河南省信阳市名校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

信阳市名校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，40分.在每小题给出的四个选项中，第只有一项符合题目要求.
1.已知数列的首项为，且满足，则此数列的第4项是（ ）
A.1 B. C. D.
2.点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
3.已知拋物线的焦点为为抛物线上第一象限的点，若，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.两圆与的公共弦长等于（ ）
A.4 B. C. D.
5.如图在四面体中，分别在棱上且满足，点是线段的中点，用向量表示向量应为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.椭圆的左，右焦点分别为，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的焦距为，它的两条渐近线与直线的交点分别为，若是坐标原点，，且的面积为，则双曲线的实轴长为（ ）
A.2 B. C. D.4
二 多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分.4题共20分）
9.已知两圆.则下列说法中，正确的有（ ）
A.若在圆内，则
B.当时，圆与圆共有两条公切线
C.若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在直线过定点
D.，使得圆与圆公共弦的斜率为
10.已知椭圆的左 右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A.当椭圆的离心率为时，的取值范围是
B.椭圆的离心率的取值范围是
C.存在点使得
D.的最小值为1
11.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）
A.几何体的外接球半径
B.平面
C.异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D.面与底面所成角正弦值的取值范围为
12.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别过作的垂线，垂足为，且为中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.为等腰直角三角形
C.的面积为4 D.直线的斜率为
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中15题第一问2分，第二问3分）
13.过点，且平行于直线的直线方程为__________.
14.已知数列中，，则的值是__________.
15.已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为__________；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为__________.
16.若为椭圆的左 右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为__________.
四 解答题：（本题共6小题，共70分.其中17题10分，其余每题均12分.解答应写出必要的文字说明 方程式和重要演算步骤.只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位.）
17.已知抛物线的焦点到其准线的距离为4.
（1）求的值；
（2）过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，求.
18.已知直线与圆相交于不同两点.
（1）求的取值范围；
（2）设以为直径的圆经过原点，求直线的方程.
19.已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的最大项.
20.如图，在直三棱柱中，是中点.
（1）求证：平面；
（2）若棱上存在一点，满足，求的长；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.已知双曲线的左，右焦点为，右焦点到左顶点的距离是6，且离心率等于2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过作斜率为的直线分别交双曲线的两条渐近线于第二象限的点和第一象限的点，若，求的值.
22.已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，且，
①求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
②当坐标原点到直线的距离最大时，求直线的方程.
信阳市名校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C A D B A B D ABC ACD BC AD
8.【答案】D 【详解】设双曲线的右焦点为，则直线过右焦点，由，
得，直线的斜率为，所以，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
所以
，所以，
所以，实轴长为4.故选：D
9.【答案】ABC 【解析】因为，所以：，则，，则，由在内，可得，即正确；当时，，所以，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；，得，即，令解得所以定点为正确；公共弦所在直线的斜率为，令
，无解，所以D错误，故选：ABC.
10.【答案】ACD 【解析】当时，，所以的取值范围是，即，故A正确；由题意得，又点在椭圆外，则，解得，所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故B不正确；设椭圆的上顶点为，由于，所以存在点使得，故正确；，当且仅当时，等号成立，又，所以，故D正确.故选：ACD
11.【答案】BC 【解析】几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故A错误.在正方体中，，故为平行四边形，所以，而平面平面平面，故平面，同理可证平面，而平面，所以平面平面平面，则平面正确.由于，则直线与所成最大角为（或），其正弦值为.直线与所成最小角为与平面所成角，当为中点时，所成角即为，
而平面平面，
故，
故，故C正确.以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，则，
设，则
设平面的法向量为，则，
令，则，故，由题意知平面的法向量可取为
，则，则面与底面所成角正弦值为
，由于，故当时，取到最小值8，则
取到最小值为，当或时，取最大值取最大值为，所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，D错误.故选：.
12.【答案】AD 【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，
设.对于，因为，所以，
又因为，所以，所以平分，
同理可知平分，所以，故正确；对于，假
设为等腰直角三角形，则，则四点共圆且圆的半径为，又因为，所以，所以，所以，所以，显然不成立，
故B错误；对于C，不妨取，则，所以，所以，故C错误.对于D，设直线的方程为，联立，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，故D正确；故选：
13. 14. 15.
16.【答案】
【解析】【详解】由题可得，，设为坐标原点，则，所以
，即，因为，所以，若存在四个不同的点满足，又，所以，即，所以，所以，所以，故答案为：.
17.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由抛物线可得焦点，准线方程为，
又因为抛物线的焦点到其准线的距离为4，所以；
（2）由（1）可得抛物线的方程为，所以焦点，
则直线的方程为，设，
联立，整理可得，所以，
由抛物线的性质可得.
18.【答案】（1） （2）或.
（1）由，得，直线与圆有两个交点，所以，即，解得
（2）设，则.由于以为直径的圆经过原点，所以，
故，即，所以，所以，解得或.
直线的方程为或.
19.【解】（1）中，令得，
当时，，其中，
故
（2）当时，，
当时，，则，
当时，，
当时，，故，
故时，的最大项为，
又，故数列的最大项为.
20.【答案】（1）证明见详解. （2）1. （3）.
【解析】（1）连接，交于点，连接，如图
直三棱柱中，是的中点，又是中点，
所以，又平面平面，
所以平面.
（2）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，所以，
因为，所以，解得，所以.
（3）因为，设平面的法向量为，
则有，得，
令，则，所以取，
因为平面，取平面的法向量为，
所以.
角的余弦值.
21.【答案】（1）（2）
【详解】（1）由条件可知；由此解得；
，所以；所求的双曲线方程为.
（2）由条件，知，直线的方程是，
双曲线的渐近线方程为，
设，联立方程组，解得；
联立方程组，解得
因为是的中点，
于是，解得，所求的值是.
22.【答案】（1）；
（2）①证明见解析，定点；②.
【解析】（1）双曲线的实半轴长为.，则，即椭圆过点，有，解得，所以椭圆的标准方程是.
（2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
由消去并整理得：，
，有，则，，，，即，整理得，满足，直线的方程：，即，直线过定点，当直线斜率不存在时，设，则，，解得，直线过点，所以直线恒过定点，此定点坐标为.
②由①知，直线过点，
显然在椭圆内，并且为定值，
因此当且仅当直线时，坐标原点到直线的距离最大，此时直线的斜率，方程为，所以直线的方程为.