2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为( )
A. B. C. D.
3.以，两点为直径的两个端点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知圆上有四个点到直线的距离等于，则实数的值不可能为( )
A. B. C. D.
5.若圆被直线平分，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知底边长为的等腰直角三角形，是平面内一点，且满足，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程所表示的曲线为，则( )
A. 曲线可能是圆
B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
C. 若，则为椭圆
D. 若为双曲线，且焦点在轴上，则
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，，两点都在上，且，关于坐标原点对称，则( )
A. 的最大值为 B. 的焦距是短半轴长的
C. 为定值 D. 存在点，使得
11.下列有关直线与圆的结论正确的是( )
A. 过点且在，轴上的截距相等的直线方程为
B. 若直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 若点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D. 若圆与圆恰有条公切线，则
12.已知为坐标原点，，分别为双曲线，的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，为在第一象限上的一点，点的坐标为，为的平分线，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为
C. D. 点到轴的距离为
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
已知圆：，过点的直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为______ ．
14.本小题分
已知双曲线：的离心率是，，分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则的值为______ ．
15.本小题分
如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出已知当灯口圆的直径为时，灯的深度为为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为______ ．
16.本小题分
过直线：上任意点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线过定点______ ；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为______ ．
17.本小题分
已知的三个顶点分别是，，．
求边的高所在的直线方程；
求平分的面积且过点的直线的方程．
18.本小题分
已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率．
19.本小题分
已知点，圆的圆心在直线上，且圆与轴切于点．
求圆的方程；
若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
20.本小题分
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，三点中的两点．
求抛物线的方程；
已知是抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，是线段上的点，且，求直线的斜率的最大值为坐标原点．
21.本小题分
一动圆与圆：外切，同时与圆：内切，动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值．
22.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，该椭圆的离心率为，且椭圆上动点与点的最大距离为．
求椭圆的方程；
如图，若直线与轴、椭圆顺次交于，，点在椭圆左顶点的左侧，且，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为直线的方程为，
即，
所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为．
故选：．
求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角．
本题考查直线倾斜角与斜率关系，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为椭圆的焦点为，
所以双曲线的焦点为，
故，解得．
故选：．
先求出椭圆的焦点，再根据两曲线的焦点重合，列方程可求出的值．
本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：依题意，圆心坐标为中点，即，半径为，
所以圆的方程为．
故选：．
根据给定条件，求出圆心坐标及半径得解．
本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：由圆的方程，可得圆心为原点，半径为，
若圆上有个点到直线的距离等于，则到直线的距离小于，
又直线的一般方程为，
所以，所以，所以，
所以实数的取值范围为
故选：．
若圆上有个点到直线的距离等于，则到直线的距离小于，代入点到直线的距离公式，可得答案．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意知，圆被直线平分，
即圆心在直线上，故，即，
故，
当且仅当，结合，即时取等号，所以的最小值为．
故选：．
由题意可得圆心在直线上，即得，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：如图，
抛物线的方程为，
焦点，准线，
由抛物线的定义可知，
即当且仅当取得最小值，取得最小值，
依据抛物线的定义可知当为通径时，即时为最小值，
的最小值为．
故选：．
直接有抛物线的定义和性质即可求解．
本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：如图示：
，
设点关于直线的对称点为，
则，解得：，
故A，
点关于轴的对称点，
则，
故A的长即周长的最小值．
故选：．
根据对称性结合图形求出三角形的最小值即可．
本题考查了对称性问题，考查转化思想，数形结合思想，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：以的中点为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图，
则，，，设，
因为，所以，
化简整理得：，即，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
当点与直线距离最大时，面积最大，
直线的方程为，且，
设圆心到直线的距离为，
则点到直线的最大距离为，
所以面积的最大值为．
故选：．
建系求出点的轨迹方程，利用圆上动点到直线距离最值的求法求出三角形高的最大值即可得解．
本题考查动点的轨迹方程和三角形的面积公式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对选项，当，即时，曲线是圆，选项正确；
对选项，若为椭圆，且焦点在轴上，则，，选项正确；
对选项，若为椭圆，则，且，选项错误；
对选项，若为双曲线，且焦点在轴上，则，，选项正确．
故选：．
根据圆锥曲线的几何性质分别求解即可．
本题考查圆锥曲线的几何性质，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：在椭圆中，，，，
又，两点都在上，且，关于坐标原点对称，
的最大值为，选项正确；
的焦距为，短半轴长为，而，选项错误；
根据椭圆的对称性可知，
，选项正确；
根据椭圆的几何性质可得：当为短轴顶点时最大，
设，而当最大时，，，
，的最大角小于，
椭圆上不存在点，使得，选项错误．
故选：．
根据椭圆的几何性质分别求解即可．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：当截距不为时，设直线，将点代入得，，，则直线方程为，
当截距为时，设直线，将点代入得，，，则直线方程为，
则直线方程为和，故A错误；
对于，已知直线过定点，
又直线，的斜率为，，
所以直线和以，为端点的线段相交，
实数的取值范围为，故B正确；
对于，点是圆外一点，所以，
所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故C不正确；
圆与圆恰有条公切线，
所以圆与圆相外切，所以，又，
所以，解得，故D正确．
故选：．
分截距是否为两种情况求解可判断；求得直线过的定点，再结合，可求实数的取值范围判断；由已知可得判断；由已知可得，求解判断．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由到渐近线的距离为，得，解得，
由渐近线方程为，得，结合可得，，
则双曲线的方程为，故A正确．
对于，，故B正确．
对于，为的平分线，则，故C错误．
对于，由双曲线定义可得，则可得，，
在中，，，
设点到轴的距离为，则
即，解得，故D正确．
故选：．
由到的距离为以及渐近线方程为可求得，即可得出方程，判断；根据离心率公式即可判断，由可求出判断；利用等面积法可求得点到轴的距离，判断．
本题考查双曲线简单性质的应用，三角形的解法，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆：的圆心为，半径为，
则依题意有，
当直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短，
所以所求直线的斜率为，
所以直线方程为，
即，
所以过点的直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为．
故答案为：．
当与所求直线垂直时，该直线被圆截得弦长最短，求出直线的斜率，即可求得所求直线斜率，即可求出所求直线方程．
本题考查了直线与圆的方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了方程思想，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知双曲线：的离心率是，
则，
不妨令，，
则，，
又，分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，
由双曲线的性质可得：，
则．
故答案为：．
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解．
本题考查了双曲线的性质，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴抛物线开口方向是轴的正方向，
则可设抛物线的标准方程为
灯口圆与轴截面在第一象限内的交点的坐标为，
代入抛物线方程得，解得，
所以抛物线方程为，光源应安置在与顶点相距处，
当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为，
故将代入中，求得，
此时，探照灯的深度为．
由已知建系求出抛物线的方程，然后根据题意即可求解．
本题考查了抛物线的定义和性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，因为是直线：上一点，所以，
以为直径的圆的方程为，即，
所以，即直线的方程为，又，
直线的方程为，故直线过定点．
设，直线过定点为，则，由，
得，整理得点的轨迹方程为，
因为点到直线：的是距离，
所以直线：与圆相离，
所以点到直线的距离的最小值为．
故答案为：；．
设，则可得以为直径的圆的方程为，结合点在直线上，也在圆上化简可得，从而可得直线的方程，进而可求得直线过的定点，设，则由，可求出点的轨迹方程，从而可求出点到直线的距离的最小值．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．
17.【答案】解：由题意可得：直线的斜率，
则边的高所在的直线的斜率，
所求直线方程为，即．
由题意可知：所求直线即为边的中线所在的直线，
则线段的中点为，可得直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
【解析】先求直线的斜率，进而可得的高所在的直线的斜率，结合点斜式方程运算求解；
由题意可知：所求直线即为边的中线所在的直线，结合点斜式方程运算求解．
本题考查直线的垂直关系，考查直线的一般方程，属于中档题．
18.【答案】解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，
因为双曲线的渐近线为，
所以，
解得，
则双曲线的渐近线方程为，
即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，
所以，
解得，
可得，
所以双曲线的方程为；
若直线轴，
此时，两点关于轴对称，
可得线段的中点在轴上，不符合题意；
若直线与轴不垂直，
不妨设、，直线的斜率为，
此时，
即，
此时，
整理得．
因为线段的中点为，
所以，，
则，
解得，
故直线的斜率为．
【解析】根据已知条件求出的值，利用点到直线的距离求出的值，即可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
利用点差法可求得直线的斜率．
本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：设圆心坐标为，
因为圆的圆心在直线上，且圆与轴切于点，
所以，解得，
所以，半径，
所以圆的方程为；
由题意得，圆心到直线的距离为，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，解得或，
当直线的斜率不存在，的方程为，
此时圆心到直线的距离为，不满足题意，舍去，
综上，直线的方程为或．
【解析】设圆心坐标为，则由题意列方程组可求出，，从而可求出圆的方程；
先由已知求出圆心到直线的距离，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
20.【答案】解：若抛物线经过、，则抛物线开口向右，
设抛物线方程为，代入点坐标，得，解得，
故抛物线方程为，恰好经过点，符合题意；
若抛物线经过、，则抛物线开口向下，
设抛物线方程为，找不到值，使、两点都满足该方程；
而在第一象限，在第三象限，不存在抛物线，使、两点都在抛物线上．
综上所述，抛物线经过、两点，方程为．
作出示意图，设点为抛物线上任意一点，点是线段上的点，且，
若点在第四象限，则直线的斜率为负数，不能达到最大值；
若点在第一象限，则，，，
设，由，得，
所以的坐标为，可得直线的斜率，
当且仅当，即，时，直线的斜率有最大值．
综上所述，当抛物线上的点坐标为时，直线的斜率有最大值．
【解析】设，，，在抛物线经过、或、或、的情况下，分别讨论它的方程，进而判断出正确答案；
设点、利用平面向量的线性运算法则与坐标运算公式，算出用、表示、的表达式，进而得到直线的斜率的表达式，最后根据基本不等式算出答案．
本题主要考查抛物线的标准方程及其性质、向量的坐标运算、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：不妨设动圆圆心为，半径为，
易知圆，圆，
当动圆与圆外切时，；
当动圆与圆内切时，，
所以，
则点的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，
不妨设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为，
此时，，
解得，，
则，
故动圆圆心轨迹方程为；
由知，
不妨设，
此时，
因为点在椭圆上，
所以，，
此时，
易知当时，取得最小值，最小值为．
【解析】由题意，设动圆圆心为，半径为，得到，推出点的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，进而可得曲线的方程；
设，此时，结合的取值范围和二次函数的性质再进行求解即可．
本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：因为椭圆的离心率为，
所以，
即，
因为椭圆上动点与点的最大距离为，
所以，
又，
联立，解得，，，
则椭圆的方程为；
不妨设，，
由知，
因为，
所以，
即，
整理得，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
又，，
所以，
即，
因为，
所以，
则直线的方程为，
此时点到直线的距离，
所以，
因为，，
所以，
即，
不妨令，，
此时，
所以，
当且仅当时，等号成立，
此时，直线存在，
综上，面积的最大值为．
【解析】由题意，利用离心率公式，椭圆的定义以及，，之间的关系，列出等式即可求解；
设出，两点的坐标，根据，得到，设出的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式、三角形面积公式以及基本不等式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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