
又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．
（参考数据：，结果保留整数）
【答案】的长为
【分析】根据题意得出，在，中，分别求出，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
∴，
在中，，
∴（），
在中，，
∴（），
∴（），
即的长为．
20．一位运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，
（1）求铅球所经过路线的函数表达式；
（2）求出铅球的落地点离运动员有多远．
【答案】（1）；（2）铅球的落地点离运动员有
【分析】（1）由图象可知：顶点坐标为（4,3），且图象过点（0，）， 设函数解析式为，将点（0，）代入，解得：a=，即可顶点函数解析式；
（2）求当y=0即时的解即可顶点答案．
【详解】（1）由图象可知：顶点坐标为（4,3），且图象过点（0，），
设函数解析式为，将点（0，）代入，得16a+3=，
解得：a=，
∴铅球所经过路线的函数表达式为；
（2）当y=0时，即，
解得：x1=10，x2=-2（舍去），
答：铅球的落地点离运动员有10m．
在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活18 .如图，AB是的直径，
四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，
再根据直径所对的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证；
设半径为r，再根据勾股定理列出方程求出r，从而求出直径AB的值，
再次根据勾股定理可求出BC即可．
【详解】解：（1），
∴=
又为半径，
，
为直径，
，
（2）设圆的半径为r
，，
，
在中，
即，所以，
，O是AC，AB的中点
，
某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：
如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？
【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大
【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价.
【详解】（1）根据题意得：w =（25+x-20)(250-10x）
即：w =-10x2+200x+1250或w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）
（2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，
当时，销售利润最大
此时销售单价为：10+25=35（元）
答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）65°；（3）．
【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；
根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，
所以根据三角形内角和定理求得∠ABD的度数，则∠C＝∠ABD，得解；
设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，
根据射影定理知：BD2＝BF AB，据此列出方程求得x的值，最后代入弧长公式求解．
【详解】（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BD．
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：∵弧DE＝50°，
∴∠EOD＝50°．
∴∠DAE＝∠DOE＝25°．
∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABD＝65°．
（3）∵BC＝8，BD＝CD，
∴BD＝4．
设半径OD＝x．则AB＝2x．
由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，
∵AD⊥BD，DF⊥AB，
∴BD2＝BF AB，即42＝x 2x．
解得x＝4．
∴OB＝OD＝BD＝4，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°．
∴弧BD的长是：＝．
24 .（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段、之间的数量关系为______；______；
（2）【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，
D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？
请写出证明过程并求出的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，为的中位线，
将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
【答案】（1），60；（2），的度数为，过程见解析；（3）或．
【分析】（1）证，得，，进而判断出即可；
（2）证，得，，则，再求出，即可得出结论；
（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
【详解】解：（1）∵和均为正三角形，
∴，，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
综上所述, 线段、之间的数量关系为，，
故答案为：，60．
（2）∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∵和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
、之间的数量关系是，的度数为；
（3）分两种情况：
①如图4，
∵，，，
∴，
∴，
∵为的中位线，
∴，，，，
∴，，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
②如图5，
同①可得，，
∴，，
∴，
∴,
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长为或．
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2023-2024学年第一学期浙江省金华市九年级期末数学考前练习卷
一、精心选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1 .若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2 .抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3 .将抛物线先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，
所得的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．35° D．55°
5．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，
移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（ ）
A．7 m B．8 m C．6m D．9m
如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
9 . 如图，在中，，高，正方形一边在上，
点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：
①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、用心填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）
12. 二次函数y=+2的顶点坐标为_________．
在一个不透明的装子中有若干个除颜色外完全相同的小球，如果其中有6个红球，
且摸出红球的概率是，则袋子中小球的总个数是____________
14. 如图，，，是上的三个点，，则的度数是 ．
15 .如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．
且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米．
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，
将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
细心答一答（本题有8小题，共66分）
计算：
(1)
(2)
在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球
（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．
若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，
摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，
求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，
在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，
又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．
（参考数据：，结果保留整数）
20．一位运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，
（1）求铅球所经过路线的函数表达式；
（2）求出铅球的落地点离运动员有多远．
在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活18 .如图，AB是的直径，
四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：
如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．
24 .（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段、之间的数量关系为______；______；
（2）【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，
D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？
请写出证明过程并求出的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，为的中位线，
将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
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