2015年小升初奥数专项训练 第五讲 盈亏问题

小升初奥数专项训练五
第五讲 盈亏问题
【知识概述】
一、盈亏问题的概念
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。2-1-c-n-j-y
二、解题方法
1.有盈有亏
（盈＋亏）÷两次每份分配之差＝份数
2.只有盈
（大盈－小盈）÷两次每份分配之差＝份数
3.只有亏
（大亏－小亏）÷两次每份分配之差＝份数
4.总数量
总数量＝每份分配的量×份数＋盈
总数量＝每份分配的量×份数－亏
【典例剖析】
例1 有一个团队准备给山区小学捐赠一批书包，购买书包的款项由团队成员分担。如果团队成员每人100元，则还差600元；若团队成员每人150元，则多200元。那么，该团队一共有多少人？购买这批书包一共需要多少钱？平均每人需要出多少钱？21·cn·jy·com
思路点拨：
购买书包的款项和团队成员数量一定，这些款项由团队成员分担。每人出100元，还缺600元，属于“亏”。每人出150元，多200元，属于“盈”。所以本题属于“有盈有亏”类型的问题，运用公式“（盈＋亏）÷两次每份分配之差＝份数”即可求出团队成员数量，再运用公式“总数量＝每份分配的量×份数＋盈”或“总数量＝每份分配的量×份数－亏”即可求出总需钱数。
解：（600＋200）÷（150－100）＝16（人）
16×100＋600＝2200（元）
2200÷16＝137.5（元）
答：团队一共有16人，购买这批书包一共需要2200元，平均每人需要出137.5元。
例2 利民合作社准备给社员分发一批大米，若每个社员分发20千克，则剩余1000千克；若每个社员分发30千克，则剩余100千克。那么，利民合作社一共有多少名社员？这批大米一共有多少千克？
思路点拨：
社员数量和大米的数量一定。每个社员分发20千克，还剩余1000千克，属于“盈”；每个社员分发30千克，还剩余100千克，还是属于“盈”。所以，本题属于“只有盈”问题。于是，利用公式“（大盈－小盈）÷两次每份分配之差＝份数”可以求出社员数量，再利用求总数量的公式，即可求出大米的数量。
解：（1000－100）÷（30－20）＝90（名）
90×20＋1000＝2800（千克）
答：一共有90名社员，这批大米一共有2800千克。
例3 刘家庄集资修建一条通村公路，若每户人家出资1000元，则还需30000元；若每户人家出资1500元，则还需5000元。那么，刘家庄一共有多少户人家？修建这条通村公路一共需要多少钱？每户平均需要出多少钱？
思路拓展：
刘家庄的户数和修建公路所需资金一定。若每户人家出资1000元，则还需30000元，属于“亏”；若每户人家出资1500元，则还需5000元，还是属于“亏”。所以，本题属于“只有亏”问题。那么，我们可以用公式“（大亏－小亏）÷两次每份分配之差＝份数”求出户数。但是，本题在求解总需钱数的时候，不能用公式“总数量＝每份分配的量×份数－亏”来解，原因是每户出了这些钱之后，还缺，所以总数应该在出资的基础上加上缺的数。如果，是将一笔钱分配给一部分人，按照某种标准分配之后，还缺多少钱，这种情况才能用这个公式来解。所以我们在解题的时候，需要结合题目的实际情况加以分析解答。
解：（30000－5000）÷（1500－1000）＝50（户）
50×1000＋30000＝80000（元）
80000÷50＝1600（元）
答：一共有50户，共需80000元，每户需要出1600元。
【知识延伸】
例4 六（1）班组织学生去公园划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船正好坐9人。六（1）班一共有多少人？
思路点拨：
本题看似与盈亏问题无关，实际是属于盈亏问题，并且，利用盈亏问题来解答此类问题，会非常简单。但是，需要将题目进行思路转化，就能清楚看出属于盈亏问题。班级人数一定和船数一定的情况下，如果每条船坐6人，则有6人没有上船；如果每条船坐9人，则剩下一条船，相当于还可以坐9人。属于“有盈有亏”问题。
解：（9＋6）÷（9－6）＝5（条）
5×6＋6＝36（人）
答：一共有36人。
思路拓展：
该题还可以运用另外一种思路来解。增加一条船和减少一条船，相差两条船。这两条船原本要坐6×2＝12人，由于每条船上多坐了9－6＝3人，就把这12人平均分配到了12÷3＝4条船上了。那么，4×9＝36人。
例5 王老师给学生发一批奖品，如果每人发5份，则还剩下3份；如果其中2人各发4份，剩下的每人刚发得到6份。那么，一共有多少个学生？一共有多少份礼品？
思路点拨：
有些盈亏问题的条件是隐藏的。拿本题来说，第一种分配方法很容易看出“盈”3份。但是，第二种分配方法，看似恰好分完，却不为然。因为其中2人各得4份，其余的都是6份，那么这两个人就比别人少2份，总共就少4份，属于“亏”4份。于是，就转换成“有盈有亏”问题来求解。【来源：21cnj*y.co*m】
解：（6－4）×2＝4（份）
（4＋3）÷（6－5）＝7（人）
7×5＋3＝38（份）
答：一共有7人，共有38份礼品。
例6 小明想运用所学知识来测量他家阳台到楼底的距离，于是就找来了一根长绳子，将长绳子对折，然后从阳台上放到地面，则绳子还剩余8米。如果将绳子三折，再次从阳台上放到地面，则绳子还剩余1米，请问，他能运用这些数据算出他所需要的数据吗？
思路点拨：
从题干中可以看出，小明有将绳子分别进行对折和三折的行为，就相当于是将绳子进行分配，所以，是属于分配问题。对折的时候，绳子余8米，那么，总共应剩余8×2＝16米。三折的时候，绳子余1米，那么，总共应剩余1×3＝3米。所以，本题应属于分配中的“只有盈”问题。21教育名师原创作品
解：（8×2－1×3）÷（3－2）＝15（米）
答：他能算出所需要的数据，他家阳台到楼底的距离是15米。
【知识总结】
1.解答盈亏问题时，要根据题意，找出“盈”和“亏”和“分配的量”，这是解题的关键。
2.涉及到平均的问题，大部分都可以转换成盈亏问题。但是，要认真分析对应的量。
3.有些题目不会直接告诉是盈亏问题，盈亏的条件隐藏在题干之中。
4.在做题时，需要将分配的数量转换成一致的数量后，再寻找“盈”或“亏”。
【基础训练】
1.王老师准备了100本笔记本，准备发给班上的45名同学，如果每人发2本，则还剩（ ）本，每人发3本，还缺（ ）本。
2.王老师准备了一些笔记本，准备发给班上的同学。如果每人发2本，则还剩10本，每人发3本，则还缺35本。该班一共有（ ）名学生，王老师一共有（ ）本笔记本。
3.李老师给小朋友们准备了一些饼干，如果每人发3块，则多16块，如果每人发4块，则多6块，请问，一共有（ ）名小朋友，李老师有（ ）块饼干。
4.小明骑车去上学，如果每分钟骑行200米，则要迟到3分钟；如果每分钟骑行300米，则早到1分钟。小明家到学校的距离有（ ）米。
5.某班参加义务植树活动，若每人植3棵树，则剩下70棵每人植，若每人植4棵树，则剩下25棵每人植，该班一共有（ ）人，一共要植（ ）棵树。
6.张大娘去米行买米，如果买8千克，则还剩下20元，如果买10千克，则还缺6元，请问，该大米每千克（ ）元，张大娘一共带了（ ）元。
7.某学校新购一批图书，六（3）班的学生去给这批图书贴书签。如果每人贴60本，则有25名同学每人少贴20本。如果每人贴50本，则有40名同学每人少贴1本。那么，该班一共有（ ）人，这批图书一共有（ ）本。
8.六（6）班准备坐校车去郊游，如果每车坐10人，则有27人没有上车，如果每车坐20人，则有7人没有上车。那么，该班一共有（ ）人。
【拓展提升】
1.某公司最近买来一批电脑，分给每个办公室。若有两个办公室各分到4台，其余每个办公室只能分2台；如果有一个办公室分6台，其余每个办公室分4台，还差8台。共买来多少电脑？有几个办公室？21*cnjy*com
　　2．某公司组织员工去公园划船，每条船坐6人，就会少2条船；每条船坐8人，还有2人坐不下。一共有多少个员工？小船有几条？
　　3．六（1）班集体去外地旅游，到了一家宾馆，每间住3人，则有2人没床位，每间住5人，则又多4间房，共有多少名学生？
　　4．小区居民筹钱新建小区一处设施。如果每户人家出5元，则缺2000元。如果每户人家出10元，则多500元。那么，该小区一共有多少户？需要筹多少钱？每户应出多少钱？
　　5．用绳子测井的深度，四折而入，则余9米；把绳子剪去18米后，三折而入，则余12米，井深多少米？
6.小明在计算一道除法计算题，用6去试商，则余数是24，改用8去试商，则结果比被除数还大12。请问，这道题的正确答案是多少？
7.小明带了一些糖果到学校，准备分给班上的小朋友吃（包括小明自己）。如果其中8人每人1颗，其余的每人能得到3颗。如果其中10人每人4颗，其余的每人只能得到1颗。请问班上一共有多少名学生？小明一共带了多少颗糖果？www.21-cn-jy.com
8.张师傅承包一批零件加工，若前两天每天加工150个，剩下的每天只需要加工100个就能按时完工。但是，由于张师傅有其他事情要做，这批零件加工就推迟了5天才开始，即使每天加工200个，到期了也还有100个没有加工。请问这批零件一共有多少个？
参考答案：
【基础训练】
1.王老师准备了100本笔记本，准备发给班上的45名同学，如果每人发2本，则还剩（ ）本，每人发3本，还缺（ ）本。
答案：10 35
解析：100－2×45＝10本
45×3－100＝35本
2.王老师准备了一些笔记本，准备发给班上的同学。如果每人发2本，则还剩10本，每人发3本，则还缺35本。该班一共有（ ）名学生，王老师一共有（ ）本笔记本。
答案：45 100
解析：此题属于“有盈有亏”问题，代入公式计算即可。
（10＋35）÷（3－2）＝45（人）
45×2＋10＝100（本）
3.李老师给小朋友们准备了一些饼干，如果每人发3块，则多16块，如果每人发4块，则多6块，请问，一共有（ ）名小朋友，李老师有（ ）块饼干。21教育网
答案：10 46
解析：此题属于“只有盈”问题，代入公式计算即可。
（16－6）÷（4－3）＝10（人）
10×3＋16＝46（块）
4.小明骑车去上学，如果每分钟骑行200米，则要迟到3分钟；如果每分钟骑行300米，则早到1分钟。小明家到学校的距离有（ ）米。
答案：2400
解析：此题属于盈亏问题的变形，需要对其中的数据进行转换。因为是路程问题，所以要把时间转换成路程。迟到3分钟，相当于离学校还有3×200＝600米，早到1分钟，相当于还可以多行1×300＝300米。这样一来，就可以代入“有盈有亏”的公式求解。
（3×200＋1×300）÷（300－200）＝9（分钟）
（9＋3）×200＝2400（米）
5.某班参加义务植树活动，若每人植3棵树，则剩下70棵每人植，若每人植4棵树，则剩下25棵每人植，该班一共有（ ）人，一共要植（ ）棵树。21·世纪*教育网
答案：45 205
解析：此题属于“只有盈”问题，代入公式计算即可。
（70－25）÷（4－3）＝45（人）
45×3＋70＝205（棵）
6.张大娘去米行买米，如果买8千克，则还剩下20元，如果买10千克，则还缺6元，请问，该大米每千克（ ）元，张大娘一共带了（ ）元。
答案：13 124
解析：此题属于“有盈有亏”问题，代入公式计算即可。
（20＋6）÷（10－2）＝13（元）
13×10－6＝124（元）
7.某学校新购一批图书，六（3）班的学生去给这批图书贴书签。如果每人贴60本，则有25名同学每人少贴20本。如果每人贴50本，则有40名同学每人少贴1本。那么，该班一共有（ ）人，这批图书一共有（ ）本。
答案：46 2260
解析：此题需要对数据进行转换。有25名同学每人少贴20本，相当于缺25×20本，有40名同学每人少贴1本，相当于缺1×40本。这样一来，就转换成了“只有亏”的问题，代入公式计算即可。21世纪教育网版权所有
（25×20－1×40）÷（60－50）＝46（人）
46×50－1×40＝2260（本）
8.六（6）班准备坐校车去郊游，如果每车坐10人，则有27人没有上车，如果每车坐20人，则有7人没有上车。那么，该班一共有（ ）人。
答案：47
解析：此题属于“只有盈”问题，代入公式计算即可。
（27－7）÷（20－10）＝2（辆）
2×20＋7＝47（人）
【拓展提升】
1.某公司最近买来一批电脑，分给每个办公室。若有两个办公室各分到4台，其余每个办公室只能分2台；如果有一个办公室分6台，其余每个办公室分4台，还差8台。共买来多少电脑？有几个办公室？
提示：此题需要对数据进行转换。有两个办公室各分到4台，其余每个办公室只能分2台。相当于每个办公室分2台，剩余（4－2）×2台。；如果有一个办公室分6台，其余每个办公室分4台，还差8台。相当于每个办公室分4台，还差8－（6－4）台。所以，属于“有盈有亏”问题。
解：（4－2）×2＝4（台）
8－（6－4）＝6（台）
（6＋4）÷（4－2）＝5（个）
5×2＋4＝14（台）
答：共买来14台电脑，有5个办公室。
　　2．某公司组织员工去公园划船，每条船坐6人，就会少2条船；每条船坐8人，还有2人坐不下。一共有多少个员工？小船有几条？　　21*cnjy*com
提示：此题也需要对数据进行转化。每条船坐6人，就会少2条船，相当于多出来2×6人。每条船坐8人，还有2人坐不下，相当于多出来2人。所以，属于“只有盈”问题。2·1·c·n·j·y
解：（2×6－2）÷（8－6）＝5（条）
5×8＋2＝42（人）
答：一共有42名员工，小船有5条。
　　3．六（1）班集体去外地旅游，到了一家宾馆，每间住3人，则有2人没床位，每间住5人，则又多4间房，共有多少名学生？【出处：21教育名师】
提示：此题需要对数据进行转换。每间住5人，则又多4间房，相当于还可以住4×5人。所以，此题属于“有盈有亏”问题。
解：（4×5＋2）÷（5－3）＝11（间）
11×3＋2＝35（人）
答：共有35名学生。
　　4．小区居民筹钱新建小区一处设施。如果每户人家出5元，则缺2000元。如果每户人家出10元，则多500元。那么，该小区一共有多少户？需要筹多少钱？每户应出多少钱？【来源：21·世纪·教育·网】
提示：属于“有盈有亏”问题，代入公式计算即可。
解：（2000＋500）÷（10－5）＝500（户）
500×5＋2000＝4500（元）
4500÷500＝9（元）
答：该小区一共有500户，需要筹4500元，每户应出9元。
　　5．用绳子测井的深度，四折而入，则余9米；把绳子剪去18米后，三折而入，则余12米，井深多少米？www-2-1-cnjy-com
提示：此题属于盈亏问题的延伸问题。解答此题时，需要注意剩余的绳子的长度＝测量剩余长度×折叠次数。四折而入，则余9米，相当于剩余4×9米。把绳子剪去18米后，三折而入，则余12米，相当于剩余3×12＋18米。
解：（3×12＋18－4×9）÷（4－3）＝36（米）
答：井深36米。
6.小明在计算一道除法计算题，用6去试商，则余数是24，改用8去试商，则结果比被除数还大12。请问，这道题的正确答案是多少？
提示：被除数和除数一定，相当于被除数被除数分配，属于盈亏问题。用6去试商，则余数是24，相当于多24.改用8去试商，则结果比被除数还大12，相当于还缺12。代入公式计算即可。
解：（24＋12）÷（8－6）＝18
18×6＋24＝132
132÷18＝7……6
答：正确答案是商7余6。
7.小明带了一些糖果到学校，准备分给班上的小朋友吃（包括小明自己）。如果其中8人每人1颗，其余的每人能得到3颗。如果其中10人每人4颗，其余的每人只能得到1颗。请问班上一共有多少名学生？小明一共带了多少颗糖果？【版权所有：21教育】
提示：此题需要对数据进行转换。如果其中8人每人1颗，其余的每人能得到3颗，相当于每人分3颗，还缺8×（3－1）颗。如果其中10人每人4颗，其余的每人只能得到1颗，相当于每人分1颗，还剩下10×（4－1）颗。所以，属于“有盈有亏”问题。
解：8×（3－1）＝16（颗）
10×（4－1）＝30（颗）
（30＋16）÷（3－1）＝23（人）
23×3－16＝53（颗）
答：一共有23名学生，一共有53颗糖。
8.张师傅承包一批零件加工，若前两天每天加工150个，剩下的每天只需要加工100个就能按时完工。但是，由于张师傅有其他事情要做，这批零件加工就推迟了5天才开始，即使每天加工200个，到期了也还有100个没有加工。请问这批零件一共有多少个？
提示：此题需要对数据进行转换。若前两天每天加工150个，剩下的每天只需要加工100个就能按时完工。相当于每天加工100个，还剩下（150－100）×2个没有加工。推迟了5天才开始，即使每天加工200个，到期了也还有100个没有加工。假使前五天也在加工，每天加工200个，在规定时间内，可以多加工5×200－100个。所以，属于“有盈有亏”问题。21cnjy.com
解：（150－100）×2＝100（个）
5×200－100＝900（个）
（100＋900）÷（200－100）＝10（天）
10×100＋100＝1100（个）
答：这批零件一共有100个。