课件14张PPT。分类加法计数原理分步乘法计数原理与实际问题 要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理．2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5 问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题二：如图, 在由电键组A与B所组成的并联电路中，接通最少的电键，使电灯发光的方法有多少种？ 种不同的方法．分类加法计数原理 完成一件事，有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：如果完成这件事,有三类不同方案呢?从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班,而轮船有4班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？种不同的方法．分类加法计数原理 完成一件事，有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 完成一件事，有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，……，在第n类方案中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： 这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法,所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：3×2＝6种不同的走法．问题三：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法 ？ 这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 问题四：在由电键组A、B组成的串联电路中，如图，接通最少的电键，使电灯发光的方法有几种？种不同的方法．分步乘法计数原理 完成一件事，需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：分步乘法计数原理同样可以推广到多步骤问题问题：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。 不同点：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有 2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书 , 有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书, 有多少种不同的取法？例3 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共多少种不同的挂法？ 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个密码？例4 用红、黄、蓝、绿四种颜色为以下五个区域涂色，要求每格只涂
一种颜色，相邻两格不
同色，请问有多少种不
同的涂法？ 小结 分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终．要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系． 课件8张PPT。分类加法计数原理分步乘法计数原理与 完成一件事，有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有： 完成一件事，需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．分类加法计数原理种不同的方法．分步乘法计数原理例1、给程序模块命名，需要用三个字符，其中首字符要求用字母A ~ G或U~Z，后两个要求用数字1~9。问最多可以给多少个程序命名？例2、如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有 3条路可通;从甲地到丁地有 4条路可通, 从丁地到丙地有 2 条路
可通。从甲地到丙地共
有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地例3、核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分。一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链的每一个位置都由一种称为碱基的化学成分所占据。总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示。在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA由100个碱基组成，那么能有多少种不同的此类RNA分子？AGUCAUAGCAUG例4、电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了只有0或1两种数字的记数法，即二进制。为了计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。问：
(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?
(2)计算机汉字国际码(GB)码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要多少个字节表示？例5、计算机编程人员在编写好程序以后，要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路线（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块由许多子模块组成。如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？ 另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数。你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？开始子模块1
18条执行路径子模块2
45条执行路径子模块3
28条执行路径子模块4
38条执行路径子模块5
43条执行路径结束例6、随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？课件10张PPT。1二项式定理1今天是星期四，再过 30 天后的那一天是星期几?情境问题:1请用乘法法则展开下列式子:
1②各项中a与b次数之和呈现什么规律?①在以上各展开式中各有多少项?③各项的系数是什么?重点关注11二项式定理n+1称二项式系数二项展开式(r=0,1,2,….n)1二项式定理
（）星期五1二项式定理应用:1、展开(1+x)n。3、①求(1-2x)7的展开式中第4项的二项式系数；
②求(1-2x)7的展开式中第4项的系数。4、求 展开式的常数项。2、展开 并求出展开式的第5项.1二项式定理小结：
本堂课我们以“从特殊到一般”的数学思维方法，探索并归纳出二项式定理;
应用中要注意二项展开式的某一项的二项式系数与系数的区别,它们是两个不同的概念。
作业:P37 习题1.3 T4 T51再见！课件13张PPT。排列 瑞四中 林光明 完成一件事，有两类不同的方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有： 完成一件事，需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有：种不同的方法．分类加法计数原理种不同的方法．分步乘法计数原理问题1、寻找下列问题及问题解决的共同点:2、从甲、乙、丙3名同学中选2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？1、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共多少种不同的挂法？ 3、要从张三、李四、王五3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 如果我们把被选（取）的对象叫做元素,上述三问题可以表述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的次序（一前一后，一左一右）排成一列，一共有多少种不同的排列方法？答案是：3×2=6所有的排列是：ab,ac,ba,bc,ca,cb问题2、从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 采取画树图的办法，我们可以知道共有以下24个不同的三位数：123，124，132，134，142，143，
213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342，
412，413，421，423，431，432。 这与运用分步乘法计数原理得到的结果是一致的：4×3×2=24问题2可以归结为：从不同的元素a、b、c、d中任取3个，按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？由此可以写出所有的排列：
abc abd acb acd adb adc
bac bad bca bcd bda bdc
cab cad cba cbd cda cdb
dab dac dba dbc dca dcb由此，我们可以抽象出一个概念：排列一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 你能结合以上的例子，讲讲怎么的两个排列才算是相同的吗？练习、下列问题中哪些是排列问题？（1）从5本不同的书中选3本，分别送给三位同学，每人一本，共有多少种不同的送法？
（2）从5种不同的书中买3本，分别送给三位同学，每人一本，共有多少种不同的送法？
（3）从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数，问共有几种不同的对数值？ （4）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？
（5）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条？ 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。排列数的定义已经知道在上页问题(1)(3)(5)中，我们其实只要求出 特别的，n个元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列个数为：叫做n的阶乘规定：0！=1例1 计算：这些值也可以用计算器直接按出，参看教材18页例1或各自计算器的说明书，但是不提倡。从(2)(4)得到：课件18张PPT。杨辉三角与二项式系数性质杨辉三角《九章算术》杨辉杨辉三角《详解九章算法》中记载的表1．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… ……二项式系数的性质二项式系数的性质2．二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．图象的对称轴：二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由于：二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 二项式系数的性质（2）增减性与最大值 （3）各二项式系数的和 二项式系数的性质 一般地， 展开式的二项式系数
有如下性质： （1） （2） （3）当 时， （4） 当 时，课堂练习：
1）已知 ，那么 = ；
2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ；
3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n= ； 例3： 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。内容小结1．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 杨辉三角点击图片可以演示“杨辉三角”课件课件5张PPT。组 合组合的有关知识 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为 ．(1)平面上有12个点,任意3点不共线,以每三个点为顶点作三角形,一共可以作多少个不同的三角形?
(2)从3,5,11,21,四数中任取2个相乘,可以得到多少个不同的积?
(3)从3,5,11,21,四数中任取2个相减,可以得到多少个不同的差?
(4)某校举行排球单循环赛,有8支队伍参加,共需要举行多少场比赛?例1、解决下列问题：例2、100件产品中有3件次品，任意抽取5件进行检查，
(1)抽出的5件都是正品的抽法有多少种？
(2)抽出的5件中恰有2件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的5件中至多有2件次品的抽法有多少种?
(4)抽出的5件中至少有1件次品的抽法有多少种？
(5)三件次品全被抽到的概率是多少？
(6)被检出有次品的概率是多少？例3、平面上有12个点，其中有5点在同一直线上，其余再无三点共线，问以其中的任意三点为顶点可画多少个不同的三角形？法一：三点不能全来自共线的5个点，故分三类。（1）在此5点中取两点，在其余7点中取一点
（2）在此5点中取一点，在其余7点中取两点
（3）三点均取自其余7点。
所以，答案为：法二：排除法课件8张PPT。组 合有5本不同的书：
（1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，有几种不同的分法？（2）取出3本给甲，是否还有 取法？问题 回答是否定的.问题(2)中，取出的书是无“顺序”的要求，并未排成一列,而是合成一组.我们把这样的问题称为组合问题。（1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
（2）从不在同一条直线上的四点A，B，C，D中，每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不同的直线？
（3）某班45人，从中选5名同学分别担任正、副班长、团支书、学习委员、文娱委员，有多少种不同的选法？试判断下列哪些问题是组合问题 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别． 当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合． 如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何，都是相同的组合．组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 首要问题：组合数的定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为 ．类比排列数的定义，我们有：具体感知1、请写出从a,b,c,d四个元素中取出2个元素的所有组合。2、请写出从a,b,c,d,e五个元素中取出3个元素的所有组合。结论：结论：你能从排列与组合的关系中探求组合数公式吗？ 第2步，将取出的m个元素做全排列，共 种不同的排法。 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步得到： 组合数公式 第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素,共有 种取法． 根据分步计数原理，得到：这里m,n∈N*，且m≤n，这个公式叫做组合数公式． 例1 计算：（1） （2） 例题
